XII. - DKl'on.MATION KT lUCI'IllOSKNTATION DKS SDIIKACKS
d'où
d\-'-hcf\^
[.e |)r<)l)l«"'nic sera rt'soln, le (acleiir /. ;iv;ml pour \,ilciir
i73. Clierclions, en parliciiller, des représenlalinns d'imc s|)lière sur un plan, dans les(|iielles les angles soient conservés. Prenons j)our coordoiuK-cs d'un point de la sphère
a' = R sin 0 cos'J, j- = R sinO sin-^, z- : On a, dans ces conditions,
Pour avoir une solution du problème, écrivons
\\ cosO.
\ ' siii-oy
dO
Comme c^cc et -.—7- sont deux différentielles exactes, il suffit (Je ' sint)
poser
r/O siiiO
tans
pour a\oir une représentation confornie de la sphère sur le plan (X,^ ).
ris. '.'.
Supposons qu'il s'agisse de représenter une poilion du gloljf leirestre, c'est-à-dire d'en tracer une carte, l'renons pour axe OZ l'axe polaire. Les courbes cp = const. sont sur la Terre les différentes méridiennes; les courbes 6 = const., les parallèles. Il leur correspond dans le plan les droites X = const. pour les premières, les droites Y :=Lz const. pour les secondes (Jis^'- 4-)- -^ diirérents UK-ridiens Taisant «ntre eux des angles égaux correspondent des droites également dis-
laiites les unes des autres, mais à diflerenls parallèles obtenus en donnant à G les valeurs 0, G + i°, 6 + 2". . ,. correspondent des droites s'écarlant de plus en plus l'une de l'autre. Si l'on va sur une
méridienne de l'équaleur au pôle, H varie de -i^ à o, tang - varie
de 1 à o, \ varie donc de o à + oc. \ léquateur correspond donc l'axe des X ; à des points voisins du pôle correspondent des points très éloignés dans la direction de O^ . On désigne cette projection sous le nom de projection de Mercator.
On appelle ioxodromie une courbe tracée sur la surface iki ghdje terrestre et qui coupe tous les méridiens sous un angle constant. Je dis que, dans la projection de Mercator, elle est représentée par une droite.
Soient, en effet, deux points A, B du globe terrestre ayant pour images A' etB'. .Joignons A'B'. Ce segment A'B', ([ui rencontre toutes les droites X ^const. sous le même angle, est l'image d'une courlje tracée sur la sphère. Comme l'angle de deux courbes se conserve dans la projection, celte courbe AB rencontre tous les méridiens sous un angle constant. C'est donc bien une Ioxodromie.
474. Indiquons une autre représentation plane de la sphère, conservant également les angles. Nous pouvons écrire
. , , ,0 / W-cm ^, /» , as- = 4 cob* - / j- -r K - lanj^- - d'u
\ 4 cos* -
Posons on en déduit
de sorte qu'on a
K taiitr-:
Rf/0
•j. ces- -
ds"^ — 4 cos^ - ( <7o ' -f- ;■- f/cs- ).
L'expression dz,- -r- 0- <;/'j- représente le carré de l'élément linéaire d'un arc dans un plan rapporté à un système de coordonnées |)olaires es et p. Il suffit d'établir entre 9 et o d'une part, p et cp d'autre part, la relation
0 = K lang -) ' 2
\iri. — I.KiNKS (;KOr)ESIQUKS. 7,7 1
pour avoir une re|tr(''scMlal ion plinic de |;i spliric «Luis ),m|ii(IIc Ir-, angles sont consei'\és.
Cesl une projection stéréogr<i/>/ti(ii(c olitcnue de la laçDu sui- \anU' : Soient (.) rime des extrc'uiilés de Taxe polaiie i flg. /['.'>),
Fis. '.i.
A un point de l'héniisplière qui ne contient j)as to. On pientl pour image de A l'intersection a de Ato avec le plan de l'cquateur. Eu ellet. prenons un méridien déterminé, c'est-à-dire attribuons à '^ une certaine \aleur; on a
OcoA = ^-,
d'où
0« = 0 = W lan" -•
