VIII. — Équation d'Euler

o3!2. On appelle équation d' Euler une équation différentielle de la forme

R étant un polynôme du troisième ou du quatrième degré.

vni. — KOI VTKiN i)'i:n.i:u. 3 {3

L"é([ualion à intégrer est alors

Posons riiit(''grale est d où

\/i — X- \/i — [i.'^ arc sinX d= arc sin jjl = const.

arcsinX = «. arc sin ijl = (^;

Il rh V ^ const.,

sin( u ± v) = sin u cosi' ±: sin v cos u = const..

X/i — |Jt-± \J-\/' — ^'^ = const.

En faisant disparaître les radicaux, on obtient entre ). et u. une relation algébrique entière qui est l'intégrale cherchée.

o33. Supposons maintenant R du troisième ou du quatrième degré et posons

J v/R(A) J v/HÔT)'

on tire de là, en faisant l'inversion de l'inlc^grale,

y étant une certaine fonction elliptique. D'ailleurs, avec les nou\ elles variables «, ç, l'équation difrérentielle s écrit

du ± dv =^ o.

d'où

u± i> = const. = c,

f = dz ( c — u), K=/[±(c-«)l.

f[±(c — m)], en tant que fonction de u, est une certaine fonction elliptique y", (?a). Entre les deux fonctions k=f(if). a=y, (m) aux mêmes périodes existe une relation algébrique. Ainsi, ia solution générale de (i) est donnée par une relation algébrique entre ). et [j..

534. Cherchons la forme de cotte relation. [*aitons d une relation symétrique en a et [j. et du deuxième degré par rapport à chacune de ces vaiiahles, soit

(?) F(X, .aj = o,

ou, en ordonnant par rapport à jj., F(X, iJL) = (AX2^-BX-(-G)[JL=+(HÀ2^- DX+ [i!) ,a + GX^-t- EX + F = o.

En différentiant cette équation, nous avons (3) FxrfX + F'jji^[jL = G,

ce qui définit le rapport -y^- Calculons, par exemple, Fjj,

F|jL = 2 .ui ( AX2 + B X ^ G ) ^ BX2 -+- DX + E. Résolvons d'autre part F(a, ^.\ = o par rapport à a; nous avons

— (' BX^ -^ DX -f- E) ± v/rTa) ^ ~~ 2 ( A X- -1- B X -+- G )

R(X) étant un polynôme du quatrième degré en),. On reconnaît que Ion a

on obtiendrait de même

Fx = ±v/R(7T.

La relation difïérentielle ( 3j peut donc s écrire

di. , d\x

c'est précisément une relation de la forme (i).

Je dis que Téquation (^2 i constitue rintégrale générale de (4).

Mil. — KouATioN i)'i:ri,i:n. '{4.'i

Cela résulte de ce (|ue dans F()., u) il y a ciini paiMiiirtrcs iirld- Iraires, tandis qu'il n'y en a (jue (|nalre dans !>. I'' contrnanl un paranii'lre (.le plus ([ue 1>, on j)()unM dispoxT de ic |),ir,inu'lrc pour faire corres|)ondre à une valeur donntM- A,, de ). une \;di'iii- ;iil)itraire ^„ de ^.

F(a, iji.) = o est di»uc rinlégralc générale de r(''(|Uiili()n djjdcr. Il reste à faire le calcul des coefficients de F, en supposant connus ceux de R. Pour cela, nous ferons usage de l'inlcrprétalion f;(;f)métri(pie suivante.

o35. Interprétation géométrique. — Donnons-nous une conique G et exprimons les coordonnées de l'un de ses points en fonction rationnelle d'un paramètre /. Soit y une autre conique qui coupe la j)remière en quatre points distincts correspondant respecti\einent aux valeurs a, 6, c, d du paramètre. Désignons ces quatre points pai- les mêmes lettres a, b^ c, d {fig- Sa).

IMK. 52.

Gela étant, prenons sur G deux points de paramètres )., [jl, et cherchons la condition pour que la droite qui les joint soit tangente à y- La relation entre ). et u. qui exprime cette condition doit être algébrique et symétrique en \ et [j.. De plus, à une valeur donnée de \ correspondent deux valeurs de [x, car par un point de G on peut mener deux tangentes à y, et à chacune de ces tangentes correspond un point a. Donc cette relation est de la forme étudiée au n" riîH, soit

Je dis que les racines du polynôme ri(>) qui se déduit de F par le procédé du n" 534- sont les paramètres «, ft, c, d des points communs à G et à y. En effet, chacpie racine de R("A) est telle que les deux valeurs de p. correspondantes sont confondues en une seule. Les deux

tangentes à y issues de ce point ). sont confondues. Donc ce poinl appartient à y.

11 résulte de laque, si v varie en passant par les mêmes points a, 6, c, d^ F()v, a) varie, mais les quatre racines de R()^) restent invariables; la relation dilTérentielle entre ). et |ji. reste donc aussi la même.

On peut déduire de là un moyen prati<pie |)our former F(a, |j.), étant donnée l'é(|uatioii (i), c'est-à-dire R(a). On considère une conique C définie en fonction d'un paramètre ^, et l'on prend les points de cette conique correspondant aux valeurs du paramètre qui sont racines de R(^)- Ces quatre points déterminent un faisceau de coniques Y- On exprime que la droite passant par les points )v, ^ de G est tangente à une conique y. La relation obtenue est l'intégrale cherchée.

o3G. On peut rattacher à cette méthode un théorème classique de Géométrie. Prenons sur G quatre points «, b^ c, d et considérons plusieurs coniques yi, y-j, ...,y«,, passant par ces quatre jioints. Soit A, un point de G; menons par A, une tangente àyi, elle coupe G en un second point A.^; par Ao menons une tangente à y^, elle coupe G en un second point A3, et ainsi de suite. Nous arrivons finalement à un point A,j, par lequel nous menons une tangente à y/,i; cette tangente coupe G en un second point \„. Je dis que la droite A^A, obtenue en joignant le dernier point au premier en^^eloppe une nouvelle conique v,^ passant par a, b, c, d.

En effet, soient ^,, t,, . . ., t,i les valeurs du paramètre correspondant à A,, Ao, . . . , A/i. Du fait que la droite A, Ao est tangente à y,

résulte que l'on a

dt\ dtv

v/R(/,) \/KÛI)

c, étant égal à =t i et gardant un signe déterminé si /,, to varient d'une façon continue. De même, Ao A3 étant tangente à ya, on a

dt.y dt->

et finalement

dtn^i dtn

v/R(^«-i) /hû7j