LES DEUX PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA MÉCANIQUE

10. — Des lois fondamentales da moavement. — Première loi on premier principe : c'est d'après l'état statiqne qoe se règle la rapidité de variation de l'état dynamique.

La Mécanique, science des lois effectives du mouvement, est basée sur deux grands principes qu'a fait admettre une longue expérience aussi variée et aussi précise que poâsible, complétée, dans ses lacunes inévitables, par la croyance naturelle de la raison à des règles simples ou à un ordre intelligible en toutes choses.

Le premier, connu, dans un cas particulier qu'a signalé Galilée, sous le nom de Principe de l'indépendance des mouvements simultanés, consiste en ce que, le système matériel considéré étant supposé très éloigné de tout autre ou seul dans l'espace, la rapidité avec laquelle change d'instant en instant son état dynamique^ dépend, d'une manière déterminée, de son état statique seul. Autrement dit, les accélérations — — j y^ — - de ses divers points égalent certaines fonctions, déterminées dans chaque cas par les lois physiques, des coordonnées actuelles x,y, z de tous. Les mouvements sont ainsi régis par des systèmes d'équations différentielles du second ordre. Ces équations laissent donc disponible ou arbitraire Vétat initial du système, comprenant l'ensemble, tant des situations (j:,j', s), quedes vitesses J.' — ■' à une époque spéciale t^t^ prise pour origine ; mais elles relient étroitement à cet état initial du système matériel ses autres états, ultérieurs ou même antérieurs.

Par exemple, l'accélération d'un corps qui tombe à la surface

TOUTE VlIEaSB MB VAHIB QU'AVEO CONTINDITl. l3

du globe est une fonctioQ leutement variable de la position relative qu'il a atteinte par rapport à la terre ; celle d'une planète est une fonction analogue de ses distances aux autres corps du système solaire et principalement du soleil ; l'accélération d'un solide, fixé à l'extrémité d'un ressort qui se détend, dépend de l'écart existant entre les dimensions actuelles de ce ressort et ses dimensions à l'état naturel de repos ; celle de la partie d'un corps contre laquelle un autre corps vient se heurter est fonction du rapprocbement qu'éprouvent leurs matières respectives, etc.

11. — Valeur toujours finie des accélérations ; graduelle variation des vitesses ; inertie ; distinction entre le contact géométrique et le contact physique.

Tout porte d'ailleurs à admettre que les lois physiques ne permettent jamais aux accélérations dont il s'agit de devenir infinies; d'où il suit que les vitesses, dont ces accélérations sont les dérivées, ne le deviennent pas non plus, ni ne peuvent être discontinues ou passer brusquement d'une valeur à une autre. Aussi suppose-t-on que, dans les chocs dont il vient d'être parlé, les accélérations ou modifications de vitesses surviennent dès que le corps heurtant arrive à de certaines distances imperceptibles du corps heurté, ou avant qu'il y ait entre eux contact géométrique. Sans cela, le corps heurté, qui ne cesse pas de se trouver au-devant du corps heurtant, devrait brusquement, à l'endroit et au moment du contact géométrique, acquérir une vitesse pour le moins égale à la vitesse primitive du corps heurtant, à moins que celui-ci n'en perdît lui-même brusquement une partie. Or une telle discontinuité de ces deux vitesses ou, de l'une d'elles est contraire au grand principe de la graduelle variation de toutes choses. De plus, elle serait scientifiquement bien regrettable; car elle empêcherait l'application de l'Analyse infinitésimale au problème du choc et rendrait vraisemblablement impossible la théorie de ce phénomène si fréquent, conséquence qui accroît encore son improbabilité.

Ainsi, nous admettrons qu'un certain temps est nécessaire pour engendrer ou pour détruire une partie quelconque de vitesse ; et tout point matériel, animé à un moment donné d'une certaine

.yGoogle

■ 4 PRIHIÈRE LOI rONDAMrHTALE : LA DBKITÉE DE LÏ

vitesse, la possédera encore après un intervalle de temps assez petit.

C'est ce fait de la conservation, au moins pendant un temps très court, de la vitesse dea corps, que l'on entend quelquefois par Vinerlie de la matière, ou propriété qu'elle aurait de persévérer dans son état actuel soit de mouvement, soit de repos. On l'appelle encore l'effet de la vitesse acquise, quand on dît qu'un corps se meut en vertu de sa vitesse acquise.

Il résulte, d'autre part, des mêmes considérations, que le corttact physique de deux corps, susceptible de degrés divers suivant les différences de vitesse qui l'amènent dans le cas d'un choc, ou suivant le degré de compacité de la matière entre les parties adjacentes de laquelle on l'observe à l'état de repos, devra être soigneusement distingué du contact géométrique ou absolu, qui est purement idéal : ce ne sera pas autre chose qu'un rapprochement de deux corps, suffisant pour provoquer de rapides modifications de leur mouvement, si d'ailleurs aucune autre circonstance ne s'y oppose.

