Quantité de moarement et force vive; énei^e actoelle

Mais l'autre facteur, qui dépend évidemment de la vitesse V, ou qui égale une certaine fonction simple de V, sera-t-il V, comme l'avait pensé Descartes, qui fat ainsi conduit à appeler le produit m\ la quantité de mouvement du point ?

Ne sera-t-il pas plutôt, comme une Science plus avancée le fit voir à Leibnitz, proportionnel au carré V de la vitesse? En effet, dans la décomposition si naturelle du mouvement suivant trois directions rectangulaires, ce carré V* égale justement, d'après une remarque aussi simple que profonde de Leibnitz lui-même, la somme des trois carrés analogues des vitesses composantes du point, et se montre ainsi apte à donner des produits, tels que mV, s' agrégeant dans tout un système par simple addition arithmétique malgré les différences de direction, puisque chaque terme mV* est déjà lui-même une somme de parties mu^, mv*, mw*, non moins diverses ou, pour ainsi dire, non moins hétérogènes quant à la direction des vitesses qui y figurent ('). L'expression qu'il s'agit de former, appelée par Leibnitz force vive du système, serait donc S/teY^, c'est-à-dire la somme des produits obtenus en

(') Caractère géométrique dislincti/ de la force vive, on de la puisttmce vive qui est sa moitié. — Si, en effet, la fonction de V dont il s'agit, destinée i évaluer le mouvement d'un point, et que j'appellerai /( V), doit être déterminée par la condition

il viendra, en difleren liant celle-ci,

"^' <iV du dv div

d'oiï

u du + V dv + tv duf.

c'est-ft-dire (5)

muUipliant les masses de ses divers points matériels par les carrés de leurs vitesses respectives.

L'expérience a prouvé que la quantité qui se conserve est bien cette dernière £mV', ou encore, ce qui revient évidemment au même, mais se trouve plus commode dans les formules, que c'est

valeur de d\ qui, subslJtuée dans (p), lui dnnoe aisément la forme ) L" rf« V d\' J"''"^[w dv V rfV J

\ ^ [«■ d«- V rfV J

Cette relation, devant être vériliée quels que soient les rapports mutuels des différentielles du, dv, dtv, exige évidemment que

D'ailleurs, comme u, c, iv sont trois quantités arbitraires, indépendantes Cane de l'autre, les trois premiers membres de (t) ne peuvent être é^iai que si leur rie ni avec u, qui Tigure seulement dans le premier memli a'j ligureat pas. Celte valeur commune est doue une tant qu'il s'agit d'un même point matériel. Ainsi, considérant, par exemple, le quatrième membre de i, on a

r'est-i-dire

d/(V) = niVdV.

et, par une intégration immédiate,

(;) /(V) =7"^ -H une constante C.

Il en résulte (T,) /(H) = m-^ +C, /(i.) = m ^' + C, /{«-) = m ^ +C.

Enfin ces valeurs (ï), (ij) de /(V>, /( u), /(i'), /{»•), substituées dans la relation (a), y satisfont identiquement, vu (f ), i la condition nécessaire et suffisante que l'on pose

Donc la fonction cherchée est bien, connue le pensait Leibniti,

ffi y désignant la masae du point matériel considéré, c'est-à-dire le coefficient proportionnel d'importance ou la valeur mécanique de ce point, dans l'appréciation de sa part d

ET D'ÉNBRaiE

la moitié, >^ , de la somme en question, moitié désignée

sous les noms de puissance vive et d^énergie actuelle du système.

18. — Énerve potentielle au capital latent de puissance vive, qui, joint à l'énergie actuelle, donne une énergie totale invariable.

Mais en quel sens cette quantité >' -mV se conserve- l-elle? En ce sens qu'elle se retrouve pareille, malgré ses différences possibles de répartition entre les points, chaque fois que le système repasse par la même configuration ou disposition relative de ses diverses parties. L'exemple d'un poids qui, en montant, c'està-dire en s'éloignant du sol, perd sa force vive, pour la retrouver en descendant, ceux d'un ressort bandé, dont la vitesse, d'abord nulle, augmente à mesure qu'il se détend, ou d'un mélange explosible qui crée du mouvement par un groupement nouveau de sa matière, prouvent, en effet, que les changements de forme et de dimensions d'un système entraînent certains accroissements ou certains décroissements de sa puissance vive : mais ces accroissements ou ces décroissements doivent plutôt être appelés des développements ou des dissimulations, que des créations ou des anéantissements, puisque les quantités de puissance vive produite ou détruite qu'ils représentent disparaîtraient ou reparaîtraient par des changements inverses de figure.

On peut donc concevoir qu'une certaine provision, un certain capital de puissance vive, variable avec la configuration du système, s'y trouve, par le fait même que ce système existe, emmagasiné sous une forme invisible et, lors des changements de configuration, accroît de ses pertes ou diminue de ses gains l'énergie actuelle primitivement communiquée au système en quantité arbitraire, suivant les vitesses plus ou moins grandes imprimées initialement à ses divers points.

On appelle énergie potentielle cette provision actuellement latente de puissance vive, qui dépend de la figure formée par les divers points du système ou qui est, par conséquent, une certaine fonction V(r, i^, i', . . -) de leurs distances mutuelles. Et le second principe fondamental de la Mécanique, appelé Principe de la

33 CONBERVATIOM DE L'ÉKIRSIB; EXPRESSION DE L'ÏHERSIE POTEHnELLE.

conservation des forces vives ou de l'énergie, s'exprime en disant que l'énergie totale du système, somme de son énergie actuelle V - m V* «( rfe son énergie potentielle W{r, i\ /■", . . ,), est invariable, ou que l'on a

(3> 2 3 '"^''*' *^' ■ '■'■''■■■' = "ne consunte.

Les distances ou droites de jonction r, r', r", . .. ne sont pas toutes indépendantes ; car, lorsque trois d'entre elles, côtes du triangle ayant pour sommets trois des points matériels, sont données, les distances à ces trois sommets de tous les autres points situés, par rapport au plan du triangle, d'un même côté, suffisent pour déterminer les positions relatives de ces autres points et, par suite, toutes leurs distances mutuelles. On pourrait donc éliminer de la fonction W un grand nombre de variables r, r',

r", Mais cette fonction doit avoir une forme naturelle, que

nous supposerons adoptée, où elles figurent toutes ; car il est rationnel d'admettre que chaque distance joue un rôle dans la produclioD des phénomènes, en tant qu'exprimant le rapport des deux points qu'elle relie.

D'ailleurs, comme nous ne connaissons pas d'état des corps où leur énergie potentielle soit complètement épuisée, c'est-à-dire où leur puissance vive ne puisse plus s'accroître par aucun changement de configuration, cette fonction W ne sera déterminée que dans sa partie variable, ou à une constante arbitraire près. Celle-ci se réduira avec la constante arbitraire du second membre de (3), et il sera dès lors permis d'en faire abstraction.