JO

dx'

et l'on déduit, par suite, de la difïerentiation de l'équation (9) les trois suivantes :

qui permettent évidemment de faire disparaître les dérivées secondes de Y dans l'équation (7) et de ramener cette équation à la forme suivante

(II

. ào.

àx

'^éTr

ày

. àx

àoi dz

ày àz

. àa '^àz

Elle ne contient plus alors que les dérivées premières de la fonction y, et elle est homogène et du second degré par rapport à ces dérivées.

6. Avant d'aller plus loin, nous allons donner l'interprétation géométrique de l'équation (11). Remarquons qu'en vertu de l'équation (9) ou de la deuxième des équations (i), la direction

définie par les formules

ày

est celle d'une tangente à la surface de paramètre ce. Nous allons montrer que celte direction est celle de l'une des lignes de courbure de la surface.

hn etlet, comme Oy — >0y — , ôy— représentent des quantités

proportionnelles aux variations de -r- ? -t-j -t-j lorsqu'on se déplace

suivant cette direction, l'équation (ii) peut se mettre sous la forme

, doL jd% dx dx

, d(x jdoL

dy T- d-—

ày dy

, dx ,da

dz ~ d-~

dz dz

et elle exprime que, lorsqu'on se déplace suivant la direction définie par les formules (12), la droite, dont les cosinus directeurs

sont proportionnels à -t-> -t-j -— > c'est-à-dire la normale à la sur- ^ ^ dx dy dz

face de paramètre a, engendre une surface développable. Nous

pouvons donc énoncer les deux, propositions suivantes, dont la

première est due, comme l'on sait, à Dupin :

Les surfaces appartenant aux trois familles d'un système triple orthogonal se coupent mutuellement suivant leurs lignes de courbure (' ).

(') Ce théorème célèbre a été énoncé et démontré par Dupin dans les Développements de Géométrie parus en i8i3. Voir dans le IV° Mémoire de cet Ouvrage, p. 289, l'énoncé et une première démonstration géométrique de la proposition. Voir aussi dans le V* Mémoire, p. 826, une démonstration analytique des plus élégantes où Dupin s'appuie sur sa théorie des tangentes conjuguées.

Nous pouvons également renvoyer le lecteur à nos Leçons sur la théorie des sur/aces (l" Partie, p. 209), où la démonstration du théorème de Dupin s'appuie sur une proposition générale relative aux systèmes conjugués.

lO LIVRE I. — CHAPITRE I.

Réciproquement, si l'on a deux familles de surjaces se coupant à angle droit et si les lignes d'intersection des surfaces qui appartiennent à deux familles différentes sont lignes de courbure pour les surfaces de Vune des deux familles, il existe une troisième famille formée de surfaces coupant les précédentes à angle droit.

Ces deux propositions peuvent être réunies dans l'énoncé suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux familles de surfaces qui se coupent à angle droit admettent une troisième famille de surfaces trajectoires orthogonales est que les lignes d' intersection des suif aces qui appartiennent à deux familles différentes soient lignes de courbure pour les surfaces de l'une des deux familles.

Celte proposition n'est pas autre chose que la traduction, en langac^e géométrique, de l'équation de condition (i 3). Il en résulte implicitement que, lorsque les lignes d'intersection sont lignes de courbure pour les surfaces de l'une des familles, elles sont aussi lignes de courbure pour les surfaces de l'autre famille. Nous rencontrons ici, on le voit, une application très particulière d'un théorème célèbre de Joachimsthal d'après \e(\uQ^ si deux surfaces se coupent sous un angle constant, l'intersection ne peut être ligne de courbure de l'une des surfaces sans être ligne de courbure de l'autre (*).

7, Les propositions de Géométrie que nous venons d'établir nous conduisent directement au but que nous avions en vue et nous permettent d'établir les conditions auxquelles doit satisfaire le paramètre a d'une famille de surfaces pour que celte famille fasse partie d'un sjstème triple orthogonal.

Considérons en effet un point quelconque ( x^ y^ 5 ) de l'espace ; il passe par ce point une surface de la famille, et, pour cette surface, les directions des lignes de courbure seront déterminées par

(') Leçons sur la théorie des surfaces (II' Partie, p. SgS).

deux systèmes tels que les suivants

dy dz

8jK ^z

où L, M, ]N, L', M', N' désignent des fonctions assez compliquées des dérivées premières et secondes de a, fonctions qui dépendent d'ailleurs d'un même radical carré. D'après le théorème de Dupin, les tangentes aux lignes de courbure de chaque système doivent être les normales à l'une des familles de surfaces que l'on doit associer à la famille donnée. Il doit donc exister des facteurs )., X', tels que les deux expressions

(i6) X(L(/.r-+-Md>-HN^^), \'{h'dx-^m.'dy-\-'^'dz)

soient respectivement des difTérenlielles exactes. Je dis que si cette condition est vérifiée pour la première différentielle, elle le sera également pour la seconde.

Supposons, en effet, qu'il existe un facteur \ tel que l'on puisse poser

(17) \{hdx-^Udy-^'Sdz) = d'^:

alors les surfaces de paramètres a et ^ se couperont mutuellement à angle droit et suivant des lignes de courbure des surfaces de paramètre a. Donc, d'après la réciproque, énoncée plus haut, du théorème de Dupin, il existera une troisième famille de surfaces coupant à angle droit à la fois les surfaces de paramètre a et les surfaces de paramètre ^ ; et les normales aux surfaces de cette troisième famille seront évidemment les tangentes aux lignes de courbure définies par le système (i5). Il existera donc un facteur \' tel que l'on ait

(18) \\V dx-^W dy-^^' dz)=d^,

et Y sera le paramètre de la troisième famille qui complète le système orthogonal.

Les conditions pour qu'il existe des facteurs )., )/ propres à rendre les expressions (16) des différentielles exactes s'expriment respectivement, nous l'avons déjà vu, par les deux rela-