VIII. — I.KJNKS ASVMIToriUl KS. 'Vi
Ces courhos son! r«''ellos si K|G| — F;^ << o ( c'est le cas d un point où la surface est à coiirhiires opposées), iinaj^inaires si E| G] — F;î^<» (cas (le la surface convexe). Fnlin, si l*>|(î( — V^^ = o (p(nnl par-iholique), il n'y a plus (.[u'une langenU; principale.
Supposons maintenant que J?, j)^ soient les variables indf'pcnd.inles. Le raisonnement est le même, et Ton lron\(; cpie I ('(iintinn dillV-rcntielle des lignes asvmploti(|ii("s esl
/• d r- -7- -is tir dy -+- t dy- = o.
T-. . 1 ■ , dv 1 • I
\Ln resolvant cette e([tiali()n p;ir ra|)p()rt a -4— > on ohlient (hmix
équations dllYérentielles du premier ordre; chacune d'elles correspond à une famille de lignes asjmptotiques (|ui dépend <rune constante arbitraire.
437. En tout point d'une ligne asymptotique, le plan osculateur à cette ligne coïncide avec le plan tangent à la surface en ce point. En eflet, prenons les coordonnées curvilignes générales; le plan tangent à la surface au point (?^, e) ayant pour coefficients A, B, G, les conditions pour que le point («, v) décrive une ligne dont le plan osculateur en chaque point soit le plan tangent à la surface
sont
A dx + 13 dy -h C dz = o,
La première condition est vérifiée pour toute courbe tracée sur la surface. D'après un calcul fait précédemment (n°42o, p. 219), le premier membre de la seconde est égal à
El du- -I- 2 Fi dit dv -^ Gi fA- .
Cette reconde condition est donc équivalente à
El da--^ 2F1 du dv -i- Gj dv- — o.
11 en l'ésulte qu'il y a bien identité entre les courbes ainsi définies et les lignes asymptotiques.
438. Cherchons les lignes asym|)totiques sur une surface réglée. Les génératrices de la surface en constituent une première famille. En efiet, en un point ^[ de la surface, la droite qui passe par ce point est dans le plan tangent et constitue une section normale de la surface à rayon de courbure infini. C'est donc l'une des deux tangentes
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principales, de [sorte qu'elle constitue une courhe qui, en chacun de ses points, est tangente à une tangenle [irincipale.
En particulier, pour une surface réglée du second degré, les tangentes principales en chaque point sont les dexix génératrices de la surface qui passent par ce |)oint. L'indicatrice est, en tout point, hyperbolique, et les lignes asjmptotiques de la surface sont ses deux familles de génératrices.
Dans le cas général d'une surface réglée, cherchons l'équation différentielle de la seconde famille de lignes asymptotiques. Supposons la surface définie par les équations
.ro-!- a H,
Î0-+- yif,
•^05 J'o5 ^oj 2^5 (J^ Y élaiil des fonctions doniu'es d'un paramètre c. Quand u varie, r restant fixe, le point (^, J', ^) décrit une droite; en d'autres termes, t' = const. représente la famille de génératrices reclilignes de la surface. Calculons les fonctions E,, F,, G), nous avons
àro
dx du
d-^x du-
dy
du
