PROPRIÉTÉS DE CES MOMENTS

— Relations entre les moments d'une force par rapport à trois &3K^es coordonnés et la direction du plan mené par l'origine sui- "v-aat cette force.

T\emarquons encore que le parallélogramme 0[jLcp:), (môme ST» construit, dans le plan des xy^ sur les deux projections cox'respondanles du rayon vecteur 0M== y/j^^-j- v^-j- 3^, joignant ^^«rîgine au point M, et de la force MF=r y^X^^ Y*4- Z^, est la Projection du parallélogramme de l'espace, OMFF,, dont nous ^ ï^pellerons OTL l'aire, qui a pour côtés ce rayon OM et cette force T^, ou ce rayon et une droite 0F< menée, à partir de Torigine, ^^rallèlement à la force avec même longueur qu'elle. Le mo- ''^^ enl, que nous désignerons par OR-:, de la force proposée F vêla- ^ * cernent à l'axe des z, égale donc, en valeur absolue, la projec- ^ ^ on, sur le plan xOy^ de ce parallélogramme OR de Tcspace; et, l'on appelle cosa, cos^, cosy les cosinus directeurs de la nor- "^ale au propre plan de celui-ci OR, tirée provisoirement du côté ui fait un angle aigu avec les z positifs, on aura OR - = ± OR cosy. De plus, en considérant les deux plans menés suivant l'axe des z |ai projettent ainsi sous des angles aigus, sur le plan des xy^ les leux côtés du parallélogramme OR/ de l'espace émanés de l'ori-

;ine, savoir, d'une part, le rayon vecteur 0^1= ^x^ y''

'autre part, la parallèle OF, à la force MF = v/X3 + 4n verra que ces deux côtés se trouveront toujours disposés, par pport à un observateur les regardant qui aurait ses pieds à l'origine et la tête suivant la normale dont il vient d'être parlé, de la ^^noéme manière que le seront leurs deux projections sur le plan ^es xyj par rapport à un observateur ayant de même ses pieds à Torigîne et sa tête du côté des z positifs. Il suffit donc, pour que Je moment OR, ait le signe de la projection OR/Cosy? de prendre y ou aigu ou obtus, suivant que l'observateur normal au parallélogramme de l'espace voit le rayon vecteur OMet la parallèle OFj à Ja force F, disposés respectivement comme le sont les deux axes positifs des x et des y pour un observateur identifié de même ^vec l'axe des z positifs, ou suivant qu'il les voit présenter la disposition inverse ; car, dans ce dernier cas, ils lui offriront, au contraire, la même disposition, s'il se place dans la direction normale

56 PROPRIÉTKS DES M0MKNT8 DES FORCKS;

exactement opposée, en changeant de signes cos a, cos^, cosy • en rendant, par conséquent, v obtus.

Ainsi le signe de cosy sera celui du moment OR-, si l'on coc vient de tirer, à partir de Torigine, la normale ON au plan d parallélogramme ;^R. de l'espace, d'un côté tel, que le rayon vec: teur OM = yJx^-\-y'^ -\- et la parallèle 0F| à la force F soîen: disposés respectivement, par rapport à celle normale, ON, comn^ le sont par rapport à Taxe positif des z les deux axes des x e des y positifs. 11 faudra, en d'autres termes, qu'un changemen d'orientation imprimé à l'ensemble du parallélogramme et de Si normale ON, de manière à amener la normale suivant les z po sitifs et le côté OM = \/x'-\-y^ 4- du parallélogramme suivant les X positifs, amène le parallélogramme Ole lui-même du côté des y positifs ; et il est d'ailleurs évident qu'alors une rotation de la même figure, OMFN, propre à amener la normale ON suivant les X positifs et le côté OM suivant les y positifs, amènera le parallélogramme du côté des z positifs, ou encore, qu'une rotation propre à amener ON suivant les y positifs et OM suivant les z positifs, amènera le parallélogramme du côté des x positifs.

Grâce à ce choix dans la direction de ON, le moment x \ — de la force F = y/X^ 4- -h- par rapport à l'axe des z. et, poui les mêmes raisons, ses moments y Z — ^Y, — xTj par rappori aux axes des x et des j^, seront donc, en grandeur et en signe les trois projections positives ou négatives OR. cosa, cos^. OIL cosy, sur les plans coordonnés respectifs normaux à ces axes du parallélogramme OR construit en prenant pour côtés contiguî la force proposée et le rayon vecteur qui joint l'origine à sor point d'application.

46. — Construction d'une force ayant, par rapport aux axes coordonnés, trois moments donnés à volonté.

11 suit immédiatement de là qu'on peut toujours imaginer une force, de telle grandeur F qu'on voudra, a^^t pour moments relatifs aux trois axes des x, y^ z trois quantités données quelconques OR^, ORv, 0R-; car, après a\oir posé

OR = v/^Ri ^ ^Rl -H orCy,