Pour établir le premier point, nous posons

au

et nous allons montrer que ~ est nul. Calculons d'une façon ffénéraie — '-• On a, eu déri\ant (5),

\<^"/ '^■3^/. \f^-2'/. "^ ''•s à.r/^ dx'idxic) du \ <^-^j / àudx/,-

Faisons maintenant A' = i , il vient

fà-^Y ^ / dfi ^àft^ do atçp \ ^ / ^\ d'-^

\ôu / àxi ~ l''J'i (>-' '^3"i d.Ci dxi / ()u \ ùxi J ôii ùxi

Or, on a

d'où, en dérivant par rapport à ,r/, puis par rapport à w,

(Po <)fi dfx <)o d-'-f àfi d(f

dxi (JXi dxi dz dxi dx^ du dz du

Remplaçons - — |— > — — '-■ par ces valeurs dans l'équation (7);

remplaçons aussi, en tenant compte des relations (3) et (8),

dfi àfi do dfx àfi ,. ., ■ , ,. . , do

-^ + -^ — ^ par ^^ H- -^ //: 11 vient, en divisant par — =-» dxx dz dxy 1 Ox,- dz-" ' ^ du

dod(^ ^<^ ^àf^ ^. fdf^ ^dj^ do f do\df^ ^^

du dxy dXi dz ' ' \dxi dz dx, ' \ ' dxt J dz

C'est ce qu'il fallait démontrer.

3o3. Montrons maintenant que les fonctions 9/ satisfont aux condition d'intégrabilité relatives au système (4), c'est-à-dire qu'étant donnés deux nombres i et k choisis parmi les nombres 2, 3, ..., //>

on a

o^U , d^i ^^ ^ 00 /, dOi,^ dx/,- du ' dx/ du

M. — Kyi ATioNs Ai\ ihi-ki;iii:ntii:i,i.i;s toiai.ks. i.'\'>

Nous allons calculer I mu- de ces expressions, la prcniicrc par exemple, et montrer (pi elle se transforme en elle-m(Mn<' par permutation de f et /.". La relation |)récédente en résuilei'a immédiatement.

Nous avons déjà calculé -—' -, calculons — '-• On a, d'après (5), •' (Ar/i Ou ' • '

^^' \0u/ au ~ \ Oz Ou Oxiôuj Ou \-^' Oxi ) du^ '

Formons l'expression ( -^ ) ( - — '- H- 0/, — '-] ■ EWe est enraie, d'après ^ \ ou / \ Oxu Ou j o > t

(6) et (g), à

( l ^fi àfi ^'^ 0*2 ? W? (f Oo\ O'^O

1 \dxu àz âx/; Oxidx/,) Ou \ oxi/dudxk

fOfj do 0-2 y Y'^^^ //•:il\^0/,.

\ dz Ou dxiduj du '' \ dxijdu'^

f O-o do . , ■ . , c

Le terme — '■ — — -' Qi'i est svmetriciue en lel /r, se transiorme

dXi c/.rx. o« ^ '' '

en lui-même quand on permute i et /»", nous pouvons le supprimer;

il en est de même pour le terme [ji -^ ) "ri ^^' M^' ^ cent encore

•" dxi) y-'' àXk) àu-2

du

T I / /■ ào \ d^ o d-o do i\ !• I •

Les deux termes /,• -^ et — -r- 'ja- se transiormeut 1 un

\*^ OxiJ OuOxi; O'JCiOu Ou

dans l'autre quand on permute i et/f, leur somme ne cliange pas; par

conséquent, nous pouvons les supprimer. 11 reste l'expression

\dxk dz dxicj Ou Oz \0u j

Remplaçons dans cette expression ^h— par sa valeury^it ^11 nous

reste, après réduction,

du\dxk ~^ Oz-""}'

expression qui. d'après (3), se transforme en elle-même par permutation de i et k. La proposition est démontrée.

351. Le système (4) satisfait donc aux mêmes conditions que (li). B. — II. 10

l46 CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

On opérera sur lui comme sur le système (2) et l'on aura successivement (en meltant 3, au lieu de u)

Z = tp (3-1,^:2, .. .,a7„, -3,),

-3i = =Pi(aro, 373, . . ., .r„, S2),

■^n—\ ^^ T'n—\\'^it') C),

c étant une constante arbitraire. :-,/i étantconnu, on aura successivement Zn 2, . . ., vi et finalement z en fonction de x, , x^, . . ., x,i.

