EG — F2= A2-H B2+C
Désignons par H la quantité posilixe y E(j — V- el rappelons (pie nous avons trouvé comme expression de l'aire d Une surface courhe
/ f\\ du
•421. Les courbes de la surface oLlenues en donnant à l'un des paramètres une valeur fixe sont dites courbes coordonnées sur la surface. Elles forment sur celle-ci deux familles, et par un point donné de la surface passe une courbe et une seule de cliaque famille. Evaluons l'angle 0 que font entre elles les deux courbes passant par le point {x^y, z). Si nous considérons la courbe v= const., les difTé-
rentielles c/.r, dy., dz correspondantes sont proportionnelles à — >
2l8 CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUICS.
-i-> -7-' de sorte que les cosinus directeurs de la tangente à cette ou Ou ^ '^
courbe sont
i dx ^ ày \ dz
v/E au ' ^/ïi du ' ^Ë t^"
De même, les cosinus de la tanj^ente à la courbe u = const. sont
I dx I ày I âz
On en déduit
cosO = L 7 -—
Or dx
v/EG -^ '^" '^'' y/EG
Quand on a F = o, les deux courbes sont ortliogonales. Si cotte condition est remplie en tout point, on a, sur la surface, un système de coordonnées orfltngonales.
42o. Nous allons étudier la courbure des différentes courbes tracées sur la surface en un jioint. lùiint donné un point M de la surface {Jig- 38), la normale en M à la surface a pour coefficients A, B, G;
IMK. 38.
ses cosinus sont ±77' — û' — û" Nous conviendrons d'appeler
direction positive sur La normale celle qui a pour cosinus ^5? B G H' h'
Cela posé, considérons une courbe quelconque G tracée sur la surface et passant par M. Le plan osculateur à G en M passe par la tangente MT. Il suffit, pour le définir, de donner la normale principale en M, laquelle est une droite perpendiculaire à MT. Soit B l'angle de la direction positive de cette normale principale avec la direction positive de la normale à la surface. En adoptant pour la courbe G les notations employées précédemment, nous avons
cos6 = — -;-! lL,
KTUDK I) UNK SURFACK AU VOISINACK I) IN POINT.
OU, on inlroduisanl le rayon de conihuic P> de l;i ronthe m 1\I, ;iii nioven des formules de Frenel, -r^ r= -— , . . -,
1\ (tS
llcosQ A rfg + B d'à -\- (] rh; Nous avons
dx ,
a = -7- , dot.
ds
dx d'^x — dx d- s ds-
d'où, comme on a A dx -\- B dy -\- (Zdz ^= o,
H cosO A d^-x -h B d'y -4- G d-z
E\aluons d-x^ ^^'Yt <^'^-] on a, jiar exemple,
d^x = -T- „ du- -I- •?. - — — du dv h — — - «c ou^ ou av dv^
Ox dx
ou 04'
En formant la combinaison A.d'-x -\- ^ d'-y -{- Od- z^ on voit que
dans cette expression les termes en d-u et d'-v ont leurs coefficients
nuls, de sorte qu'il reste une forme quadratique en du, dv. Nous
écrirons
H cos 0 El du^-^'i F, du dv ^G^dv^
fT" d?- '
en posant
^^ ôuc'est-à-dire
du dv
dx ày dz
du du du
dx dy dz
dv dv dv
du^ du- du-
Gi =
dx dy dz
du du du
dx dy dz
dv dv dv
dv- dv- dv-
dx dTi
du
dz du
dx dv
dv
dz âv
du dv du dv du Ov En remplaçant ds- par son expression en du, dv, nous avons la
220 CHAPITKE VI. — APPLICATIONS GEOMETRIQUES.
formule fondamentale
H cosO El r/?/2 -h ■>. F, du Hv -+- G, <7c2 ^'^ K ~ [iclu-^ ■>ldu(/v- (WA--
426. Cette formule montre que le rayon de courbure d'une courhe tracée sur la surface est déterminé des que l'on se donne, d'une pai-t,
le rapport — et, dautre part, l'angle 8. Le rapport -r- fixe la position de la tangente à la courbe, et l'angle 9 fixe ensuite la position de la normale principale, c'est-à-dire du plan osculateur. En d'autres termes, le rayon de courbure ne dépend que de la position du plan osculateur: il est le même pour toutes les courbes passant par M et ayant en ce point même plan osculateur. De plus, la direction positive de la normale principale est la même pour toutes ces courbes; cos6 a, en eflet, un signe déterminé, le signe du second niçnd)re de(.).
L'angle 0 est donc toujours aigu ou toujours obtus; donc loulcs les courbes ayant même tangente et même plan oscillateur en M ont même centre de courbure.
