TZ
OU
àl
dh
àh
dl
àU
'Wn~
Nous satisferons à ces équations en prenant
d'il O'I
Cl = const., ^ = 4' (b^ ■ • •■ ti)i "2= -T' ••• ' ~>i- -7- ^
et en considérant t:, comme étant la fonction définie par 1 équation
VII. — KQUATIO.NS AIX KKIU VKKS PAU I li;i.l.i;s 1)1 l'lU;.MIi;il (HlI)Ui:. I »*)
é<nialion (|iii peut élre rcsolue par iaj)j)orL à -,, pourvu (juc I*, soil dillérenl i\r <>.
Dans ces conditions, le syslcnic (4 ) définit pour x/, z, pi des fonctions de ç^, ,.., ç„, ^satisfaisant à l'équation (i). i*our ^ = o, on a a:, =:= ;,, x-i^=Ç2i •••1 -^74= \iti - = ^•^ tic sorte que pour x, = ç, on a bien
Dans le cas de deux variables indépendantes .r, )', le problème se pose ainsi : Déterminer une surface intégrale en V assujettissant à passer par une courbe donnée, située dans un plan parallèle au plan des yz. Soient
les équations de cette courbe. En désignant les valeurs initiales de x^y^ z, p, q par ç, r,, !Ç, -. y, et considérant r, comme un paramètre, les équations à vérifier sont ici
< oi
Or, " Or. '• ~
Nous prendrons comme solution de ces équations : ç constant,
'^ = '^ (y,), y = -j' j -Tz étant défini par la première équation
363. On a une solution des équations (6) en prenant Çi.q^ ?//• ^
constants; Ti,, ...,-,; seront liés par F = o; on prendra /t — i de ces dernières variables comme paramètres. La solution que l'on obtient ainsi contient /i -f- i constantes arbitraires.
36i. Motion d'intégrale complète. — Soit une équation (i) V(z, a-i, . . ., Xn. «1, • . ., a,,) = o,
Z étant une fonction des x définie par cette équation, les a étant des paramètres en nombre égal au nombre des variables .r. Dérivons cette équation par rapport à cbacune des variables; nous avons, avec les notations habituelles, les n relations
(2) h--pi=0 { l = 1.2. . . ., n).
oxi oz Si l'on ('limine «, , «o? •••< c^n entre les n -h i équations ( i) et (2 1, on
1)6 CHAIMTlii: V. — éqiations diii-kkkntiklles.
ohticiil en général une é(juation, soit
Celle équation (3) conslllue une équalion aux dérivées partielles du premier ordre à laquelle satisfait la fonction z définie par (i). On dit que celle fonction z est une intégrale complète de l'équation aux dérivées partielles (3). Dune façon générale, nous appellerons intégrale complète d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre toute intégrale qui eoutient autant de pai'amètres qu'il y a de variables indépendantes.
Nous allons monlrer (pie, si Ion connaît une intégrale complète de l'équation (3), on peut trouver toutes les intégrales de (3) par des opérations de dérivation et d'élimination. Intégrer (3), qui est le résultat de l'élimination de «,, ..., «„ entre (i) et (2), revient à trouver des fonctions z, a,, a.,-, ..., On de ^,, x-^-, -.., x,i vériliaut les équations (i) et (2). Or, les prêtant variables indépendantes et^, «i,..., «« étant supposés renqjlacés par leurs \aleurs en fonction des x^ on déduit de (i) par dillerentiation
d\ , dV , d\ ^ f)\ ^ ÔY .
(i ) — (U ^ - — rfa^i -I- . . . -h - — dxn -(- -; — rfai -f- . . . -t- -; — da,i = o. Oz dxi ox,i dai Oa,i
En tenant compte de la valeur de dz et des relations (2), celle équalion se réduit à
(j) -7 — rfai-+-. . .-h - — dan= o.
âai âon
L'équation (5) est équi\alente à ( 4 ) quand ( i) et (2) sont véinfiées; (5) peut l'être de diflerentes manières : i" En prenant
d\ dV dY
oai dan <fa„
Ces équations jointes à (1) et (2) forment un système de 2 n -{- i équations qu'on peut résoudre par rapport à :;, (7), ..., a,i, pt, ...,p,i. On a ainsi une fonction z de Xt, ,.., x,i dont les dérivées sont égales aux p, d'après (2), et qui constitue une solution ne renfermant rien d'arbitraire : c'estce qu'on appelle une solulion singulière de l'équation (3).
2" Si les dérivées -— ne sont pas toutes nulles, (5) est une relation
diÛerenlielle proprement dite. Il faut, pour qu'elle soit vérifiée,
VII. — i.uiATioNs Ai\ iii:iii\i:i:s i- vu 111:1.1. i:s in; l'KKMiicn oudiœ. 1*7
(jue (/,, ..., iiii soicul lies |i;ir mic ichilloii iiii moins. Sii|)[)OSons, cl'iiiie façon générale, (juil y ail, calic les <■/, /,• rclalioas (i'^/îl'i)-, soient
• . cl„ ) --
■ ■,Hn) ■
Elles
euti
nînv
