MO CHAPITRE V. — ÉOLATIONS DIFFÉRENTIELLES

Nous avons n -^- \ fonctions inconnues y, :;,, ..., z,i qui doivent satisfaire aux n + i équations (2), (3) et (4). Au moyen des équations (3), (4), formons la combinaison qui figure dans le premier membre de (2). Pour cela, multiplions l'équation (3) par P„, la première des équations (4) par P„i, la seconde par P„o, la dernière par P, et ajoutons membre à membre. Le premier membre de la rela-

lion obtenue est égal, en tenant compte de (2), k J\x) — 77^' Dans

le second membre, le coefficient de r,, en tenant compte de ce que j^,

est solution de (1), est ^- Donc on a

iiX"

•^ dx" ^ dx"- dx" dx'>- /

Dérivons chacune des n équations (3) et (4), en tenant compte pour chaque équation de Féquation suivante et, pour la dernière équation (4), de l'équation (5). Nous obtenons

dx ' dx

yn.

(iyn.

dx

yn

dx"^

dx'^-^ ^ dx"-^

Ce système (6) est un système de n équations linéaires par rapport a :;, , z.^, . . ., ^„.

Le déterminant des coefficients de ces inconnues est le déterminant D qui est difTérent de o, par hypothèse. Ces équations peuvent donc être résolues par rapport aux z'^ et donnent pour ces quantités un système de fonctions bien déterminées. De chacune de ces fonctions z'- on déduit la fonction Zi correspondante par une quadrature. La solution la plus générale de (2) est alors fournie par la relation (3).

Cette méthode est dite la méthode de vdiiation des constantes.

Tout système de solutions f, , ^35 • • •: Yn formé de fonctions indépendantes est dit un système fondamental d' intégrales de l'équation ( 1 ).

316. Considérons le cas particulier de l'équation homogène (1). Pour avoir les fonctions :;'^ correspondantes, faisons y(^) = o dans (6).

iv. — Kui \iioNs 1)11 I i;iu;mii;i.i.i;s MNKAIRES. mi

Ce syslcine devient un système d'équations lini'-aires et homof^ènes dont le déterminant D est dillérent de o et qui, par suite, n'admet que la solution

Les fonctions 3), Zo, •••, z„ se réduisent dans ce cas à dos constantes. On a donc le résultat suivant relatif à l'équation linéaire et homogène : t, . i^., . . . , r,i élanl n soht lions particulières de l'équation II), constituant des fonctions indépendantes, la solution générale de l'équation (i) est donnée par la combinaison linéaire la plus générale des fonctions yt , y 2, . . ., y„ :

Propi>sons-nous de trouver une intégrale j^ de (i) qui, pour la valeur a 0 <Je la variaMe, prenne une valeur donnée Yq, les dérivées de r jusquà l'ordre n — 1 inclusivement prenant également des valeurs données r'y, r„, . . ., .i',,' ''•

La solution cherchée est de la forme

y=c,y, + c.2yî-h...~c„rn.

On a, en dérixant n — i fois,

dv dv\ dvi dvn

dx dx dx • • • Il ^^

Donnons à x la valeur Xo\ soient (.>'i)oj •••1 ( "7"^ ) '

l dx"-^ /( dx"-^

dx )

1 I 1 dv\

'•■ les valeurs que prennent alors k,, .... -7 — >

On a les n relations

y^ = Ci(\Xi)o -t- . . . -^ C„ (jKn )o,

^' -'"\~d^''=^l,^---^''''\ dx-^ ),:

C'est un système de n équations linéaires à n inconnues c, , Co, . . • , c«. Le déterminant des coefficients de ces inconnues est le déterminant D, pris pour la valeur Xq. Donc, en tout point Xq pour lequel

112 CHAPITRE V. — KQUATIONS Dl FFERENTIEI.LKS.

D ^ o, on peut trouver une intégrale de (i) qui prenne en ce point une valeur donnée, ses n — i premières dérivées prenant aussi des valeurs données.

317. Remarquons qu'une équation linéaire et homogène conserve la même forme si l'on change de variable indépendante. Soit, en effet, le changement de variable défini par

On reconnaît [cf. t. I, p. 124) que chaque dérivée de y par rapport à t s'exprime en fonction linéaire et homogène des dérivées àe y par rapport à x. Inversement, on peut exprimer les anciennes dérivées par des combinaisons linéaires et homogènes des nouvelles. Le premier membre de (1) se transforme donc par ce changement de

variable en une expression de même forme par rapport à S-' • • ••

318. Equations linéaires et homogènes à coefficients constants. — Supposons que P,, P^? •■■■, ^u soient des nombres donnés. Nous allons chercher à satisfaire à l'équation (1) par une fonction de la forme

(7) y=^er^,

r étant une constante à déterminer. On déduit de (7)

dy (r/2 y d'' y

dx ' dx- ' " ' " ' dx'*^

En portant ces valeurs de y et de ses dérivées dans l'équation (i) et divisant par e''^ qui est en facteur, on obtient l'équation

(8) cp(/-) = r«-f- Pi /•'•'-! -1-.. .-r P„= o.

C'est une équation en /•, algébrique et de degré n. On l'appelle V équation caractéristique relative à l'équation (i). Si /•, est une racine de cette équation, e''^^ est une solution particulière de (i ). Par conséquent, si (8) a n racines distinctes /•,, /v, ..., /Vo on connaît pour (i) les «solutions particulières suivantes :

Je dis (\\x' elles forment un système de fonctions indépendantes.