VIII. — Lignes asymptotiques

130. On appelle ligne asyniptolicjue d' une surface une ligne tracée sur cette surface et (jui, en chaque point, est tangente à une fies tangentes principales, c' esl-à-dire à V une des asymptotes de V indicatrice en ce point. Pour qu'il y ait une ligne asymptolicjue réelle passant par un point, il faut qu'en ce point l'indicatrice soit non elliptique, c'est-à-dire que la surface soit à courbures opposées.

Supposons la surface définie en coordonnées curvilignes générales. Il s'agit de trouver une relation entre u et v telle que le point dont les coordonnées curvilignes vérifient cette relation décrive une ligne asymptolique (h; la surface. Or, en tout point d une telle courbe, la tangente coïncidant avec une asymptote de lindicatrice, la section normale passant par cette tangente a un rayon de courbure infini. La

formule générale qui donne -r- montre que, dans ces conditions, u et i'

doivent èlre liés par la relation

Ej du- -h 7. Fj du dv -\- Gi dv^ = o.

On dit <pie cette relation est Vérpiation différentielle des lignes asymptotiques. C'est une équation du second degré en -y-- En la résohant, on est conduit à deux équations de la forme

Cliacuno de ces équations admet une intégrale dépendant d'une constante arbitraire.

11 existe donc sur la surface deux familles de lignes asymptoticpies, dont cliacune dépend dune constante arbitraire. Par un point de la surface passe en général une courbe de chaque famille et une seule.