CHAPITRE V

EQUATIONS DIFFERKNTIKLLES.

dz dx

dx'^ dx'^

dr, d^ dx dx

dx-

Formons la combinaison

dx" ' dx"-'

c'est-à-dire le premier membre de (i). On reconnaît que dans celte fonction le coefficient de :; est nul, car c'est l'expression

d"yi dx"

d"-'ri dx"-'

p«ri

Vinsi, l'équation transformée est linéaire <;t d ordre n — i en -t~"

On peut dire que la connaissance d'une solution j)arliculière de (i) permet d'abaisser l'ordre d'une unité. Ce résultat a son analogue dans la théorie des équations algébriques.

314. A cause de la forme de (i), on voit que, si jj^,, jKj, . . . , jKa sont solutions, la fonction c, j>^) -h CojKa + • • • + <^'/fjK/f, où c,, r.,, ..., c/^ sont des constantes, est aussi solution. En eiïet, en remplaçant dans [i) y par cette fonction, on voit que les coefficients de C), C2, . . . , C/( sont tous nuls.

Etant données k fonctions de x\ y, , y.y-, • • • 1 J'k, on dit qu'elles sont linéairement indépendantes si aucune d'elles n'est égale à une combinaison linéaire et homogène des autres. Je dis que si, parmi les fonctions y, , j'-o. .... v/t-, l'une est fonction linéaire et homogène des autres, le déterminant

d^-\yx d''-\v.y dx'^-' dx'^-'

yic

dy/c dx

dx'^-'

est nul. En effet, supposons que rA-, par exemple, soit combinaison linéaire des autres fonctions. On a une relation de la forme

)mJ>-1^>-,J-2

IV. — KQrMioNs i)rii-i;ni;N TiiM.i.KS m m: ai mes. I*ai- (lcTi\ alioii, celle relation cnlraîiic les /. — i siiivanlcs :

dv,

il y-,

' lc-\

dvi. -

dyk dx

d'^-'y^ dxi'-^

. di< \y,^, d'-^y,, ^k-i i—TT-, 1 T—r—r — o.

dxi'-^

Pour clia<|ue valciif de .r, on a le relalioiis homogènes enlre les /»• ([uanlilés non toutes nulles A|, \-,i • • • ■> >'>A-), '• Donc, le ch'terminant des coelficients de ces k quantités, qui est D, est nul.

11 résulte de là que si, étant données /c fonctions j^,, Ko, .... y/f^ on a

il est impossible que l'une soit combinaison linéaire des autres; en d autres termes, les A' fonctions sont linéairement indépendantes.

31o. Cela posé, nous allons montrer que, si l'on connaît, pour r équation différentielle homogène (i), un système de n solutions y i^y*-, ...^Vit linéairement indépendantes, on peut avoir la solution la plus générale de V équation non homogène (2) par des quadratures.

Puisque j^,, y-^, .... y« sont linéairement indépendantes, on a

Nous allons chercher une solution y de l'équation (2) de la forme

(3) y = ^\y\-^ ^lyi-r- -.^ ^uyn,

les z étant des fonctions inconnues auxiliaires entre lesquelles nous établissons n — 1 relations, savoir celles que l'on obtiendrait par dérivation de (3) si z^^ z^, ..., Zn étaient des constantes ; nous avons ainsi les relations

dy\

dy,t dx

d"-^y, dx"-^

f/"-i r, dx"-'^

d'-'yn dx"-^

dy dx

dvy -"' dx

dv.

dVn

d"-\r dx'^-^

d"-^yu