DANS UN SYSTÈME INDÉPENDANT OU SANS RELATIONS EXTÉRIEURES

deux formules multiples,

\ d ^ [ dz dy dx dz dy dx\

' diZ"'Vdt-'7Î''di-'ûi' ""di rf?; =

L.a première de celles-ci exprime que la quantité totale do. r^^o iivement^ S'^'^' 2''^^' ^^^^57' />0556W6'e par le xjy-^s ième dans le sens d'un axe coordonné quelconque y a sa dérivée miulie, ou reste invariable pendant tout le mouvement,

Ainsi le principe de la conservation des quantités de mouver^^^nty imaginé par Descartes (p. 19), est exact pourvu qu'on l^ditende du mouvement projeté suivant un môme axe pour tout le système, puis ajoute non en valeur absolue, mais algébriquen^^nt. Cette rectification est due à Iluygens, Et comme, d'autre |>ax't, la somme arithmétique totale du mouvement évalué par les deni'forces vives au lieu des simples produits des masses par les x"! tcsses se conserve également d'une certaine manière (p. 21), on y>c«idire que la conception fondamentale de Descartes contenait germe, moyennant deux rectifications différentes, les deux ^ois de la Mécanique qui se trouvent être les plus importantes, du moins les plus utiles dans les applications, lorsqu'elles deviennent celles des quantités de mouvement et du travail; ce nous verrons bientôt.

Quant à la seconde équation multiple (19), si l'on y assimile la ^^aotité de mouvement m V de chaque point à une force s'exerçant ^^r ce point dans la direction de la vitesse V et qui aurait évidemment mii, mv^ mw pour composantes suivant les axes, on remar- ^^era que les quantités sous le signe S y expriment les trois moments correspondants d'une pareille force. C'est pourquoi l'on appelle ces quantités les moments des quantités de mouvement animant les divers points du système ; et la seconde équation multiple (19) signifie que les moments, relatifs à un axe fixe quelconque, des quantités de mouvemen t possédées par les divers points du système, ont leur somme totale invariable. Les deux formules (19) traduisent donc ce qu'on peut appeler les deux

6o CONSERVATION DU MOUVEMENT DU CENTRE DE GRAVITÉ.

principes de la consetTation des quantités de nioui^enient et de leurs ^moments.

Mais elles comportent une interprétation encore plus géométrique.

i8. — Autre forme de ces deux principes ; et, d'abord , conserration du mouvement du centre de gravité.

Représentons-nous, dans l'espace, le point (idéal) mobile, dit centre de f^ravitéàM système, dont les coordonnées, que nous appellerons S, Tj, sont à chaque instant les moyennes arithmétiques des coordonnées de même nom des divers points matériels M, chacune de celles-ci comptant, dans la somme, pour autant que rindique la masse ni du point auquel elle appartient. On démontre aisément que ce point r^, 2^), ainsi défini par les trois équations

est bien le même dans Tespace, quels que soient les axes choisis (*). Or les formules (20), multipliées par et diflerentiées

(') Car, si x,, z^ sont les coordonnées, pur rapport à d'autres axes, du point {Xf y, z) du système, et Ç,, t,„ les coordonnées correspondantes du point ($» T^l» *)> on sait que et j:,, par exemple, s'exprimeront linéairement, en fonction de Tj, Ç ou de or, z, par des forniiilos comme

x^ — ax -k- l)y -h cz %y — al -r- l/r^ -h -h

dans lesquelles a, c, a désignent quatre constantes. Or, en remplaçant t„ ^. dans cette expression de Ç,, par leurs valeurs (?o), puis faisant passer a, à, v sous les signes de sommation £ et réduisant tous les termes du second membre au dénominateur commun 2: m, il vient évidemment

^ ÏLm (ax br cz -h ol) - -m" - '

c'est-à-dire, vu la valeur de l'expression ax 4- by -r ce -f- 2,

et l'on aurait de même

^''^^ "ï"wr ' '"'^ " îm" ■

Ainsi, le point (ç, t„ ^) se trouve bien être, dans le nouveau système d'axes 00:^^, moins que dans l'ancien, celui dont les coordonnées sont les moyennes de cel^^ de même nom de tous les points matériels du système.

De là résulte, dans un solide invariable, la fixité du cenlre de gravité par r«*^ port à des axes coordonnés quelconques liés à ce corps.

CONSERVATION DE LA VITESSE D ACCROISSEMENT DES AIRES. 6l

en /, donnent

ce qui signifie que les quantités totales de mouvement, possédées suivant les trois axes par le système, sont identiquement celles qui animent son centre de gravité, censé avoir comme masse toute la tûasse Sw du système qu'on s'y représenterait condensée. Ces Irois quantités se conservant, la vitesse du centre de gravité a donc Ses trois composantes invariables; et ce centre se meut en ligne dlroite avec sa vitesse initiale, dont les composantes sont, en vertu (21), les moyennes de celles de même nom imprimées alors ^ttx. divers points et qu'on doit supposer données.