ÉQUILIBRES STABLE, INSTABLE, INDIFFÉRENT

Les conditions d^équilibre expriment donc, vu la forme même <les seconds membres de (5) [p. 24]i ^annulation des dérivées partielles premières de l'énergie potentielle W par rapport aux coordonnées, toutes indépendantes, x, -^'y -^^ - • •

dont elle dépend. Ce sont, d'après le principe usuel de Képler «t de Fermât sur les maxima ou minima des fonctions bien continues, les premières conditions pour que la fonction W soit maximum ou minimum ; car elles définissent une configuration du système où son énergie potentielle égale, à des infiniment petits du second ordre près, ce qu'elle est dans toutes les configurations infiniment peu différentes.

Le cas le plus important, parce que la nature le réalise souvent, est celui du minimum. Appelons l^i valeur de W correspondant à l'équilibre considéré et moindre que toutes ses voisines. Alors de très petits déplacements initiaux quelconques imprimés aux divers points, à partir des situations d'équilibre, et aussi de très petites vitesses initiales quelconques qu'on leur communiquerait, n'ajouteront à l'énergie totale relative au cas du repos, qu'une quantité insignifiante L'équation (3) des forces vives, devenue

c'est-à-dire

astreindra évidemment l'accroissement essentiellement positif W — Wo de l'énergie potentielle à ne pas dépasser s^, ou les variables r, r', r", ... (dont dépend W), à ne changer que dans d'étroites limites. La figure du système ne s'altérera donc presque

pas, et, de plus ^par suite de l'inégalité évidente^ ' ^ ^')^

ses vitesses resteront fort petites : double circonstance qu'on exprimera en qualifiant l'équilibre de stable.

Il y aurait, au contraire, instabilité^ si la configuration du syslèine pouvait changer ^en^/ftfe/ne/i^ à la suite d'une rupture insensible de l'équilibre. C'est ce qui arrive quand, l'état d'équilibre dont il s'agit correspondant à un maximum de la valeur

£2 4- — q*) de la demi-force viveT^ -mV- varie dans le même

a8 EXISTENCE DE DEUX SORTES D'ACTIONS, SUIVANT LES DISTANCES,

sens que les écarts dWee cet état déjà produits; car il en résulte ^ que le mouvement s'accélère par ces écarts mêmes.

Enfîn, Téquilibre est dit indifférent quand W = const. : car au

cune demi-force vive ne se trouve alors engendrée par les chan

gements de configuration, et la somme ^ ^'^^^ reste toujours « infiniment petite comme au départ; ce qui implique, il est vrai, ^ la conservation indéfinie du mouvement imprimé, mais aussi celles de sa lenteur.