TRAVAIL DK L ACTION MUTUELLE D*UN COUPLE DE POINTS

^ une même direclion ou à un même axe, ici, au coniraire, les tra- V- aux sont toujours direclemenl comparables et combinables, sans égard a aucune direclion, de même que l'étaient déjà (p. 19) les < lemi-forces vives décomposées suivant trois sens rectangulaires.

^7. — Énergie potentielle et énergie totale d'un système partiel; variation de l'énergie totale.

Gela posé, distinguons, dans notre système partiel, les actions i ntérieures , égales et opposées deux à deux , d'avec les forces extérieures; et, pour les premières, considérant un quelconque <des couples de points du système, dont /• désignera la droite de jonction, ajoutons les travaux de Faction F exercée sur Pun de ces

f>oints par l'autre, et de la réaction — F éprouvée par celui-ci. Les composantes de la première, ainsi que les coordonnées de

^on point d'application, étant respectivement X, Y, Z, Xyjr^ et

<:elles de la seconde, X,, Y,, Z,, ^-r,, v,, nous savons qu'on

sura

. Kl— r /•

Par suite, la somme des deux travaux en question,

XdjT -^Y dy-^Z dz, X, dx^ -f- Y, dy^ ^ Zi dz^

sera

( .26 ) — F f~ ^ ^^-^1 * ' )(dyi—dy)-hiZi—z)idZi— dz )

ou simplement — F dr, vu que le numérateur vaut ici rdr à cause de ridentité

différentiéc et divisée par a.

Donc le travail total, pendant un instant dt, des deux actions mutuelles d'un couple de points, se réduit au produit de Tune de ces actions (comptée positivement quand elle est attractive) par le rapprochement — dr qu\*prouvent les deux points.

i'iS) ' Y = — Y,

H.i> KgUATIOX DES FUUCES VIVKS POUll UX SYSTÈME PARTIEL.

El comme, enfin, l'aclîon mutuelle F sera ou la dérivée en /• de l 'énergie polentielle de pesanleur — ^ ^fnp système parliel, si la droite de jonction /• est de grandeur sensible, ou la dérivée en r de son énergie potentielle interne 4>, si cette droite est, au conlraire, de grandeur imperceptible, la somme de tous les travaux pareils constituera la différentielle totale, changée de signe, de ce que l'on peut appeler Vénergie potentielle propre du système parliel, fonction de toutes les distances de ses points, comprenant, d*une part, l'énergie polentielle de pesanteur — ^ de ses parties les unes vers les autres, et, d'autre pari, son énergie potentielle interne 4>, localisée dans ses divers éléments de volume.

Si les actions réciproques ou intérieures exercées très près de la surface se trouvent modifiées par la présence de la matière extérieure, il n'en résulte point d'erreur sensible dans vu que les termes correspondants de cette diff'érentielle sont, comme on a vu (p. 38), insignifiants par rapport à ceux qui concernent les dislancés /• de couples atomiques intérieurs.

Donc, en représentant maintenant par S(X dx -h Y dy 4- Z dz) les travaux des seules actions extérieures pendant l'instant dt^ et, de plus, par R les dislances mutuelles sensibles des points du système parliel, afin de les distinguer de leurs dislances mutuelles insensibles /•, il viendra

'''V- ,'%ry A'/n/n' ,^ . , , ,

— = (Ij^ r/*^-r-^(\ dx-^\ dy-^7.dz),

ou bien

Or, dans celle équation, la somme

de l'énergie actuelle du système considéré et de son énergie potentielle proj)re conslilue son énergie totale, que nous représenterons par C.

L'équation {'.>r^) peut donc s'écrire

{')' bis) (fC=I.{\dj^'^\ ctr-r-'ldz).

102 TOUTE FORCE EST LA DÉRIVÉE IJ'UXE ÉXEROIE POT. PAR RAPP. A UX CHEMIN.

composante de même sens de la force, est bien la diminution cor-

relative — ^ dx de l'énergie potentielle; et Ton peut dire que la

composante, siiwant une direction <inelconque, de Vaction totale exercée sur un point, exprime la consommation d^ énergie potentielle qu"" exige, par unité du chemin parcouru, un déplacement infiniment petit du point sui^'ant cette direction.

Ainsi une force, exprimée en fonction de ce qu'il y di de plus réel en Mécanique, savoir, en fonction d'énergies et de longueurs, est la dérivée d'une énergie (ou d'un travail) par rapport à une coordonnée.

89. — Complications diverses dans l'emploi du principe des forces vives.

Dans le principe des forces vives appliqué à un système partiel, l'énergie totale du système joue donc le rôle qu'avaient la projection totale ou le moment total, relatifs à un axe, de la quantité de mouvement du système, dans les principes généraux des quantités de mouvement ou des moments; et l'on voit de même le travail des actions extérieures y prendre le rôle qui, dans ces mêmes principes, revenait à l'impulsion soit ordinaire, soit de rotation des actions extérieures. Mais il importe d'observer que l'énergie totale constitue une notion ou une chose plus complexe que les quantités de mouvement ou leurs moments. En effet, tout n'y est pas de la demi-force vive, c'est-à-dire une réalité en rapport avec le mouvement actuel, ou exprimée et mise en jeu par celui-ci, comme le sont ces autres quantités; car, deux de ses parties sur

trois, savoir, 4> et — ^ Armn ^ représentent de l'énergie potentielle. Par suite d'une plus grande portée, d'une pénétration plus intime dans les détails des phénomènes, le principe des forces vives est donc moins simple que les autres.

Or sa complication, au point de vue du mouvement moyen local ou visible d'une particule de matière, est encore accrue, dans tous les termes non relatifs aux forces de pesanteur, par le fait de l'agitation calorifique qui, au contraire, s'élimine des équations exprimant les deux autres principes.

DK8 COMPLICATIONS QU'iXTRODUIT L'aOITATION CALORIFIQUE.