OA

Cela montre que 1 on a

Ot

En intégrant celte équation diflérentielle. / étant la seule \arial)le (les u recevant des \aleurs constantes), on obtient

I Ldt

de sorte que, pour que A soit nul quel que soit ^, il faut et il sulfit que A( o) soit nul. Or, pour / = o, Xt, z. pi prennent les valeurs ç/. X., -i\ par conséquent, on devra choisir pour ç,, J^, tt/ des fonctions

i54 CFiAPiiRi; V. — ÉQr.vriONS diffkrkntielles.

de Uf. ..., Un i satisfaisant aux n — i relations

Ou ^^ ou

En résumé, si l'on construit les courbes caractéristiques de (4), on aura une intégrale de (i) en prenant pour élément initial d' une caractéristicjue des fonctions ç/, Ç, -, de n — i variables a,, «o. . . . , u,t-{ vérifiant les n relations

( Cm/, ^ Ouu ' ) /

La solution de (4) qui part du système initial ;,, X^. ?:/ constitue une solution de (i).

362. Indiquons deux solutions particulières du système (6). Supposons en premier lieu qu'on demande de trouver une intégrale de (i) qui, pour j:, = ?,, se réduise aune fonction donnée des autres variables, soit •bî^x-y-, ..., .r«); cette (juestion constitue \e problème de Caucliy. il faut que Ton ait

Z ;,, ar,, . ..,Xn) = '^J{X^, . . .,Xn).

Cherchons à satisfaire aux équations (6) en faisant jouer le rôle de Ml, ..., u,i-i à Ço, ..., ^,j. La première équation ne change [)as de forme; les n — i autres deviennent

TTi