VII. — Étude d'une surface au voisinage d'un point

422. Considérons une surface définie par des équations de la forme

u, p étant deux paramètres indépendants.

u, V constituent un système de coordonnées curvilignes auxquelles est rapportée la surface. On obtient une courbe tracée sur la surface en établissant une relation entre u et r. Nous avons, en dillérentiant (i),

\ dx = — du -(- —- d\\ dy = -^— du -+- ■^— dv,

\ Ou r)i- -^ Ou Ov

f dz ■= — du -4- -^ dv.

\ Ou Ov

Les coefficients de la tangente à cette courbe au point (a;, y, z-)

Ml. — i:ti i)i: I) iMC smikack w \oisi\Ar.K n in I'oim-. /ij

sonl pi'oporliouncls à (/./", (/j\ (/z. Kliinl doniK" un poiiil (l('l(;riimi('' de la surface, ou reconnaît (|iio les tan^(Mites aux dill/'r-ciilcs cduilics tracées sur la surlace el passant |)ai" ce point sonl loulcs c(uilcnues dans le plan (pu a |)(>iir (''(|ualu)n

fX,.)£iil±) +(Y-^>i^lii' +(Z-=,g<^» = o.

Ce [)lan est W' plan tangcnl à la surface an point {x^y, z). Nous poserons, dans celte élude,

D(r, z) V)iz,x) \)(T.y)

•423. Calculons, pour une courbe tracée sur la surface, le carré de l'élément linéaire de lare, e'est-à-dire la quantité désignée par ds'-. On a, d'après (a), en supposant les axes de coordonnées rectangulaires,

ds"^ := dx- -+- dj- -+- dz- =^ li dii--+- ■>. F du dv -4- G r/f -,

€n po.sanl

E=yC^)\ F^y^t"' G=y(:^y,

les signes 7 étant appliqués auv lettres x, j', :;. Entre ces (piautités

K, F, G et les quantités A, B, C déjà définies, on a d'ailleurs la relation sui\anle (identité de Lagrange) :