LES FAMILLES DE LAMÉ. THÉORÈME DE DUPIIV ET SA RÉCIPROQUE

Équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les paramètres a, |3, y de trois familles orthogonales, considérés comme fonctions des coordonnées rectilignes X, y^ z d'un point de l'espace. — Application du théorème de Cauchy : on peut déterminer un système triple orthogonal par la condition que les trois familles de surfaces qui le composent interceptent sur une surface donnée des courbes données assujetties à la condition de ne pas se couper mutuellement à angle droit. — Elimination de deux des trois paramètres. L'élimination de l'un d'eux conduit immédiatement au théorème de Dupin : « Les surfaces qui composent un système triple orthogonal se coupent mutuellement suivant leurs lignes de courbure. » — Réciproque de ce théorème : « Si l'on a deux familles de surfaces se coupant à angle droit, suivant des courbes qui soient lignes de courbure pour les surfaces de l'une des deux familles, il existe une troisième famille complétant le système orthogonal. » — Cette réciproque permet d'établir que le paramètre de toute famille faisant partie d'un système triple doit satisfaire à une équation aux dérivées partielles du troisième ordre, qui est à la fois nécessaire et suffisante, c'est-à-dire dont toute solution conduira à un système triple. — On donne le nom de famille de Lamé à toute famille qui fait partie d'un système triple orthogonal. — Pour former l'équation aux dérivées partielles du troisième oi'dre, dont l'existence a été reconnue dès i86t) D. I

par l'auteur, mais qui a été obtenue, pour la première fois, sous foyme développée, par M. Cayley, on définit d'abord une opération différenlielle S^ç», et l'on établit quelques propriétés de ce symbole. — On établit ensuite, par un raisonnement nouveau, que toute la difficulté du problème des systèmes orthogonaux se ramène à l'intégration de l'équation du troisième ordie, que l'on écrit sous la forme d'un déterminant très simple du sixième ordre. —Vérification de résultats obtenus antérieurement par M. Bouquet, relativement aux familles représentées par une équation de la forme u = (s{x) -\- '\i{y) -h xi^)i ^^ P*'' M. V. Puiseux, relativement à un système d'axes particulier. — Forme nouvelle et irrationnelle sous laquelle on peut metti-c l'équation du troisième ordre, en introduisant les dérivées de la fonction H, définie par la relation

— Indications sommaires sur les caractéristiques d'une équation aux dérivées partielles ou d'un système d'équations aux dérivées partielles, dans le cas de trois variables indépendantes, et application au problème actuel. On peut toujours déterminer un système triple orthogonal par la condition que les surfaces (A), qui composent une de ses trois familles, coupent une surface (S) suivant des courbes données (C) et aient, suivant ces courbes, un contact du second ordre avec certaines surfaces (S), qui contiennent ces courbes, à moins V que les courbes (G), ne soient des lignes de courbure des surfaces ( S), ou que les surfaces (S) ne soient orthogonales à la surface (S). Dans ces deux cas d'exception, le problème devient impossible ou indéterminé.

1. Supposons les points de l'espace rapportés à un système d'axes rectangulaires Ox, Oy, Oz et considérons trois familles de surfaces obtenues en égalant à des constantes trois fonctions données a, ^, y de a^-,yj z. Pour que deux surfaces appartenant à des familles différentes se coupent partout à angle droit, il faudra évidemment que les trois fonctions a, [3, y, auxquelles nous donnerons le nom à.& paramètres des trois familles de surfaces, satisfassent identiquement aux trois conditions suivantes :

qui constituent un système d'équations aux dérivées partielles propres à déterminer les fonctions a, (^, y.

dl^^dl dy dx dx dy dy

d^ dy dz dz

dy d(x dy doc dx dx dy dy

dz dz

doc dl d^dl dx dx dy dy

doi d^ "^ dz dz

Ce sjslème n'est pas de ceux que l'on peut intégrer d'une manière complète. Nous en ferons connaître des solutions nombreuses, contenant des constantes, des fonctions arbitraires d'une variable en nombre quelconque, ou même une fonction arbitraire de deux variables accompagnée de plusieurs fonctions arbitraires d'une variable. Mais, si l'on veut conserver une terminologie qui a quelque chose d'un peu indéterminé, un théorème général de Oauchj permet de montrer que la solution générale du système (i) dépend en réalité de tiois fonctions arbitraires de deux iKiriables.

