I. — Nombres complexes

2O0. Les nombres complexes ou ini((giiiaires s introduiseal en Algèbre à propos de rétude des é([ualions algébriques de degré supérieur à 1. Par définition, un nombre complexe ^ est une expression de la forme a + bi^ a et b étant des nombres réels.

On définit les quatre opérations arithmétiques élémentaires sur ces nombres de la façon suivante. L'addition, la soustraction, la multiplication sont définies par des conventions qui peuvent se résumer ainsi : Un polynôme par rapport à des nombres complexes

z = a -h bi, z' = a' — b' i, ...

est le nombre complexe obtenu en efiecluaril sur ces nombres les calculs indiqués, suivant les règles ordinaires du calcul algébrique, et remplaçant dans le résultat i- par — i.

Cette convention peut être remplacée par la >uivante : On considère comme équivalents deux polynômes en i de la forme

Ao -T- Al t -t- A2 i'^ -(-... , By -f- Bi f -t- Bo f- -7- . . . , B. — II, I

les nombres A et B étant réels, si les restes de la division de ces deux polynômes par f- + i, qui sont du premier degré en /, sont identiques. En effet, les puissances de / :

où n est un entier positif ou nul. sont, au sens précédent, équivalentes respectivement à

On en déduit que le polynôme Ao-f- A, /-i-. . . est équivalent au nombre complexe obtenu en y remplaçant les expressions (i) par les expressions (2) correspondantes; cela revient à remplacer /- par — 1 dans ce polynôme.

La seconde lornie donnée à la convention montie que les lois du calcul algébrique relatives à l'addition, la soustraction, la multiplication s'appliquent aux nombres complexes.

206. Deux nombres complexes a -{- bi, a' -^ b' i sont dits égaux s'ils sont équivalents, c'est-à-dire si l'on a à la fois a = «', b = b' .

Un noml)re complexe a + bi est /ml s il est équivalent à zéro, c'est-à-dire si l'on a a = o, 6 =1 o.

Deux nombres a + bi. a' -^ b' i sont dits opposés ou égaux et de signes contraires si leur somme est nulle, c'est-à-dire si a'^ — a, b=—b.

Quand, dans un nombre complexe a -+- bi, on a 6 = o, on dit que le nombre complexe se réduit à sa partie réelle. Si l'on a «^o, on dit que le nombre est imaginaire pur.

Deux nombres complexes sont dits conjugués s'ils ont même partie réelle et pour coefficients de i deux nombres opposés.

207. Etant donnés deux nombres complexes z = a ^ bi et z'=a'-\- b'i, clierchons un nombre complexe c -\- di qui, multiplié par z\ reproduise z. On doit avoir, d'après la règle de multiplication,

a'c—b'cl^a. h'c-^a'd~b.

Ce sont deux équations linéaires en c et d. Le déterminant des coefficients des inconnues est «'--h 6'-, qui est différent de zéro dès que z' l'est; c et d sont donc déterminés par ces équations; il existe