XIII. — Lignes géodésiques

47o. On appelle Ligne géodésicjae à'nne surface une courbe tracée sur celte surface et telle que son plan osculateur en chaque point est normal à la surface. Su|)posons la surface définie en fonction de deux paramètres m, v. Etant donnée une ligne décrite par le point {x,\\ z), le plan osculateur en un point de cette ligne est défini par les deux directions de coeflieients respectifs dx^ dy, dz et d-x\ d'-y^ d-z. Pour que ce plan contienne la normale à la surface, il faut et il suffit que les trois directions {dx^ dy^ dz), {d-x, d'-y. d-z), (A, B, C) soient parallèles à un même j)lan. d'où la condition

I (/.T dy dz I ( I ) (l-x d^r d-z =0.

On a ainsi, eu exprimant tous les éléments de ce déterminant en

fonolion de ii, v, Véquation différentielle des lignes géodésiques. Cherchons quelle est la forme de cette équation. Remplaçons dx^ d'-x, . . . par leurs valeurs :

, ()T , ôx ,

dx ^ — c/u -1 — ^ av.

Ou ov

d'i X = ——- du- -f- 1.

ou- ou Oi-

du dv J r — d\- -+- ^ rt- « -f- -— d'V.

ov- Ou ov

On voit que le premier membre de l'équation (i) se présente sous la forme d'un polynôme en du^ dv^ d^u, d'^v, du troisième degré par rapport à <r/w, dv. L'ensemble des termes contenant seulement les différentielles premières est de la forme

L du^ -1- AI du- di' -+- N du (U- -t- I' dv^.

11 peut y avoir, en outre, des termes en diid'-u, dvd'-v^ dud-\\ dvd-u. Les deux premiers ont leurs coefficients nuls, car ce sont des déterminants ayant deux lignes identiques. Le terme en dud'-v a j)Our coefficient

dx du

,)y Ou

Oz Ou.

r)x ôv A

Ov B

Oz Ov

c'est-à-dire A- H- H- + (l- ou H-. iJe même, le coefficient de dv d- u est — H-, de sorte ({ue léqualion difiérentielle des lignes géodésiques peut se mettre sons la forme

(2) L du'^ -+- M du"^ dv -h \ du dv"- -i- P dv^ -~lV-{ du d^ v — dv d'-u)^ o.

Si l'on prend comme variable indépendante «, v étant fonction de u, on a l'équation

a, |j, Y, 0 étant certaines fonctions de it, c; on déduit de là c\u^une ligne géodésie/ ue est déterminée par un point et la tangente en ce point. En effet, donner un point, c'est donner un .système de valeurs Woi '^0 ; donner la tangente revient à donner la valeur de r,',, et, d'après le théorème d'existence des solutions d'équations différentielles, il y a une fonction déterminée i' de u qui satisfait à Téquation (3) et qui, pour ;/ = Uq, prend la valeur v^ en même temps que sa dérivée première prend la \aleur v'^.