Dans la pratique, il est inutile de vérifier d'avance si les conditions d'intégrabilité sont remplies. Si .r, disparaît des équations analogues à (4)^ si Xo disparaît des équations suivantes et ainsi de suite, c'est que le problème est possible. On le recounait ainsi en même temps qu'on obtient la solution. S'il n'en est |)as ainsi, c'est que les conditions d'intégrabilité ne sont pas vérifiées. Elles donnent lieu à certaines conditions auxquelles doit satisfaire z.

3oo. Prenons comme exemple l'équation

du = -ixz clx 4- ly dy -\ — dz.

Celte équation est équi\ aïeule au système

du Ou Ou u — y-

Ox "' Oy "" ' dz z

Considérons dans la première z comme un paramètre; on a, en intégrant,

u =^ zx"^-^ 0,

■o étant une fonction inconnue de y, z. Calculons, en partant de

, , On Ou

cette valeur de w, — et — :

' oy Oz

du 0(0 Ou , 0(f

Oy Oy Oz Oz

En portant ces valeurs dans les deux autres équations, celles-ci 4^leviennent

c*cp 0'^ o — y-

Oy ~ ^-^^ ôz ~ i

X avant disparu de ces équations, nous pouvons continuer l'applica-

Vf. — ÉyiATIONS Al X DIKrKIlKNTlKLI.KS TOTALES. l47

lion do ht inélliode. On di'tluiL de la première

Nous allons déterminer '!>(-) de façon que ':> satisfasse à la dernière é([uation ; on a

d'où

et, par intégration,

<i^(z) =cz,

c étant une eonstante arbitraire. On en déduit

o=y^-\-cz et finalement

u = x'^ z -^ y- ^ CZ.

35(3. Le problème de l'intégration dune dillérentielle totale peut se poser sous une forme un peu différente, d'une façon symétrique par rapport aux variables que l'on considère. On peut, par exemple, étant donnée l'équation

V dx + Cl dy -^ R dz = o,

chercher s'il existe entre x, y, z une relation qui entraine l'équation donnée. Gela revient à chercher si l'équation

dz=— ^dx — -dy

est complètement intégrable. La condition d'intégrabilité est, pour cette équation,

dy '^ dz \ r) ôx ^ dz \ ?i

Oy "^ Oy ~^ \ Oz dz / R

dq ôR / dQ ^^JR\P

dx dx

ou, après réduction,

\dy dz I ^ \ dz dx ) \ dx dy )

l48 CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DIFFKRENTIELLES.

VU. — Équations aux dérivées partielles du premier ordre. 357. Méthode des caraclérisliques. — Soit une équation

z étant une fonction inconnue de J7,, . . ., x,t. pi étant ée-al à -^ et F

étant une fonction donnée de toutes ces quantités. Nous allons d'abord étendre à cette équation la notion de caraclérisliques que nous avons introduite dans létude des é(juatiuns aux dérivées partielles linéaires. Posuns

F, en tant (juc fonction des 2 // + i \ariables z, x et/v, a, par rapport à ces \ariaLles, des dérivées partielles; nous poseruus

az OXi api

Remarquons que, lorsque r est linéaire par rapport aux /j, — n est

autre que le coelficient de pi dans ré(|uation donnée, coefficient que nous a\on5 désigné par P, dans 1 étude de ces é(|uations. Nous avons été conduits à un système coniprenant les équations difiérenlielles

dix \ dx n

Supposons qu on connaisse une intéi;rale de (1), soit (■1) - = r'-^i' ■ • -^-^n)-

La \aleur correspondante de pi est

t étant une variable auxiliaire, considérons le système

,„, ,, dxy (Lt„

(3) dt=-^=...= —,

en supposant que, dans les fonctions ï*,, on remplace z par

c2(a(, . . ., x,t ] et Pi par ^-- 11 y a, pour a?), .r^, . . ., x,,^ un système

' OXi

de fonctions de t dont les diflerentielles satisfont à (3). Imaginons

vil. — KQLATioNs Ai:\ KKiii \ i;i;s l'Mvnr.Li.iJs nu i'Hi;.\iii;n ohdui:. l'if)

que thms (2) et (2 bis) ou reMi|)l;i(e .r, , ^r^, . . ., .r„ pai- ces fonelious; :: cl les /> dcNieniient des loncliDiis de /: ciilciilnn^ Ifni^ diUV-renliellos. Nous a\oiis

''^ ^ 2 J^ f/o-, = V /,, dxi = df^ \\pi, dpi:= Pi ^ dxi-h.. .-i-/^,,„r/j„ = dt( P,/J,,,-^-. . .-H P„ /?/,„). Dénvoiis j)iu- r.ipporl à ^z ré(|ualion (1), z- étant suppcjsé remj)lacé par z> et />, par — ^j j;,, .ro, . . ., X',i étant les variables Indéjjeiidantes. On a. F élanl constaunnenl nul,

Zpi-^ X/— Pi/),,,-;- ViPi,,^. . .-h F„/>„,, = o (t = 1, 2, . . ., n);

ces relations, qui ont lieu, les x étant variables indépendantes, ont encore lieu si les ,r sont considérés comme fonctions d uns n juvelle variable. On déduit des deux dernières équations

dpi = — dl( Xj -^-Z Pi).

