CONSERVATION DE L'ÉNEROIE ; EXPRESSION DE L'ÉNEROIE POTENTIELLE

conservation des forces vives ou de l'énergie, s'exprime en ^" sant que V énergie totale du système^ somme de son ener^^^^^

actuelle ^ ^ m et de son énergie potentielle ^"{r^ /•', / . . ^

est invariable, ou que l'on a

(3) 2 ^ m V*-+- W{r, r\ r, , . . \ une constante.

Les distances ou droites de jonction r, r'', . .. ne sont p&^^V toutes indépendantes; car, lorsque trois d'entre elles, côtés dft=> triangle ayant pour sommets trois des points matériels, sont don:^^ ^ nées, les distances à ces trois sommets de tous les autres points ^=kx situés, par rapport aut plan du triangle, d'un même côté, suffisent^ pour déterminer les positions relatives de ces autres points ett» par suite, toutes leurs distances mutuelles. On pourrait don.d^^ éliminer de la fonction un grand nombre de variables r, r'^^

/•^, Mais cette fonction doit avoir une forme naturelle, c^xxm^ ^

nous supposerons adoptée, où elles lîgurent toutes; car il e»^^^^ rationnel d'admettre que chaque distance joue un rôle dans 1 4 production des phénomènes, en tant qu'exprimant ^e rapport de-^^^ deux points qu'elle relie.

D'ailleurs, comme nous ne connaissons pas d'état des corps où. leur énergie potentielle soit complètement épuisée, c'est-à-dire où leur puissance vive ne puisse plus s'accroître par aucun changement de configuration, cette fonction T ne sera déterminée que dans sa partie variable, ou à une constante arbitraire près. Celle-ci se réduira avec la constante arbitraire du second membre de (3), et il sera dès lors permis d'eu faire abstraction.

a4 FORME GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT,

Il faut ({^ailleurs s'y représenter les accélérations ^^^^^"^Z" ^^^^

remplacées par leurs valeurs, qui, d'après le premier principe, « dépendent uniquement de l'état statique du système, c'est-à-dire^^ "^re des coordonnées x, z de ses divers points, comme les dérivées^ mêmes de V en Xp^ yp^ Zp,

Cela posé, rien n'empêche de choisir l'époque actuelle t pour» l'instant initial et de s'y donner arbitrairement toutes les compo — *^ santés des vitesses. Ou, si l'on aime mieux, on peut imaginerrm que, successivement, le système matériel considéré présente, ^

pour une même configuration quelconque définie par les coordon-

nées JCy y^ w, toutes les combinaisons possibles de vitesses, c'està-dire tous les modes possibles de grandeur relative des composantes — Or, alors, l'égalité constante à zéro du premier

membre de (4) exigera évidemment l'annulation séparée du coefficient total, le même dans tous ces cas, de chaque composante

dt' vitesse, coefficient du lerme unique auquel se ré-

duirait le premier membre si la composante de vitesse dont il s'agit différait seule de zéro.

L'ensemble des deux principes fondamentaux implique donc l'annulation, dans (4), de chaque quantité entre parenthèses ; ce qui donne, pour tout point du système, en transposant finalement le second terme, les trois équations de mouvement

(5, mp "~ ^/(x^O>'^pV

Si l'on se rappelle d'ailleurs que W ne dépend de Xp^yp^ Zp que par l'intermédiaire des distances t'pq du point aux autres points du système, et que les trois dérivées de rpq en pi y Pi sont, d'après l'expression (i) de ces distances,

d^ p ,f i X f, — •fqi y p — yq-t — z,f )

d{Xp,yp,Zp)" vpq '

c'est-à-dire, plus simplement, — pqi ^ pqi ^ pq) vertu des formules (2) [p. 6] des cosinus a^^, bpq^ Cpq qui définissent la direction des droites rpq^ les trois équations (5) deviendront évi-