COMMENT SE FORMENT LES ÉQUATIONS DE MOUVEMENT D'UN SOLIDE

cipe même des moments ou des aires, entre les moments des forces et les mouvements de rotation imprimes aux corps; et, par suite, la somme de tous les produits pareils, pour les éléments dt composant un temps fini quelconque, peut être appelée de même Y impulsion de rotation de la force pendant ce temps. Grâce à ces désignations, le principe des moments s'énoncera donc encore ainsi : Le moment total, par rapport à un axe fixe quelconquey des quantités de mouvement d'un système^ s' accroît sans cesse de V impulsion correspondante de rotation des forces extérieures.

On pourrait d'ailleurs, évidemment, substituer dans ces énoncés, au moment de la quantité de mouvement possédée par- chaque point, le double produit de la masse de ce point par l'aire que son rayon vecteur émané de l'origine décrit, durant l'unité de lemps, en projection sur un plan normal à Vaxe considéré,

:i3. — Application des deux principes à un solide rigide ; formation des équations de mouvement d'un tel corps.

Supposons d'abord que le système partiel étudié soit un corps solide, assez peu déformable pour qu'on puisse attribuer, à chacun (le ses points matériels, des coordonnées constantes ^i, par rapport à un système d'axes entraînés dans ses mouvements et se croisant, par exemple, à son centre de gravité. Alors les coordonnées z de ces mêmes points, relatives à notre système général d'axes fixes, s'expriment, comme on sait, très simplement, au moyen des coordonnées invariables et des six fonctions de t qui caractériseront la situation, à chaque instant, des axes mobiles, savoir, les trois coordonnées r,, de leur point actuel d'intersection et trois angles (les angles d'Euler par exemple) définissant leur orientation actuelle. On aura, en effet,

Ç -h axx -h a' v\ -h a'^i,

les neufcoefficients a, 6, c, a', b\ c', a"^ U\ c" étant des fonctions connues des trois angles dont il s'agit. Donc les six équations fournies par les principes des quantités de mouvement et des moments suffiront, si Ton donne les actions extérieures qui, seules, y parais-

MOUVEMENTS D*Eîf SEMBLE ; TRANSLATIONS ET U0TATI0N8. Ci;

^ent(*), pour déterminer à chaque instant les dérivées secondes, P^r rapport au temps, de ces six quantités variables, et aussi, par 's^ùte, celles de a, a', a", 6, 6', //, c, c', c'', x^y, z, c'est-à-dire les

accélérations ^-^^^—^ > qu'on n'aura plus, désormais, besoin de

demander aux équations individuelles de mouvement (17).

Autrement dit, les six équations ainsi formées tiendront complètement lieu, en vue de la détermination du mouvement, de 'outes les équations (17) ; et les divers points matériels du corps ^ y figureront que par leurs masses m et leurs coordonnées con- ^'antes ^Ti, yt, C|, ou auront pour seul effet d'en modifier les Coefficients. Ce n'est donc pas la forme de ces six équations, ^^is seulement la valeur de leurs coefficients, (jui variera avec iîgure du solide et la distribution de sa masse.

5i. — Translation et rotations du solide.

A—cs trois premières, fournies par le principe des quantités de ^Vivement, feront connaître, comme on vient de voir, le mouve- '^^^ï>t du centre de gravité, point qui sera ici invariable dans le ^^»*ps, ou défini, par rapport aux axes mobiles, par des coordon- J^^'^^s constantes, comme celles des divers points dont elles sont ^ ^ moyennes. 11 ne paraîtra évidemment, dans ces trois équations, ^ ^^^un autre coefficient dépendant des divers points du corps que ^ masse totale S m.

l,es trois dernières, fournies par le principe des moments, ^^caucoup plus compliquées, et dans les coefficients desquelles les divers points matériels figureront à la fois par leurs masses m et \)ar leurs coordonnées constantes serviront donc uni-

quement à déterminer ce qu'on appelle les rotations du corps autour de son centre de gravité, c'est-à-dire les changements d'orientation du système des axes mobiles, changements liés aux variations des trois angles dont dépend la direction de ces axes.

Dans le cas très simple où, les neuf coefficients ^, a\ b\ d y a", 6"', c" se trouvant constants, ces rotations seraient nulles, tous les points du corps décriraient évidemment, durant chaque in-

(') A l'exclusion des forces inlcricurcs ou réactions mutuelles des diverses parties du corps.