Remarquons, en effet, que, si l'on pose

( K =-^^-^iX, \ ^ ôx dx dy dy

^~'' \ ^ dx dx (Jy dy

\ ^ dx dx dy dy

les formules (i) peuvent être résolues par rapport aux dérivées

doL ()3 dy ^ ,

— , -^, V- et nous donnent

dz dz dz

dx /kTk^ as /kTk^ dY /kTk;

'^^ crz-V~Kr' Tz-\/~K^' Tz-\/~Kr'

Ces valeurs seront finies et déterminées tant qu'aucune des quantités K,, Ko, K3 ne se réduira à zéro.

Cela posé, supposons que l'on donne les valeurs ao, §0, yo? fonctions de deux variables x eiy^ auxquelles se réduisent les fonctions a, [3, Y pour une valeur déterminée de 5, par exemple pour zz=. o\ supposons que ces valeurs aient été choisies de manière à n'annuler aucune des quantités K( , K^, K3 et satisfassent d'ailleurs aux conditions bien connues de continuité et d'uniformité que nous négligeons d'énoncer. Les équations (3) détermineront, pour

z = o, des valeurs finies et déterminées pour les trois dérivées j^' -~) -T^; et, par suite, d'après le théorème général de Cauchy que

nous venons de rappeler, il existera des fonctions a, ^, y qui satisferont au système (i) et se réduiront respectivement à a^ ^o> "fo pour c = o.

2. Cette proposition d'analyse s'interprète géométriquement de la manière suivante : donner les valeurs ao, ^o? Yo de a, ^, y pour 5 = o, c'est faire connaître les courbes suivant lesquelles le plan des xy est coupé par chacune des trois familles qui doivent composer le système orthogonal. Supposer qu'aucune des quantités K,, Ko, K3 n'est nulle, c'est admettre que ces courbes de section ne se coupent pas mutuellement à angle droit. On est donc en droit d'énoncer la proposition suivante :

On peut déterminer un système triple orthogonal par la condition que les trois familles de surfaces dont il doit se composer coupent un plan quelconque suivant trois familles de courbes, assujetties à la seule condition de ne pas se couper mutuellement à angle droit.

3. En substituant à l'une des variables indépendantes x, y, z une fonction quelconque 0 de ces trois variables, on reconnaîtra que la proposition précédente peut être généralisée et qu'un système triple orthogonal est pleinement déterminé si l'on donne les sections, non plus par un plan, mais par une surface quelconque, des trois familles dont il se compose. Ici encore, la condition pour que le théorème de Cauchy soit applicable est que les courbes de section appartenant à des familles différentes ne se coupent pas mutuellement à angle droit.

4. Les remarques précédentes, simples conséquences du théorème général de Cauchy, nous indiquent, d'une manière nette, quel doit être le degré de généralité de la solution la plus étendue ; et l'on voit que, s'il était possible d'obtenir la solution complète, elle devrait avoir le degré de généralité d'une expression, dépendant de trois fonctions arbitraires de deux variables. Cette solution complète, nous l'avons déjà dit, est loin d'être connue ; mais l'étude du système fondamental (i) a conduit à différents résvdtats, que nous ferons connaître successivement.

On peut d'abord, comme on le fait en Algèbre et en Analyse, essayer de la méthode par élimination et lâcher de réduire l'intégration du système (1) à la détermination d'une seule fonction. Voici comment s'exprime à ce sujet J.-A. Serret dans un Mémoire

sur les surfaces orthogonales paru, en juin 1847, ^^ Journal de Liomille (t. XIT, p. 241).

« D'ailleurs, si l'on différentie les équations (i) par rapport à x^ jK) ^ autant que possible et de manière à n'avoir de dérivées que jusqu'à l'ordre p inclusivement, on aura, en comptant les

équations (i), un nombre d équations marque par '—^ ^^ -

et le nombre des dérivées des quantités [i et y sera

pour que Télimination de ces dérivées soit possible, il faut que le premier nombre surpasse le second, ce qui donne

p = Ç> ou > 6.

» Si l'on prend /? ^ 6, on aura alors 168 équations entre lesquelles on pourra éliminer les dérivées de p, y, et il restera deux équations aux dérivées partielles auxquelles devra satisfaire le paramètre a de toute surface susceptible de faire partie d'un système triple. Cette dernière circonstance de deux conditions auxquelles le paramètre a est assujetti permet de penser que le nombre des surfaces susceptibles de faire partie d'un système triple pourrait bien être assez limité. »

