Principe des aires

i-i'interprétalion géométrique des secondes équations (19) f/> « 59] est presque aussi simple. Considérons, par exemple, celle d'^^ Kitre elles que nous savons pouvoir s'écrire

(■^^^ 3 21 ''^(^^ — j = une constante c,

et ^1311 figurent les moments, par rapport à l'axe des.?, des quantités mouvement mV = des divers points M. La projection,

sv:*^ le plan des xy, de la droite m V = ^ cls dirigée, à partir de la

position actuelle de M, suivant le chemin élémentaire ds que M

parcourir, est évidemment le produit, par^> de la projection

analogue, que nous désignerons par rfa-, de cet élément ds de sa ^^ajectoire. Et ce que nous avons appelé le moment de m V est, de

"^^me, le produit, par ^> du parallélogramme construit sur dy et

sur le rayon vecteur 0[x = v *^'"*~X* (P- joignant l'origine à première extrémité [x (projection de M), parallélogramme double du triangle, ayant même base rfa- et son sommet à l'origine,

6a PRINCIPE DES AIRES DANS UN SYSTEME MATÉRIEL INDÉPENDANT. 1

que décrit durant Fînstant dtj en projection sur le plan des xy^ ' le rayon vecteur variable mené de Torigine au point mobile M.

Désignons para) la valeur de Taire projetée ainsi décrite depuis J> une époque fixe quelconque : rfco sera son accroissement positif m 3^ ou négatif durant Tinstant dt\ et nous aurons, par conséqueni

comme moment de m\ ^ le produit de ~ par a rfw, c'est-à-dire dérivée — ^* Ainsi Téquation (22) deviendra

et signifiera que la double somme algébrique des produits àes^^^^ aires co par les masses des points correspondants a sa dérivée égale ^ à la constante c. -^V Par conséqueni, les aires que décrivent durant chaque unitv ^ de temps, en projection sur un même plan, les rayons vecteurs des divers points du système, donnent, multipliées par les masses de ces points, une somme algébrique constante pendant tout, le mouvement. De là le nom de principe des aires qu'a reçu cette loi de la conservation des moments des quantités de mouvement.

04 rUIXCIPK QÉNÉRAL DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT.

pour rinstant dt^ de ces composantes, pourvu que l'on appelle impulsion d'une force le produit de celte force par un temps durant lequel elle agit. Le premier membre, multiplié de même par

dty sera d^^m ^^^'J^' = d^m{u^ r, (v), ou exprimera l'accroissement, pendant Tinstant dt, de la quantité totale de mouvement possédée par 1q système partiel suivant Taxe coordonné en question. On pourra donc énoncer comme il suit cette extension, aux systèmes partiels, de la loi de conservation des quantités de mouvement propre aux systèmes complets ou sans relations extérieures :

L'accroissement algébrique, durant un instant infiniment petit dtf de la quantité totale de mouvement du système suivant un axe quelconque, égale la somme, multipliée par cet instant dt, des composantes, suivant le même axe, des forces extérieures appliquées au système, ou vaut^ en d'autres termes, l'impulsion totale exercée pendant le même instant par ces forces extérieures, dans le sens du même axe.

Tel est le principe dit des quantités de mouvement. Enfin, introduisons dans les expressions

des quantités de mouvement possédées suivant les trois axes par

le système partiel, les composantes ^'Jf ' vitesse de son

centre de gravité qui, multipliées par S m, donnent précisément

Z^m If/" , d'autre part, observons que les produits, par Sm,

des vitesses initiales de ce centre suivant les axes égalent les quantités correspondantes totales de mouvement 2 m (w, v, (v) possédées au début par le système. Et nous verrons alors le principe des quantités de mouvement signifier que le centre de gravité du système partiel se meut comme il le ferait si l'on y avait réuni toute la masse Im de ce système, avec sa quantité de mouvement initiale, et si l'on y transportait, parallèlement à ellesmêmes, toutes les forces extérieures agissant sur ses diverses parties.

PRINCIPE DKS aires; IMPULSION DE ROTATION DES FORCES.

52. — Principe des aires pour un système partiel; impulsion de rotation des forces.

Pour passermaintenant au principe des aires, ajoutons les équations (17) [p. 58], multipliées respectivement par o, — ^^J', ou par o, — X, ou par — 1% o, aux équations de mouvement des autres points du système partiel multipliées par des facteurs analogues. Les seconds membres des trois résultats, sommes des moments, par rapport aux axes des jr, des j , ou des de toute*^ les forces agissant sur le système, se réduiront évidemment, par la destruction mutuelle de ceux des forces réciproques, aux moments des actions extérieures-, et, d'autre part, les premiers membres

d / dz flv \

-d}2à"'{^'dj-'iF)

exprimeront les accroissements durant un instant infiniment pelil, divisés par cet instant ou rapportés à Tunité de temps, des moments, relatifs aux mêmes axes, des quantités de mouvement animant le système partiel. Il viendra donc, au lieu de la loi de conservation des moments des quantités de mouvement qu'on aurait pour un système complet, le principe suivant, dit des moments: La somm^e algébrique des moments, par rapport à un axe quelconque, des quantités de mouvement animant les divers points d'un système, s'accroît dans Vunité de temps d'une quantité égale à la somme algébrique des moments des forces extérieures par rapport au même axe.

Le produit du moment d'une force, relatif à un axe quelconque, par UD temps infiniment petit durant lequel agit cette force, peut élre appelé, très naturellement, Vimpulsion de rotation, pour ce tempSy de la force autour de Caxe considéré, à cause des rapports existant (comme on le verra bientôt), d'après le prin- B. — LeçoM iynthétiques. 5