Quantité de mouvement et force vive; énergie actuelle

Mais l'autre facteur, qui dépend évidemment de la vitesse V, ou qui égale une certaine fonction simple de V, scra-t-il V, comme Vavait pensé Descartes, qui fut ainsi conduit à appeler le produit /wV la quantité de mom^ement du point?

Ne sera-t-il pas plutôt, comme une Science plus avancée le fît voir à Leibnitz, proportionnel au carré de la vitesse? En effet, dans la décomposition si naturelle du mouvement suivant trois directions rectangulaires, ce carré égale justement, d'après une remarque aussi simple que profonde de Leibnitz lui-même, la somme des trois carrés analogues des vitesses composantes du point, et se montre ainsi apte à donner des produits, tels que m V^, s'agrégeant dans tout un système par simple addition arithmétique malgré les différences de direction, puisque chaque terme /?iV* est déjà lui-même une somme de parties mu^^ mç'^, /?î(v-, non moins diverses ou, pour ainsi dire, non moins hétérogènes quant à la direction des vitesses qui y figurent (*). L'expression qu'il s'agit de former, appelée par Leibnitz force tvVe du système, serait donc S//zV^, c'est-à-dire la somme des produits obtenus en

( » ) Caractère géométrique distinctif de la force vive, ou de la puissance vive qui est sa moitié. — Si, en effet, la fonction de V dont ii ^'agit, destinée à évaluer le mouvement d'un point, et que j'appellerai /(V), doit ùlre déterminée par la condition

(«) /(V)=/(")+/(0-H/(H'), iJ viendra, en différentiant cclle-ci,

( a ) -^Xr — , du H dv H =y — ' d\v.

' d\ du dv div

d'où

\ d\ = u du -h vdv ■+■ (V diVj

c'est-à-dire

(5) c/V = ^rfa-t- -c/v^ + -