127. TuKOui:ME DE Mels.mih. — Faisons varier H en laissant fixe
ch
le rapport -^, c'est-à-dire considérons des courbes C tracées sur 1
surface, passant par M et assujetties seulement à a\oir même tangente MT. La formule (i) montre (pic pour ces courbes le ra|)-
l-ig. 39.
, ces 6 , /->•!> • I-
port —r— demeure constant. Considérons en particulier, parmi ces
courbes, la section de la surface par le plan qui contient MT et la normale en M à la surface; pour cette courbe, 8 est égal à o ou u, |cos8| = i; par suite, en désignant par p son rayon de courbure,
vil. — KiiKi-: Il t m; snu\(i. \i voiM.wt.i; d i n point. 'jivi
on a
z=z - (III K — û|cosO|.
Cola montre (//i? . 39) que le centre de courbure Y de la courbe C^ est 1(1 projection orthogonale, sur la normale principale à C, du centre de courbure C„ de la section normale passant par \V\ .
11 en r(''siilt(' que, pour les courbes (i, le lieu de T est, clans !<• phiii [leipciiiiiciihiire à MT, un eercle (lécril sur MC^o comme (liamrlie.
4^8. Lu cas |)aili( iilier impoiiaiil de la représentation paraiin'- Irique des surfaces est celui où l'on prend comme |)aramètres deux des variables x, )', c. Su|)posons, par ('xein[)le, que Ton prenne j", y\ la surface sera délime par une écpialion de la forme
l^osons
ùz ôz ù'-z rr-z à'-z
' dx dy dx- dx oy uy-
On a dabord
dz = p dx -+- q dy ,
ds"- — dx"- -H dy- -f- dz- — {\ ^ p^ ) dx- -i- -y.pq dx dy -i- (i -h c/-) dy-.
Formons le tableau des dérivées premières de x.y^ z par rapport
aux paramètres
Les ([uantités que nous avons désignées par A, B, C sont remj)lacées par — />, — q, 1. Calculons E, F, G, H; on reconnaît qu'on a
p]=iH-/>-, V = pf/, G=i — <7-, 11= ^^i ^ p- - '/':
puis, en calculant de même E|, F,, G,, on trouve p:, = /•, Fi = .V, G, = t.
Kn prenant |)our direction positive sur la normale à la surface eu
Mil- I ' — P — */ un point Al la direction de paramètres , . ,
' — , et désignant par H l'angle de cette direction avec la s'\ — p'—qnormale principale à une courbe tracée sur la surface en M, la lor-
^22 CHAPITRE VI. — APPLICATIONS (ilïOMETRIQUES.
mule (i) devient
\/ 1 — n- — q- „ r tlx- -^ is dx dy -^ t dy-
^2) - — cos U = '■ •
R {\ -^ p"-) dx'-^^ ipq dx dy— {\ ^ q- ) dy''-
Etablissons celte formule Jirectemcnl : soit une surface ayant pour équation
L'angle fi étant défini comme précédemment, on a, avec les notations
déjà employées,
— /?a, — <7^, -I- Yi cosO= — >
yj \ -^ [>''■ -^ q'-
d'où
cos 6 y/ 1 -I- /?■- -H 7^ — pd% — q d'^-^ d'( R ^ TFs
La tangente à la courbe étant dans le plan tangent à la surface, on a
•d'où, en diflerenliant,
— pdi — q <j?^ -f- f/y — 'J- dp — 3 dq = o.
<Jeci nous permet d'écrire
cos6 v/i —-/J^ -^ 7- af^p-^'idq H ^ ds *
Or, nous avons
dp = r dx — s dy, dq = 5 dx — t dy,
d'où, en remplaçant dp et clq par ces valeurs, puis dx et dy pav7.ds el |j ds,
En remplaçant a, |j par -j^, -j- , puis f/5- par sa valeur, on retrouve la formule (2).
429. Pour étudier la courbure des courbes tracées sur la surface en M, il suffit donc d'étudier la courbure des sections de la surface par des plans normaux en M. Pour ces courbes, 0 est égal soit à o, soit à T.. Nous conviendrons de compter comme positif le rayon de courbure R d'une section normale s'il est dirigé sui\ant la direction
VII. — i:iii>i; i> im; si ukacic ai vnisi\\(.i; n i n i'hini. » / 5
po.sili\e de ki noriiKilc ii la stiil'iicc cl coiiiiiic ii('';;alil > il <s| diri;^!' en sens iinerse. Moyennant celle conNcniion, R dcvlcni une (|iianlitc ali;cl)ri(|iif (lui c^l (h'Iiiiiccn ^l'andcnr <■! <'r) si^nc pai' la iclalioii
H !•: , dir- -~ -i V , tlu (h -(- G 1 f/c2 ÏÏ ~ V.dir- -i.Vdadv-r- Gdv^ '
ou. si x^j sont les paramètres, par la relation
l*laçons-nous dans ce dernier cas et portons Toriginc des coordonnées au point M qne l'on étudie, de façon que le plan langent •<Mi M dc\icnnc le ])lan des xy. On a alors, pour M,
La formule précédente devient
R étant le rayon de courbure compté algébriquement sur l'axe Oz. Soit to l'un des angles de la tangente à la section normale considérée
avec Ox; on a
a = cosw, ^=sina).