La phrase qui termine cette citation montre combien était peu avancée la théorie des équations aux dérivées partielles en 1847. Etant données deux telles équations que doit vérifier une même fonction, il peut se faire qu'elles n'aient aucune solution commune ou bien une solution plus ou moins étendue. Pour apprécier le degré de générabté de cette solution, il suffit de difi'érentier jusqu'à un certain ordre et d'examiner si quelques-unes des équations ainsi obtenues ne sont pas des conséquences de toutes les autres. Il y a là une étude qui a été entreprise dans ces derniers temps et a donné naissance à de nombreux travaux de MM. Méray, Riquier, Bourlet, Tresse et Delassus ('). Mais il est curieux de remarquer ici que J.-A. Serret aurait pu corroborer en apparence

( ' ) Voir en particulier :

Riquier, Mémoire sur l'existence des intégrales dans un système différentiel quelconque et sur la réduction d'un semblable système à une forme linéaire

b LIVRE I. — CHAPITRE I.

sa conclusion en montrant que les deux équations du sixième ordre ne sont pas les seules auxquelles doive satisfaire la fonction a.

Si l'on donne, en effet, à /? la valeur 7, par exemple, on aura cette fois 202 équations entre lesquelles il faudra éliminer 288 dérivées, ce qui laissera i4 équations d'ordre égal ou inférieur à -j. Or les deux équations du sixième ordre différentiées donneraien t au plus 8 équations du sixième ou du septième ordre; de sorte qu'il faudrait leur adjoindre au moins 6 équations du septième ordre.

Nous laissons décote tous ces calculs; car, dans le cas actuel comme dans beaucoup d'autres, et par suite de la forme particulière des équations qui composent le système (1), la méthode d'énumération pure et simple conduit à des résultats complètement erronés. Nous allons voir, en effet, que l'on peut ramener l'intégration du système (i) à celle d'une seule équation aux dérivées partielles du troisième ordre à laquelle doit satisfaire l'une des trois fonctions a, ÎB, y.

5. Deux des équations (i) déterminent les rapports mutuels des dérivées de ^ et peuvent être mises sous la forme suivante :

de sorte que la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction p existe est que l'équation aux différentielles totales

dx

dy

dz

dy

dz

ày dix âoc dy

à-( c'a dx dy

d'( doi dy doL '

ây dz dy dz

dz dx dz dx

dx dy dy dx

dy

dx

dx

dx

dy

doc

dy

dy

do:

dz

dz

soit complètement intégrable.

et complètement intégrable du premier ordre {Académie des Sciences, Mémoires des Savants étrange/s, t. XXXII).

Delassus (E.), Extension du théorème de Cauchy aux systèmes les plus généraux d'équations aux dérivées partielles {Annales de l'École Normale, t. XIII, 3» série, p. 421).

Ces travaux contiennent, d'ailleurs, toutes les indications bibliograpliiques nécessaires.

Celle équation esl de Ja forme

Ldx-hMdy -h^ dz = o ;

et la condition pour qu'elle admette comme intégrales des surfaces composant une famille est, comme on sait, que l'on ait identiquement

/dh dM\ Appliquant ici celte condition, nous trouvons la relation

ày ûz Oz dy ) \ôx dz'^ dz dx dz dx dz''- àz dx ôz

dix d^^( d~{ à- 01. d~( d^a doc. d'^y

ôy dx Oy dx dy- ày dx dy ' dx dy^

les tei'mes non écrits s'obtenant par des permutations circulaires effectuées sur x, y, z.

Les deux fonctions y, a doivent donc satisfaire uniquement à la deuxième des équations (i) et à la précédente (6). Si l'on ajoute à cette dernière la relation identique

/ à'{ dot dy don \ \dy dz dz dy J

^ [ dx\àx-i "^ dy"^ "^ dz-^/ dx\dx-^ '^ ày^ "^ àz^ j'^ ^'

elle prend la forme plus simple

où l'on a introduit, pour abréger l'écriture, le symbole ô„p défini par la relation

^ ^ du dv du di> du de

(8) OuV = Û^M = — •- -f------|-— .

dx dx dy dy dz dz On n'a donc plus qu'à déterminer les fonctions a, y, satisfai-

doi dx

dx

^ dy ^ art

dT.

ày

ày dy

. ày , àoL

Ojt T^ — Ûy —

o»/ ' dy

doc dz

ày dz

. dy . d%

'-Tz-'^Tz

sant à l'équation (7) et à l'équation

(9) Sya = 8aY = o.

Celle dernière ne contient que les dérivées du premier ordre de a et de y, tandis que l'équation (7) contient toutes les dérivées du second ordre de ces deux fonctions. Mais uue propriété remarquable du symbole 8„(^ va nous permettre d'éliminer de l'équation (7), soit les dérivées de second ordre de a, soit celles de y-

On a, en ellet, comme on le vérifie sans peine, l'identité