fx(n\b') ^ f^(a'J>') ^ f,(a',h

fxya.b) /na,b) ~ /An, h) '

Considérons le réseau des courbes y et assujettissons les courijcs de ce réseau à passer par (a. h). Nous déterminons ainsi dans le réseau un l'aisceany,. En vertu de (3), toute courbe du réseau qui contient {a^b) contient aussi [a\b'). Les courbes (b; v, conlciianl ((7, b) et (a'.b') ne rencontrent donc G qu'en .5 — 2, c'est-à-dire un point variable. Gomme l'équation de ces courbes dépend linéairement d un paramètre, on pourrait exprimer les coordonnées de ce point en fonctions rationnelles du paramètre. G serait donc une courbe unicursale. ce qui n'est pas, puisque G n'a pas son nombre maximum de points doubles.

Donc il ne peut correspondre à un point (>^', jk') de G' qu'un seul point (a, 6), et, par suite, les équations (2) n'ont <|u'un seul système de solutions en x, y variable avec .r', y'. On peut obtenir par des opérations lationnelles ce système de solutions, soit

'>2, et 'jo étant des fonctions rationnelles. On dit (\u'il y a entre les deux courbes G et G' une correspondance biunivoque et birationnelle.

Gherchons le degré de G'. Prenons son intersection avec la droite

d'équation

Aa^'-i- Bj''-!- C = o.

En rem|)laçant j?', y' par leurs valeurs en fonction de x^ nous sommes conduits à Téquation

kf-iix.y) -t- B/3(.r, V) -f- G/, (a;, y) = o, x^ y étant liés par léquation de la coiu'be G,

Nous savons que ces deux équations ont, en dehors des points de ba>e du n'seau, trois systèmes de sobitions variables. G', étant rencontré par une droite quelconque en trois points, est donc du troisième degré. En rc^sumé. nous voyons qu'// est possible d'établir une correspondance biunivoque et birationnelle entre une courbe quelconque de i^enre un et une certaine courbe du troisième degré. Gomme d'autre part les coordonnées d'un point d'une cubique peuvent s'exprimer en fonctions elliptiques d'un paramètre, il en est donc de

342 CHAPITRE VII. — FONCTIONS ELLIPTIQtES.

même pour les coordonnées d'un point de la courbe de genre un. On peut exprimer les coordonnées d^ un point d^ une courbe de genre tjn en fondions elliptiques d'un paramètre.

o31. Remarque. — Soit une courbe unicursale; exprimons les coordonnées d'un de ses points en lonctions rationnelles d'un paramètre t et posons t = '^(u),, ce étant une fonction elliptique, x et y sont ainsi exprimés en fonctions elliptiques du paramètre u. Je dis que cette représentation ne possède pas toutes les propriétés de la représentation obtenue pour les courbes de genre un.

Considérons une courbe de genre un ; faisons-la correspondi'e à une cubique plane que nous pouvons faire correspondre elle-même à la courbe

Les coordonnées x, y d'un point de cette courbe s'expriment au moyen de deux fonctions elliptiques. Dans un parallélogramme de j)ériodes commun à ces deux fonctions, à un point de la courbe donnée correspond un seul point u et inversement. Lne telle représentation est dile propre.

Montrons qu'elle ne peut exister pour une courbe unicursale. En effet, la courbe étant unicursale, x, y sont fonctions rationnelles d'un paramètre t, et, inversement, t est fonction rationnelle de x^y, de sorte que. si a' et jk sont fonctions elliptiques d'un paramètre //, t sera aussi fonction elliptique de u. Cette fonction aura pour périodes tout système de périodes commun à x et y; et, dans uu parallélogramme de périodes, à une valeur de ^, c'est-à-dire à un point de la courbe, correspondent au moins deux valeurs de u. Autrement dit, il est impossible de trouver un parallélogramme de périodes tel qu'à un point de la courbe corresponde une seule valeur de u dans ce parallélogramme. C'est ce qu'on exprime en disant que la représentation obtenue est impropre.