VI. — Inversion

318. D'après la théorie i;énérale, g.^ et g^^^ sont fonctions de w, o/; dans le cas du réseau symétrique par rapport aux axes, nous avons inversement obtenu les expressions de w et to' en fonction de g.^ et ,^3. Nous allons, en restant dans ce cas, étudier d'une manière plus complète les relations entre les périodes 2co, 2(0' d une |)art, et les invariants g-ii gi d'autre part.

Considérons le cas (n"^ ."^JIo, 5 1(5) où w et -r- sont réels et j)ositifs; nous avons obtenu

dx

\J !^X-^— g-lT— g^ * -^-e, \J '\X^~ g-iX -\- g^

Nous allons tout d'abord transformer la pi^emière intégrale. Les racines Ci, Co, <?;i du poljnome sous le radical sont réelles, et l'on a

Nous poserons (i) a-^ = e,-.3, A-= lr=li.

On a k- < I ; en adjoignant aux deux dernières équations la relation e, H- e^H- e■^ = o, on peut les résoudre par rapport à e,, f,, ^3, ce (|ui donne

( 2 A-"- ) [J.- ( 2 A'- — T ) [Jl2 — ( I -:- /,-2 ) [Ji2

^1 = rr- -■> 6-2= r, 5 ^3= :; •

On reconnaît ainsi (ju à tout système de deux nombres positifs u- B. - II. 21

322 CIIAPlTRi: VU. — l'OXCriOXS ELLIPTIQUES.

et A- tels que A - << i correspond un système de trois nombres réels e, , eo, C;} satisfaisant à e, + 62 + ^3^0, et, par suite, un polynôme 4^^ — g-iX — ^3 de discriminant positif. Ecrivons

\/(x — e^ ){x — e.2) [X — e.j ) Nous poserons

allant de 1 à o quand x ^a de e, à -f-cc. On déduit de là

a? — ei = a: — é-s — (e, — Ca) = j

:c — ^2=37 — Ci— (e.,— e-i) = »