DU MOMENT DES FORCES PAU RAPPORT A UN AXE

A cet effet, considérons, par exemple, la projection, y/X'--h Y-, s«r le plan des xy normal à l'axe des 5, de la force F ou MF app^liquée au point M (yî^. 1), projection qui a évidemment X et Y (=»our composantes suivant les x et les^, et qui fait avec une pa-

rallèle aux X positifs, en tournant dans le sens des x positifs vers l^sj' positifs, un certain angle A (compris entre — t: et t:), Xîé à X et à Y par les deux relations

C 12) X = /x» Y» cosA, Y = Y* sinA.

Soit, de plus, [JL la projection de M sur le même plan des xy^ ;|Doint de départ de la droite ou force [xcp = y/X- -\- Y*-*, dont il vient

^'être parlé; et, ayant mené le rajon vecteur Ofx = )Jx'-{-y'^ qui ^oiot l'origine à ce point |x, appelons a Tangle (également compris

«ntre — et -|- it) que fera ce rayon avec les x positifs, angle tel,

^e même, que

Le troisième binôme en question, x\ — y^^ deviendra de ^uile, par la substitution de ces valeurs de X, Y, x et j%

v/\î +- Y* (sin A cosa — cos A sinrt) = -+-7^ /Xî -h Y*"sin ( A — fl ).

Sous sa dernière forme, il exprime Taire du parallélogramme construit, dans le plan des xy^ sur les deux droites 0|jl = yjx- -^y'^, piçp=r y^X^H- Y'-^, c'est-à-dire, d'une part, sur le rayon vecteur v/x^-h^* joignant l'origine au point [x, d'autre part, sur une parallèle Ocpi menée par Torigine à la force y/X^ h- Y et de mêmes sens

5'| MANIÈRE DONT S'iNTRODUIT LA NOTION DES MOMENTS DES FORCES;

et grandeur qu'elle, parallèle dont Tangle avec ce rayon vecteur est bien évidemment A — a (à un multiple près de 27î). Cette aire se trouvera, d'ailleurs, prise ainsi avec le signe de sîn(A. — a), r'est-à-dire positivement, quand la force [Aîp = y'X*-* -h sera, par rapport au rayon 0[a joignant l'origine au point [jl, du côté des angles xO[jl= a croissants, côté où arriverait le rayon vecteur 0[x en tournant à partir de sa position actuelle, de moins de 180**, dans le sens qui va des x positifs vers les positifs; et elle se trouvera prise négativement dans le cas contraire. En d'autres termes, son signe est -f- ou — , suivant que les côtés Ojjl et Ocp, du parallélogramme offrent même disposition relative que Ox et O^', ou disposition inverse.

Une pareille aire xY — y\, dont la valeur absolue égale aussi le produit de la force jjlo = y/X^ 4- Y*-*, qui est un des côtés du parallélogramme, par la hauteur correspondante OP, dite bras de levier de la force, distance de l'origine ou de l'axe considéré des z à cette force, s'appelle le moment par rapport à l'axe en question des^, soit de cette force, soit de la force F = ^X^* -h Y'-* -h Z'** qui l'a pour projection sur un plan normal à l'axe.

4i. — Relation entre le moment d'une résultante et les moments de ses composantes.

Comme X et Y y entrent linéairement, il est clair que la décomposition de la force proposée F en autant de forces que l'on voudra appliquées au môme point M, et dont nous appellerons X|, X2, X3, Y|, Y2, Y3, Z|, Zo, Zj, ... les composantes ayant pour sommes respectives X, Y, Z, donnera, pour ces diverses forces, des moments par rapport à l'axe considéré des 5, xYi — yX|, XY2 — vXj, ...,dontla somme algébrique vaudra le moment môme .rY — ^^X de la force décomposée ou résultante F. Il en sera donc, dans la décomposition et dans la composition des forces appliquées à un même point, de leurs moments par rapport à un axe, comme de leurs composantes relatives à cet axe : aux compositions et décompositions géométriques des forces dans Vespace, par la loi du polygone des forces (p. 26), correspondront des compositions et des décompositions purement algébriques tant de leurs moments que de leurs composantes, par rapport à un axe quelconque.