V. — CAS l)i:s I.WAlllVMS IIKKI.S. ll

<^iHiiiii's coiij II pitres, soit

a ^'/ p tliiiit clcuj nonilncs i)(isitij's . IVoiis lirons <lc l;i a =; to -t- lo', p / = w — tu'.

Cherclioiis 1rs valeurs do 1 argiunoiil qui inulcnt pu réel. Soiciil dc'Ui \aleuis conjuguées de l'argumeut

i/ = a + èi, «u = <'' — f^i\ pour que j^w soit réel, il faut et il suifil que Ion ait

ce qui exige

« ± «u = 2 //i a» -t- 2 n lo',

m et n étant entiers.

On obtient, en prenant le signe +,

2 rt = ( /?! -I- n) -x-^ {m — n)^ice qui exige m = n, a = ma et. en prenant le signe — ,

ifjï = (m -h n) OL -r- (m — n) ^i, ce qui exige /? =: — m, /» = /» 'i.

Fiji. ^9-

II faut donc que a soit multiple de a ou que b soit multi|)le de |j. Tous les points u ^ a + bi satisfaisant à cette condition sont le> points des diagonales du réseau des parallélogrammes {fig- 49)- ÎNous avons ainsi tous les points diin réseau de rectangles formé par K;

parallèle à Oy menée par A, la parallèle à Ox menée par C et les parallèles équidistantes.

Posons encore

Nous avons

pw = t'i, p( co -^ eu') = e,,

,p(tO -r- lo') = J)X = ^-2.

ptt) = 63.

e.2 est réel, e, et e-^ sont imai;inaires conjugués, car les points to et to' n'appartiennent ni Tun ni l'autre au réseau de rectangles. Par suite, pour le polynôme 4-*' — gi-^ — ^3, on a

A cause de la double périoilicité de J)M, il suffit, pour étudier les valeurs réelles de celte fonction dans tout le plan, de les étudier sur OA et sur OC.

Lorsque u décrit OA, p' 11 (pii est réel ne s'annule pas, sauf au point A. pu varie donc toujours dans le même sens: il décroit c?<? + oc à e-i lorsque u varie de o à a. Posons encore

nous aurons

X =^ pu;

-^ =p'" ^—\/\x^—giX — g3,

Intégrons entre les limites j"=z+x, x=:^e.2. u va de o à 7., d'où

r"^ dx r^- d.

\/ 'iT-'—A'or

sfjx^

Nous avons ainsi la valeur de a en fonction de ^o et ^3. Étudions maintenant la fonction sur OC. Posons, sur OC, m = iv. Quand a va de O en C, v varie de o à |B. De plus, on a

J)( IX I OJ. (O ) = — p ( c

I co' \

Le svsteme de périodes -^i —^ n est autre que le système p — «a, 3 4 /a. On passe donc de la fonction étudiée à cette fonction auxiliaire p(r -r5 ^)> en permutant le rôle des deux nombres a, ^.

\ I - IN\ i;iisi(i\. "l'f.i

LorS(|UO f vaiic de o à p, ccMv (oiiclioii \;i dn -^ v, ;i l:i iMciiif réelle du polviiome correspondant. ( )f, les imarianls iioiiNcaiix >ont éyaiix aux ancicus. mullipllcs res|)ecli\<'Mwul par /' cl /''' ; ce suiil donc g-i et — i,'3. Le p()l\ii()Mic en x corres|>()ii(lanl est /j.r' — giX -^ g-^^ et ses racines sont — <?,, — r'^, — c^. La racine réelle est — e^, et l'on a

La fonction auxiliaire allant de -f- x à — r.j, la fonction donné'c va de — oc à <^..