VI. — invi:ksion

Posons 3 = siii'^, ':; all;iiit <lc o ;i -• (ioiiiiiK' on ii

dz = c(i>:p (lo, y/ I — j'^ = cosci,

il \icnl

• ' v/ I — A- sin-o t/„

1 — li- sin- Ci) - r/'j.

On peut aj)|)li(|uer à la fonction à intégrer la fornuiie du binôme,

[juisqu on a

k- sin^o ^ A-< i ;

on obtient une série normalement convergente, qui peut s'intégrer terme à terme, de sorte quon a

t!/(A)= h > X-/' / ■éwi^fod^.

Pour avoir la \aleur des intégrales du second mendjre, parlions de la formule

(si 11 2/'-' coscj/ = {ip — i ) sin-/— 2 Ci cos-o — sin-/'-^ =: {ip — I) siii-/^~-<3 — -ip siir-/'o,

qui. intégrée entre o et —, donne

Il 7C

o=(2/> — i) I sln-i'-'-od'jf — 2/1 / sin-/'oi/ci. Par le procédé de récurrence, on en tire

f ■ , , -r: 1. J...2/- — / sin-/'ci rto = - ;

et, par suite, en supposant toujours A" << i ,

'}(Aj est une fonction croissante de k\ je dis que. quand k tend

vers I, J>(/i') croît indéfiniment. Reprenons la formule

do

'- 0 V ' — ^' siiT^Q

Remarquons cjue, si Ion remplace k par i, la fonction sous le signe / est > dont la fonction piimilive est

et cette fonction croît indéfiniment (piand '^ tend vers-- Cela posé,

considérons l'intégrale

r/cp

v'i — k- sin-o

Le dénominateur reste borné inférieureinent, de sorte cjue cette intégrale est fonction continue du paramètre A", même pour /r = i ; elle a donc pour limite, cpiand /•■ tend \ers i, rintégrale

laquelle, si 1 on a choisi î assez petit, peut surpasser tout nombre donné. La fonction '}(/*), supérieure à la valeur de Tintégrale 1, peut donc surpasser tout nombre donné.

En résumé, la fonction <]'(A'), lorsque k varie de o à i (extrêmes

exclus), va en croissant de — à + x.

oi20. Cela posé, partons dun système de deux nombres positifs arbitraires (lo, À); construisons la fonction ,p(// 1 w, i'À); elle satisfait à une équation de la foi-me

p ^ K = 4 ]y^ U — g.2 p U — ffs

De g2 et ^'3 on déduit (n" ol8) un système de deux nombres positifs ([X, k) (A"<^i) qui peut être considéré comme fonction du système (to, \). Ces quantités sont liées par les relations (3), (4),

M. — INVKHSION. il')

qu OU peut iiicllre sous hi lurmc

(6) to = -6( /.). >. = ' 'Hs/T^/P').

IJL [JL '

On eu déduit

Le second membre de cette relation est une fonction de /. ; ([uand /. va de o à i . le nunn'-ratenr va de - à -h co en croissant, le d(''uominateur va de + oo à — en décroissant; le ra|)porl va donc en croissant de o à -4- !>o. I^ir suite, eu considérant inversement k couiuie fonction de T- ' on voit que, lorsque 4- i^a de o à -h ce, k prend une fois et une seule chaque valeur comprise entre o et i .

Si 1 on iait varier maintenant to et K de manière que — reste tixe,

la relation u. = — '!>(A) montre, k étant fixe, que u. peut prendre

toutes les valeurs positives possibles, chaque valeur étant obtenue pour une seule valeur de w.

En résumé, si l'on attribue à l'avance à |jl et k certaines valeurs positives et telles que />' ■< i , o/f peut trouver un et un seul système de nombres positifs to, A pour lequel les fonctions u.. /v, précédemment définies, prennent ce système de valeurs.

D'autre part, un système de nombres (ix, A") (A<i) détermine (n" 518) un polynôme 4^'* — g-i^ — 8'^^^ discriminant |)Ositif, et réciproquement.

Par conséquent, 5/ 10 et À varient de toutes les manières possibles, les invariants .?^., gs qui s'en déduisent prennent tous les systèmes de valeurs possibles pour lesquels on a gl — 27^3 > o, chaque système (g.,, g-t) étant obtenu pour un seul système (to, a). De là résulte la conséquence suivante :

Soit l'équation difterentielle

^^^ \dii) ^^■'^^~^-''^~^' [(*°-^-'-i7^5)>oj-

II existe un et un seul système (w, À) tel que la fonction pu correspondante satisfasse à cette équation; ce système, étant unique, est nécessairement donné par les relations (i).

SaG ciiAiMTRK vn. — fonctions klmptiques.