H en résulte que, quand x,, X21 ..., Xn sont fonctions de t satisfaisant à (3), z étant défini par (2) et ses dérivées partielles par {'2. bis), les in -{- \ fonctions x^, . . ., Xn., z, /;,, . . ., p,i de t vérifient le système

dx, dx„ dz dpi dpn

{^) dt — — — — — — —

Remarquons qne ce svstème (4) peut être écrit, a priori, sans connaître la fonction es, qui n'y entre pas d'une manière explicite.

Gela posé, soit (ç,, ;j, . . . , H//) un système de valeurs attribuées aux variables .r,, X2, •••, x,/', soient "Ç la valeur qui en résulte pour

:; = 'y[X,, . . . , x„), et TZi la valeur qui en résulte pour yy/= -~- Nous

dirons, d'une façon générale, qu'un tel ensemble de valeurs ç, , . . . , ;„, V, Tï,, . . . . -îz,, constitue un élément de V intégrale o.

Partons du système (3) dans lequel z serait remplacé, comme précédemment, par '.p, et/?/ par —-• Il y a un système bien déterminé de

fonctions x^. x-,. . . . . x,i de t satisfaisant à (3) et prenant pour t^o les valeurs ^,, ^o? • • • - ?« (ceci en supposant remplies certaines conditions ])récisées dans les théorèmes d'existence).

D'autre part, partons du système (4), considéré indépendamment de son origine, c'est-à-dire les dillérentes fonctions X, P, Z étant fonctions des 2 /^ H- i variables indépendantes x/, :;, />/. H y a, pour

lao CHAPITRE V. — EQUATIONS DlFFIiRKNTlKLLIiS.

ces variables, un système de fonctions de t satisfaisant à (4) et prenant pour ^ =1 o les valeurs Ç| ...., ^„, w, —,,..., t:^.

Or, du système (3), auquel on adjoint (2) et (2 bis)^ nous a\ons pu déduire le système (4). De |)liis, au système initial i^o, X, :^ Çi, . . . . x„= z,t correspondent pour c, />,, . . . , p,i les valeurs <, t:,, .... -„. Donc la solution de (4) déterminée par le système initial i = o, Xi=^ ç,, ^ = V, f)i=zT.i est idenli(|ue à la solution de (3) partant du système initial ç,, . . . , \„ pour / ^ o, à laquelle ou adjoint les équations (2) et (2 bis).

Or, le système (4) est, comme nous l'avons vu, indépendant de o. Cela montre que deux intégrales z = o, difierentes, mais contenant le même élément (^, , . . . , ç,^, u, tt, , . . . , ?:„), contiennent, par cela même, tous les éléments Xt, . . . , a:,i, z, pt, . . . , p,i constitués par les fonctions de t qui sont solutions de (4) et partent de Ç|, .. ., ç„, ^, 7:, , . . . , 7z,i pour ^ = o.

On appelle caractéristique toute suite d'éléments Xi, z, pi qui sont des fonctions de t satisfaisant à (4). On voit (\u.'une caractéristique est déterminée par un seul élément et c\n une intégrale de (i), dès qu' elle contient un certain élément, contient par cela mêm.e tous les éléments de la caractéristique déterminée par cet élément.

358. Donnons une forme géométrique à ces considérations, en prenant d'abord le cas de deux \ariables indépendantes .r, y. Soient p et q les dérivées partielles de z par rapport à x et à y. Un système de fonctions x, y, z dun paramètre t définit une courbe. En chaque point de cette courbe, considérons le plan d'équation

Une intégrale :; = c2(.r,r) de l'équation donnée est représentée par une surface dont le plan tangent au point (x,j> % :;) est le plan précédent. Les résultats obtenus dans le cas général s'interprètent ainsi :

Une surface intégrale qui renferme l'élément (^, -/], ^, t:, y ) contient par cela même tous les éléments de la caractéristique définie par ce point, c' est-à-dire qu'elle contient tous les points de la courbe caractéristique et est tangente en chacun de ces points à un certain plan dont la position ne dépend que de l'écjuation aux dérivées partielles données.