12. — Extension du premier principe, malgré d'apparentet diUcultéa, premièrement, à la résistance des fluides.

En voyant la vitesse d'un corps lancé à travers un milieu comme l'air ou l'eau, se ralentir ordinairement d'autant plus vite, ou éprouver d'instant en instant une diminution absolue d'autant plus grande, que sa valeur actuelle est plus forte, on pourrait être tenté de faire dépendre les accélérations, des vitesses actuelles, en même temps que des situations actuelles. Mais uo peu d'attention montre de suite que ce à quoi tient l'accélératioti négative du corps considéré est l'intimité plus grande, à son avant qu'à son arrière, de son contact physique avec le milieu fluide qui le gène dans son mouvement. Donc l'accélération considérée se règle bien uniquement d'après des rapprochements entre particules, ou d'après les situations relatives des points matériels du système.

Si, au lieu de cela, on la suppose, dans les Cours de Mécanique rationnelle, fonction de la vitesse du corps, c'est qu'on s'y home, d'une manière implicite (car on néglige de le dire), aux circon-

stances ordinaires où le corps a son mouvement assez lentement varié pour que la manière d'être du milieu par rapport à lui ait eu le temps de se régler, à fort peu près, d'après cette vitesse même ; d'où il suit que celle-ci se substitue dès lors, comme variable définitive et unique, à toutes celles dont dépend immédiatement l'influeDce retardatrice du fluide. Et l'on restreint ainsi la question afin de la rendre plus abordable, en permettant d'éliminer toute considération directe du milieu pour ne s'occuper que du corps lui-même.

En réalité, ce n'est pas seulement de la vitesse, mais aussi de l'accélération, de la dérivée de l'accélération, etc., ou plutôt de toutes les circonstances du mouvement antérieur auxquelles serait dû, pour une part quelconque, l'état de rapprochement actuel du solide et du fluide ambiant, que dépendrait le retard apporté par le fluide au mouvement du corps, si l'état relatif de celui-ci et du fluide ne parvenait pas à se régler, c'est-à-dire n'atteignait pas un degré suffisant d'uniformité ou, comme on dit, Aq permanence. Un pendule qui oscille dans l'air ou dans l'eau, et dont la durée d'oscillation est assez brève, fournit un exemple simple de ce cas plus général : l'influence retardatrice du fluide ^ dépend, en majeure partie, de l'accélération et non de la vitesse.

13. — Deuxièmement, an frottement des solides et au frottement intérieur des milieux qu'on déforme avec une certaine viteBse.

Une deuxième exception apparente au premier principe se produit quand un solide glisse sur un autre avec une certaine vitesse. La déformation qu'il fait naître sur celui-ci n'est pas symétrique de part et d'autre d'une normale commune à leurs surfaces, par suite de l'impossibilité, où se trouve la partie du corps fixe sans cesse atteinte par le corps mobile, d'acquérir, surtout instantanément, la vitesse de ce dernier. Le corps mobile est ainsi, à tout instant, plus gêné ou retenu à son avant que poussé à son arrière; d'où résulte encore pour lui une accélération négative qui, si le mouvement se règle, dépend, tout au moins en direction, de la vitesse. En efl'et, cette direction change quand celle de la vitesse change elle-même. Mais là encore, on le voit, la vitesse n'entre dans l'équation différentielle du mouvement du corps qu'après

|6 PREMliRE LOI PONDAMEHTALB : LA DÉRIVES DI L'ÉTAT DTNAMigOI

l'éliminatioD des vraies variables seules propres à y figurer directement, qui sont les distances séparant le corps mobile, à son avant et à son arrière, d'avec le corps fixe.

De telles diss^métries de configuration, à la partie antérieure et à la partie postérieure de coips ou même seulement de groupes moléculaires en mouvement entourés par d'autres, peuvent donc avoir pour efi'et d'introduire, dans l'accélération de ces groiipes, des termes négatifs, qu'on regardera presque toujours comme fonctions de la seule vitesse actuelle des mêmes groupes par rapport à la matière ambiante, quand on voudra se dispenser de faire entrer dans le calcul les dissymétries en question.

De pareils lermes sont, à on facteur constant près, ce qu'on appelle des frottements intérieurs. Et il importe au plus haut point d'observer que leur existence n'est pas en contradiction avec la grande loi d'après laquelle les accélérations dépendent uniquement de l'étal stati(}ue actuel.

li. — Troisièmement, enfls, à certains pliénomèiieB, mal connas, électriques ou autres.

Les exemples précédents suffisent pour montrer que, lorsqu'on rencontrera, dans des parties de la Science encore obscures et dont Vidée mère nous manque, comme l'Éleclrodjnamique par exemple, les formules, au moins provisoires, d'accélérations paraissant échapper à cette loi fondamentale, il faudra non pas conclure à son défaut de généralité, mais attendre, des progrès ultérieursdela Science, l'explication de désaccordspurement apparents sans doute. Et si les formules en question sont réellement fondées sur l'expérience, on aura tout lieu d'espérer découvrir à la suite de quelles éliminations elles auront pris leur forme paradoxale.