<roù
•Crest au moven de cette formule que nous allons étudier les variations <lu rayon de courbure pour les différentes sections normales en M.
430. Indicatrice. — Sur la tangente MT, portonsà partir de M, de ])arl et d'autre de M, une longueur M {jl égale àv/|R|. Le lieu du j)oint 'j. (piand w varie est appelé V indicatrice. Nous allons étudier cette courbe. Soient ç, y, les coordonnées de jj.; nous avons
t = y/|H|cosw, Tj = /l R| sinoj.
Ecrivons que cos to et sinoj satisfont à la relation (4 K il Nient r\^-^ is ^r, -i- ^ ï)- = ± I . C'est l'équation du lieu du point ;jl. 11 y a troi'^ cas à examiner
suivant le signe de la quantité rt — 5- qui est le discriminant de la forme quadratique en Ç, yj du preuiier membre :
i*' rt — 5->>o. Le trinouie /•eos- oj -h 25 sin to cosco-f- f eus- w, et nar suite aussi R, a un signe constant. Gela montre que, pour toutes les sections normales, le centre de courbure est du même coté du plan tangent. Ces dillerentes sections ont donc toutes leur concavité tournée d'un mèin(; (;ôté. Au voisinage du point M la surface est tout entière d'un mêuie côté du plan langent : on dit (pi'elle est convexe en M. L'indicatrice est, comme on le voit, une ellipse.
■x" rt — s'-<^o. Le trinôme en to est tantôt positif, tantôt négatif, suivant les valeurs de lang (o. 11 en est de même de Pi, de sorte que les sections normales ont leur concavité les unes d'un côté du plan tangent, les autres de l'autre côté. La surface est, au voisinage de M, de pari et d iiiilre (hi |)lan langeiil. Il va en outre deux directions pour
lesquelles le trinôme en o) s'anuulc. Pour chacune d'elles on a — = o,
c'esl-à-dire qu'il v a inflexion j)our la section normale correspondante : on dit que la surface est à courbures opposées. Quant à l'indicatrice, elle se couipose de deux branches d'hyperboles ctjnj liguées ayant pour asviuptotes les deux droites correspoudaut aux valeurs de lu pour lestpielles le trinôme s'annule. F^cs deux asymptotes de l'indicatrice sont dites taiifienles principales.
S" rt — s''^= o. Le trinôme en co a \\\\ signe constant, mais est nul pour une certaine valeur de langw. Pour la section correspondante R est infini; il y a donc inflexion en M. Toutes les autres sections ont leur concavité tournée d'un même côté du plan tangent, (^uant à l'indicatrice, elle se compose de deux droites parallèles.
Considérons, dans les trois cas, les directi(jns des axes de l'indicatrice. Pour ces directions, R est maximum ou minimum. On appelle ces valeurs de R les rayons de courbure principaux en M. Les sections normales correspondantes sont les sections principales en M.
On appelle ombilic un point pour le(piel l'indicatrice est un cercle ;
en un tel |)oint, R est constant pour toutes les sections normales. Il
faut et il suffit |>our cela que l'on ait, dans le système particulier
d'axes choisis,
431. L'indicatrice nous apparaît dans cette théorie comme une courbe auxiliaire représentative. On peut encore la considérer sous un aspect dînèrent. Prenons les mêmes axes que précédemment et
VII. — KTiDE h iMî si;nK.\(;i': ai; voisinac;!-; i> un point. T/t
supposons fpie : soit r('pr('s(Mil(': pur iiiif! l'onction (h; .v^ y di^vcloppaMc par lit fornuilc de 'l"ii\ lor. Le plan tan<;('nl m ;M clanl lo plan des .ry, z nv conlicndia pas de termes du piciiiiei- (l<-^ro on .î",y; lo lornics du second de|;rc scronl iw- -{- 2Sj:j' -\- ty- cl Ton aura, en arrêtant la formule de Tavlor au troisicino terme.
Le plan tangent en M coupe la surface sni\anl la coiiri)e ajani pniir c(piation dans son plan
c'est une courhe pour hupielle Toriginc est un point douhle. Les tangentes à celte courbe en ce point sont les langenles principales. Elles sont imaginaires, confondues ou r(''elles suixant que /■/ — .s'est positif, nul ou négatif.