Donc, étant donnée l'équation différentielle (7), la fonction p{u I (1), co'), construite avec les demi-périodes

f"^" dx , . r'^^ dx

-'.', sZ-^x-' — ^2-'r — §'3 -'-<■, \Ai ^^ — .•?'2 ^ -+- ^:j

oi> <?, e< ^3 50/1/^ /« plus gi'ande et la plus petite racine du. polynôme ^x^ — g2^ — o:t' satisfait à cette équation différentielle. La relation (-) |)oiivant se mettre sous la fornie

, di-

cta =

\/l\X'^— g,x — gz

on exprime le résultat en disant (.yxon effectue l' inversion de l'intégrale elliptique

(ta-

V/'lT»

Remarquons enfin que, pour calculer w, a, connaissant i'2, g'-i-, on se sert des formules (3) qui donnent a et /.•, puis des formules (5)

et (6).

52 1. Considérons maintenant le cas des |)ériodes imaginaires conjuguées (n" 317). On a

'2 to = a -:- ^ «'. 2 w' = a — Si, a > o, p > o,

^e. \I!^X^— g.2 X — g. J. e„ v/4 ^'* — rt 2 ^ ^ * 3

62 étant Tunique racine réelle du dénominateur. Comme ^i, e^ sont imaginaires conjuguées, nous poserons

i go — 63= p(cosO -t- f sinO),

( ^2 — ei=p(cosr) — isniOj.

Faisons d'abord, dans l'intégrale qui représente y., le changement de variable

^ allant de o à + ce. On a alors

X — e-i — p ( r- -h ces 0 -I- t sin 0 ), ~r — g] = p(<--!- cosO — i sin 6),

dx = 2p< f/^.

4a^^ — ^2^ — ^3= 4(^ — e, )(a7 — e,) ("ï" — es) = 4P'^^-[(^"-+- ces 0)2+ sin^O],

M. — IWlillSION, 39,7

d'où

v/p • 0 y/l -I- Ui- eus') -r- /'•

ce (|iil |)cul s'('rrii'e

Posons inalnlenaiil

. 0 , , o <ll ,h

sin^ - = k- ^ ^ = tai)ff - 1 = — - ;

nous ferons varier -o de o à — . On peut alors écrire

D'ailleurs, en faisant dans la dernière intégrale ce =rz 7: — es', 'j' allant de — à o, on reconnaît que les deux dernières intégrales ont même valeur, d'où

y/p c-'o y/ I — A- sin-cp y/p

Pour passer de a à 3, il faut remplacer e,^ eo, e^ par — ^3, — e-2-, — e,, ce qui revient à remplacer 0 par 0 + 7:, ou sin- - par

cos- - =1 — /."-. On a donc

et, par suite,

De même que précédemment (n° o*20), on tire de ces formules les conséquences suivantes. Si -^ \arie de o à + x. /.' prend une fois et une seule chaque valeur comprise entre o et i ; si a et j varient, - restant fixe, /. reste (Ixe et p prend toutes les valeurs positives, cha-

328 CHAPITRE vu. — FONCTIONS ELLIPTIQUES.

cune étant obtenue pour une seule valeur de a. Par suite, il y a un et un seul système de valeurs positives de a et ^i donnant à p et k un système de valeurs donné à P avance (k étant ■< i).

D'autre pari, un sjsLènie (^p, k) définit (pai- l'intermédiaire de l'angle 0), à l'aide des relations (9) et de l'équation e, H- e^ -h e-i = o, un système de nombres ei, ^..>, eu (eo réel, <?,, e-^ imaginair'es conjugués) et, par suite, un polynôme 4-^^ — A's-^ — »;> ^^ discriminant négatif. Réciproquement, un tel polynôme détermine un système

On en déduit que, si les deux nombres positifs a, [i varient de toutes les manières possibles, les invariants ^>;>, »;( de la fonction

p[u *— » ■ — ] j)rennenl tous les systeuies de valeurs possiuies

pour lesquels on a g'I — 'âj gl<i o^ clia(|ue système {g-2i gs) étant obtenu pour un seul système (a, [i). Donc, étant do/inée r équation diJJ'érentielle

la fonction py u I— ^> — — ^ 1 telle que l'on a

dx

e-i étant la racine réelle de /\x-^ — g.,x — g-j,. satisfait ii cette équation.

Le calcul de a et |j, connaissant g-^i g-i^, se fait au moyen des formules (5), (10), (i 1).

o22. En résumé, nous sommes parvenus à intégrer l'équation différentielle (ij) ou (12) dans tous les cas où g.2 et g^ sont réels (en supposant gi — "^1 Sz 7^ o). La fonction p obtenue se note

p("; ^2,^3)- On a donc

d'où

.^=j.'u = ±s/hx^-g,x

Comme u n'intervient que par sa différentielle, on peut, dans la