PRÉFACE

Celle deuxième Partie de mon Cours a été écrite dans le même esprit que la première. Laissant de côté les détails accessoires, je me suis proposé de mettre le lecteur en possession des faits mathématiques vraiment essentiels, et j'ai cherché à les relier entre eux par des méthodes aussi directes que possihle. C'est dire que, dans ce Volume comme dans le précédent, la question de l'ordonnance des matières m'a préoccupé tout autant que le choix des matières elles-mêmes. Tout se tient en Mathématiques, peut-on dire; c'est une raison de plus pour rechercher si tel groupement de faits n'est pas plus conforme à la nature des choses que tel autre, justifié seulement par des habitudes acquises. Il est certain, par exemple, que la division surannée de l'Analyse en Calcul différentiel et Calcul intégral n'a plus aucune raison d'être. Par contre, on n'insistera jamais assez sur la distinction fondamentale qui existe entre l'Analyse des variables réelles et l'Analyse des variables complexes. Ce sont là presque deux sciences distinctes, qui, bien entendu, se prêtent un mutuel appui, appui d'ailleurs d'autant plus efficace qu'on aura mieux insisté sur la différence des points de départ.

Le Chapitre lY, par lequel s'ouvre le présent Volume, est précisément consacré aux fonctions analytiques. Ici surtout, les idées que je viens d'exposer d'une manière générale prennent une importance particulière. Il est généralement admis ([u'on doit, dans l'exposition de cette partie de la Science, se placer au point de vue, soit de l'un, soit de l'autre des fondateurs de la théorie, ce qui conduit à reprendre les mêmes résultats par trois

ou quatre procédés distincts. Il me semble qu'on peut avantageusement modifier cette méthode. Un cours d'Analyse n'est pas un cours d'histoire de l'Analyse; le fait d'éviter systématiquement de mélanger les théories de divers auteurs, sans doute pour mieux respecter leur œuvre, me paraît provenir d'un scrupule traditionnaliste que je ne partag'e pas. A coup sûr, il est intéressant de savoir que, à telle époque, tel géomètre est arrivé à construire tout un corps de doctrines, indépendamment des travaux de ses contemporains. Mais, à mon avis, le meilleur hommage à rendre à nos devanciers est encore de continuer leur œuvre; c'est pourquoi j'estime que nous devons aujourd'hui cherchera opérer, non plus une simple juxtaposition, mais une véritable synthèse entre les diverses méthodes qu'ils nous ont léguées, de manière à en construire une nouvelle, qui participe des avantages de toutes les autres.

C'est en partant de ces idées que j'ai cherché à utiliser en même temps la notion d'intégrale de variables complexes et la notion de série entière. D'ailleurs, le résultat le plus essentiel de la théorie des fonctions analytiques réside précisément dans ce fait qu'une fonction qui a la propriété d'avoir une dérivée est par cela même représentable par une série entière. C'est donc la préparation et la démonstration de ce théorème fondamental qui font l'objet des premiers paragraphes du Chapitre. Une fois cette identité établie, on se trouve en possession des avantages de l'une et l'autre méthode, puisque, dès qu'on peut, par un moyen quelconque, montrer qu'une fonction satisfait aux conditions d'holomorphie, il en résulte que son développement taylorien est applicable, ce qui permet de Tutiliser dans les calculs. Ce même théorème fondamental, établi d'abord pour le cas d'une variable, est étendu plus loin au cas de plusieurs, au moyen d'une transformation très simple, qui ne nécessite pas l'emploi des intégrales multiples de variables complexes.

En ce qui concerne le choix des démonstrations, je ferai remarquer qu'il n'y a aucune raison plausible, sous prétexte qu'on est dans le domaine complexe, pour s'interdire de revenir à la décomposition en parties réelle et imaginaire; en fait, ce retour aux variables réelles fournit des démonstrations très

l'UKKVCE. VII

simples et très naturolli^s de plusieurs résultais foii(l;iiii(iil;iiix, en particulier fie rou\ (pii sont fies extensions dr llK'oirincs relatifs aux fonctions réelles, tels que, par exemple, le principe des fonctions composées, celui de la dérivation des intégrales par rapport à des paramètres, etc.

C'est dans ce même (Chapitre ([ue je traite la théorie des séries de fonctions. Bien qu'à mon avis Tintroduction de termes nouveaux ne doive se faire qu'avec une extrême prudence, il m'a paiii indispensable de caractériser par une loculioii brève le cas le plus simple et de beaucoup le plus courant des séries uniformément convergentes, celui des séries dont les termes sont moindres en module que des nombres positifs formant série convergente (ce qu'on appelle quelquefois critère de JVeierstrass). J'appelle ces séries normalement convergentes, et j'espère qu'on voudra bien excuser cette innovation. Un grand nombre de démonstrations, soit dans la théorie des séries, soit plus loin dans la théorie des produits infinis, sont considérablement simplifiées quand on met en avant cette notion, beaucou]) plus maniable que la propriété de convergence uniforme.

Dans le Chapitre Y, consacré aux équations diflerentielles et aux équations aux dérivées partielles, je me suis contenté d'exposer les fondements de la théorie, en m'attachant surtout à faire connaître les cas, en petit nombre, où l'intégration peut être effectuée. J'ai tenu à indiquer, par un exemple classique emprunté à la Physique, comment les équations aux dérivées partielles interviennent le plus souvent dans les applications, quel rôle essentiel jouent les hypothèses complémentaires, et comment on doit en faire usage pour la résolution des problèmes posés.

Le Chapitre YI contient les applications géométriques. J'y expose les propriétés les plus importantes de la théorie des courbes et des surfaces, de manière à préparer le lecteur à une étude plus approfondie de la Géométrie supérieure. Dans l'étude des surfaces, j'ai donné le plus souvent la préférence aux démonstrations qui utilisent les coordonnées curvilignes générales, à cause des avantages de symétrie qu'elles présentent, mais j'ai également mis à profit l'étude du cas où l'équation est résolue

par rapport à une des coordonnées, cette seconde méthode se prêtant mieux à l'établissement de certains théorèmes.

Enfin, voulant donner au moins une application des théories générales exposées dans l'Ouvrage, j'ai, dans un dernier Chapitre, exposé les principes essentiels de la théorie des fonctions elliptiques.

M. Cousson a continué de m'apporter son concours le plus dévoué pour la rédaction et la mise au point de ce second Volume. M. Denjoy, agrégé de Mathématiques, a bien voulu aussi m'assister dans le travail de revision des épreuves. Je leur en adresse ici mes plus affectueux remercîments. Enfin, si tout le monde sait combien est précieuse à un auteur scientifique la collaboration de M. Gauthier-Villars, il convient de dire que la chose apparaît mieux encore peut-être lorsqu'il s'agit d'un Livre destiné à l'enseignement, où tous les détails de l'exécution doivent concourir au but à att(Mndre.

Dijon, le 10 avril 1908.

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DU TOMii 11.

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Préface v

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