VII. — KQIATIONS AIX HKIll VKKS PAU! IKI.I.ES 1)1 l'IlKMIKri ohDlli:. I>|

En ;i(l()[)laiil le iiièinc langage géoméliifjiK.' |»()ur // varial»lr'>, nous (lirons (juc, dans l'espace à n -\- i diniensions, une earacléri.sli(|ue est consliluéc par une C()url)e décrite par le point {x^, . . . , x,,, z) drmi les coordonncM's sont fondions d'un paramètre /, un certain plan étant attaché, en outre, à chaque [)oint de la courbe, à savoir : le jtlan d é<|uation

jo 1 ( Xi — 37, ) -H . . . 4- y^ ( X„ — .r,, ) — ( Z — ^ ) = o.

3o9. Cela étant, toute intégrale de (i) est constituée par un système de caractéristiques. Or, dans l'intégrale, il v a /? variables indépendantes, tandis que dans une caractéristique il n'y a qu'une variable indépendante. On doit donc, pour former une intégrale, chercher à faire varier une (caractéristique en fonction de n — i paramètres.

Une caractéristique est déterminée par un de ses éléments, soit ç/, ^, -/. Prenons pour ç,, "C, t:/ des fonctions de n — i paramètres u,, U21 -.., Ui,-\' et désignons par Xi^ ^, /?, les intégrales du système (4) qui partent de l'élément initial

Xi, 5, Pi sont, dans ces conditions, des fonctions de n variables indépendantes, savoir : /, «,, «2 ihi-\-

Pour que ces 2 /i -\- i Ibnctions Xi, z. pi constituent une solution de (i), il faut et il suffit que, si l'on change de variables indépendantes en remplaçant ^, «(, . . . , Uu-i par les x^ z devienne une fonction des X qui satisfasse à l'équation (1) et dont la dérivée partielle par rapport à Xi soit />/. On peut exprimer ces deux conditions sans faire le changement de variables, en exprimant que :

I" Les fonctions de ^, «,, ..., u,t-\ obtenues pour a:,, ^:, /?/ satisfont à (i);

2" Les dififérentielles de ces fonctions sont liées par la relation

dz — /?] dxi — . . . — pli dxa = o.

Cette relation exprime bien, en eflet. (jue z a pour dérivée /// par rapport à Xi.

360. Occupons-nous d'abord de la première condition. Remarquons (jue le premier membre de (1), en tant que fonction des 'III -\- \ variables indépendantes j?/, z, pi^ constitue une intégrale première du système (4 )• La dillerenlielle de cette fonction est, en

l52 CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DIFFÉREXTIKI.LES.

effet,

'Ldz-^-L X, dxi -h Z P, dpi

ou, en remplaçant dz, dxi^ dpi par des quantités proportionnelles tirées de (4),

Z V P,7>,- + Z X, P,— V P,(X,+ Zpi\

c'est-à-dire o. Par conséquent, F reste constant lorsque Xi^ ^, pt varient en satisfaisant à (4). On a, en particulier,

Y{z,Xi.pi) = Y{X.,.\i.-Ki).

Pour que la première condition soit vérifiée, il est donc nécessaire et suffisant de prendre pour w, ^/, t/ des fonctions de «,, ..., «„, satisfaisant à l'équation

361 . Cherchons maintenant à réaliser la deuxième condition, c'està-dire à vérifier hi rehition

dz — i/>, <:/jv= o,

les variables indépendantes étant w,, //o, .... w,/(, t.

Si l'on exprime ces dillerentielles dz et dxi en fonction de t et des //, on devra annuler, dans le premier membre, les coefficients de dt^ du^^ ..., du„^^ ce qui donne d'abord la relation

( 5 ) 7 Pi = o,

puis (a? — 1) relations de la forme

ÔZ V^ '^^i

ùu ^^ Ou

où u est remplacé par ;/,. w^. .... ««,.

L'équation (5) est vérifiée, car on a, d'après (4),

Pour chacune des autres équations, posons

dz V '^^i

ou A^ (tu

VII. — - hXH \TIONS AIX UrniVKF.S l'AUTIKI.I.I.S 1)1' PnKMIKIt DIlDHi:. I 53

A (Inil r\\'C nul. ( liilciiloMS -— :

(Il

0\ à- z •^ âp, Or, ^ à^T,

~ôt ~ Ou Ot jLà ~ÔT dit JL ''' ()it 01

En dérivant (5), on a