Quoi qu'il en soit, rien ne serait actuellement moins sensé, que de faire servir les parties non débrouillées de la Mécanique physique à obscurcir ce qu'elle a acquis de plus clair depuis deux siècles, savoir, son premier principe, qui résume l'expression d'un nombre déjà prodigieux de faits.

K. — Considérations tendant à établir la Kénéralité du premier principe.

D'ailleurs, a priori, on conçoit que la manière d'être, relativement à UD point matériel, des autres points matériels situés tout autour et, par suite, l'influence qu'ils peuvent avoir sur son accélération, dépendent de leur situation par rapport à lui. Mais on ne conçoit pas qu'elles dépendent de leurs vitesses ; car celles-ci, durant l'instant imperceptible où se produit l'accélération considérée, ne font varier que dans des rapports infiniment petits la configuration du système ou les distances mutuelles de ses diverses parties (distances supposées, bien entendu, ne s'annuler jamais tout à fait, même pendant les chocs). Autrement dit, le point dont on considère l'accélération et que l'on serait peut-être tenté de croire, en quelque sorte, directement sensible à son propre mouvement, mais non certes à celui des autres, n'a, pour ainsi dire, aucun moyen de s'apercevoir des changements tout à fait négligeables survenus autour de lui durant un instant dt. C'est donc, à sa vitesse près, uniquement d'après l'e'(a( statique actuel, qu'il devra, pour ainsi dire, régler son accélération, ou que les autres points du système influeront sur elle.

Dès lors, la seule vitesse qui semble pouvoir entrer dans l'expression de l'accélération d'un point sera la vitesse même V de ce point. Or cela encore est inadmissible. En eH"et, si, pour l'instant considéré, que rien n'empêche de choisir comme instant initial, on prend égales et parallèles à V les vitesses alors arbitraires de tous les autres points, vitesses reconnues sans influence sur l'accélération à évaluer, tout le système ne se trouvera animé à ce moment que d'un mouvement commun V de translation dans l'espace. Mais le principe expérimental, reconnu par Galilée, de V indépendance des mouvements simultanés, apprend que, dans un tel cas, les déplacements ultérieurs des divers points du système matériel, par rapport à des axes coordonnés possédant la translation dont il s'agit, sont les mêmes que si cette vitesse V était nulle. Et comme, vu la proportionnalité simple, au temps ultérieurement écoulé, des différences entre les deux coordonnées correspondantes X, y ou z d'un même point, par rapport aux deux syslènnes d'axes, les uns fixes, les autres mobiles, les dérivées secondes B. — Leçoiu lyntkétiquei. a

~—~J,T~~~ seront aussi les mêmes quand on les évaluera dans l'un ou l'autre de ces deux sjstèmes d'ases, il suit b!en de là que ces accélérations, à l'époque considérée où îl n'y a pas d'autres vitesses que V, dépendront uniquement de l'état statique, c'eslà-dire de la configuration du système.

En résumé, nous pouvons admettre comme premier principe de la Mécanique, comprenant ou plutôt exprimant en son entier celui de l'indépendance des mouvements simultanés, la loi suivante :

Dans un système matériel indépendant de tout autre, les accélérations des divers points sont des fondions parfaitement déterminées de leurs situations actuelles.

16. — Deuxième principe, oon^stant dans la conaerrstioa dei forces Tives ou de l'énergie ; notion de maase.

Un second principe non moins important, suggéré sans doute par ce fait que dans l'Univers le mouvement se communique d'un corps à l'autre sans disparaître jamais définitivement, a été entrevu par Descartes, puis dégagé par Leibnitz : c'est celui d'une certaine conservation du mouvement, supposé évaXaé séparément ches les divers points matériels du système d'après une règle invariable simple, puis réuni pour tous en tine somme unique, lanj y tenir compte des différences de direction.

Pour des points exactement pareils, animés d'une égale vitesse V, la grandeur à évaluer se trouve évidemment U même, ou donne un total proportionnel à leur nombre, c'est-à-dire à la quantité de matière en mouvement. Et il est naturel de penser qu'un point matériel de nature difTérente, mais animé encore de la vitesse V, équivaudra, sous ce rapport, à un certain nombre entier ou fractionnaire, le même quel que soit Y, de points de la première espèce, nombre dont la constance ne sera autre cbose que l'expression matbématîque du principe de la conservation de la matière, fondamental dans toutes les Sciences de la nature. Ce nombre, que nous représenterons par m et qui s'évaluera, pour chaque point, en prenant comme unité une quantité définie d'une certaine matière, s'appelle la masse du point. Il sera, dans l'expres-

DE QCAKtlTfi DE HOUVEMEKT BT DE tOaCS VIVE. ig

sion cherchée du mouvement, le fadeur caractéristique de l'élément de matière mû,