Coupons maintenant la surface par un plan parallèle au j)lan tangent, soit zz=h, et projetons la section sur le plan tangent; cette projection a pour équation
A = i ( rx^- -+- ■>. s xy + ty^ ;n- i ( xj^ + yf'y)[^^.^ f,^.
Transformons cette projection en posant
A étant un certain facteur qui reste à di'terinlner. L'équation de la courbe transformée est
■2A2 ^ 6X-' I ÛT^ V A A / J
ou
3A [ Ox^ \ A A / J
l^renons A tel que l'on ait
Cela étant, faisons tendre A a ers zéro; nous devons, pour conserver la relation entre A et h, faire croître A indéfiniment. Nous sommes conduits à dire que la couibe obtenue tend, dans ces conditions, ^ers la courbe ayant pour équation
/■X«-+- 2sXY -+- n'2 = ± I.
■226 Cil Al'lTKK VI. — APPLICATIONS CKOMKTRIQL'KS.
Ceci conduil à la défmition siilvaiile de Tindicalnce : on coupe la surface par un plan parallèle au plan tancent et infiniment voisin de ce plan. On amplifie la section ainsi obtenue suivant la loi indiquée. L' indicatrice est la limite ve/s laquelle tend la courbe transformée, lorsque le plan sécant vient se confondre avec le plan tangent.
i32. Prenons, par exemple, la surface ayaiiL pour étuialion ^ = a"--r- '>.y'--¥- '-^nisr^ y),
'j.T étant un polynôme de degré su[)érleur ou égal à .). L'indicatrice est une ellipse.
Pour la surface
z ^.r-^ -iy^+o^ix, y),
•j;, ayant la même significalion, c'est une hyperbole. Enfin, pour la
surface
c'est une parabole.
433. Courbure totale. — Soient R|, R^. les rayons de courl)ure principaux (n" i30) en un point d'une surface. On appelle courbure totale en ce point le produit ,, „ > c'est-à-dire le produit des courbures des sections principales.
La courbure totale en un point est [)ositive si la surface est convexe en ce point, négative si la surface est à courbures opposées en ce point. Enfin elle est nulle en tout point où l'indicatrice est parabolicpie.
On appelle courbure moyenne l'expression ^ — 1~ û~'
Si l'on considère deux sections normales rectangulaires correspondant, par exemple, aux angles (o, w + -■, et si l'on désigne par R et R' leurs rayons de courbure, on a
— ^ /• cos-io -1- is sinoj cosio -f- / sin^oj. i\
-—==/• Sin- CO — 2* SOI eu COStO -r- / cos-io,
d'où résulte
TT -H ,-, =/•-:-/ = consi.
VII. — KTtDK u'iM.; SIUI'ACK \l VOISINAGM 1)1 N POINT. '!.■>.•]
434. Aux ('Indes picccdfiih's >c liilhiclii' IClinIc des l(»iu;lioiis de deux vai'iahlcs iv-clles. l'.liidier mu; \o\\K-X\in\ J\x^ y) do deux varlahlrs revient, en cllcl, à éludicr la surface représentée par l'équaliou
Etant donnée une fonction :; =f(^x^y)^ il y a niaxiniuin pour ('olte fonction au point (xq, y^)-, si dans un certain champ des \arialjles .r, y auquel esl inlénciii- le |)()iul (xo,y„), on a constaïuincnt
Si, au contraire, on a conslauiment
il V a miiuimuin au point (j^o-' .}^o)-
Pour (jn'il v ait luaxiinuiu ou niliiliuuin. Il faut évidemment (piil V ait inaxiMuiiu ou iniiiiniuin (juand Tune des variables varie seule, l'autre rece\ant une valeur fixe. On eu déduit, comme conditions nécessaires d'un uiaxinuim ou ininiinuni, que les dérivées partielles
-^> -4- doivent être nulles au point considéré. (On obtient le même ()x oy '
résultat si, au lieu de deux variables, on en a un nombre rpielcouque.) Supposons ces conditions remplies en un point (-c,,, y^). La question de savoir si la fonction a, en ce point, uii maximum ou un minimum, se ramène à l'étude de la forme de la surface au voisinage du |)oint {xq^Yçs).
En conservant les notations précédentes, si ri — s- est posilit, l'indicatrice est une ellipse, il y a effectivement maximum ou minimum. Si r t — s- est négatif, l'indicatrice est une hyperbole, il n'y a ni maxiuium, ni minimum. Si rt — s- est nul, le cas doit être considéré comme douteux; il y a lieu de faire une étude com[)lémentaire.
4"?o. Revenons aux coordonnées curvilignes générales; nous avons obtenu la formule
Il l'^i (lii- — >. F) du dv -+- Gi dv- R E du- -t- 1. F du dv -\- G dv-
II en résulte, d'après l'étude classicpie des fractions du second degré, que, pour que -5 soit constant, il faut et il suffit (pie l'on ail
