ACTIONS MUTUELLES, ETC. - PESANTEUR

in. — Forme des équations du mouTement.

Des deux principes fondtiDientaux de la Mécanique se déduisent presque immédiatemenl d'imporlantes lois; car la formule, (3) [p. 22], de la conservation des forces vives permet de préciser la forme des équations diifére miellés du mouvement, beaucoup plus que ne l'indiquait le principe, même généralisé, de l' indépendance des mouvements simultanés.

Diffère niions, en effet, celle relation (3) par rapport au temps,

aprèsavoirremplacéV='par(^jy-.-(J)V(~y. ce qui donne,

I I, ■ . j 1 1-., I -A dx d'3- dy d'y dz d*z pour la dérivée de - V ^, le trinôme -r- -y-r -^ -1- -nr + -jt -n: 1 • i ' dt dr dt dl* dt dfl

et observons que W, fonction des distances mutuelles des divers

points du système, ne dépend en définitive que des coordonnées

actuelles de ceux-ci, vu la valeur (1) [p. 6] delà dislance r^^ de deux

points quelconques Mp, M^, En groupant ensemble les termes du

résultat où figurent comme fadeurs les trois dérivées '"jf' ' "

relatives à un même point M^(dont nip désignera la masse), et en

DOUS contentant d'indiquer l'existence des autres termes, nous

aurons l'équation

V'"'' rf'' '^ d^iJ <i' "■'"'" dt' '^ dy,.) dt { ■" x""'' dp ■■ di,,) di~ ■■"

34 PORUE OËNÉHALB DEB ÉOUATIODH DU UOUVENEITT,

Il faut d'ailleurs s'y représenter les accélérations 'ai" ^

remplacées par leurs valeurs, qui, d'après le premier principe, dépendent uniquement de l'étal statique du système, c'est-à-dire des coordonnées x^y, z de ses divers points, comme les dérivées mêmes de W en Xp, yp, Zp.

Cela posé, rien n'empêche de choisir l'époque actuelle t pour l'instant initial et de s'y donner arbitrairement toutes les composantes des vitesses. Ou, si l'on aime mieux, on peut imaginer que, successivement, le système matériel considéré préseate, pour une même configuration quelconque définie par les coordonnées X, y, z, toutes les combinaisons possibles de vitesses, c'està-dire tous les modes possibles de grandeur relative des composantes l^'' • Or, alors, l'égalité constante à zéro du premier

membre de (4) exigera évidemment l'annulation séparée du coefficient total, le même dans tous ces cas, de chaque composante

*" j/" ^'' ^^ vitesse, coefficient du terme unique auquel se réduirait le premier membre si U composante de vitesse dont il s'agit différait seule de zéro.

L'ensemble des deus principes fondamentaux implique donc l'annulation, dans (4), de chaque quantité entre parenthèses ; ce qui donne, pour tout point M^ du système, en transposant finalement le second terme, les trois équations de mouvement

, rf-Cj-p.^p.-»,.)

Si l'on se rappelle d'ailleurs que W ne dépend de Xp,yp, Zp que par l'intermédiaire des distances /-^^ du point M^ aux autres points M^ du système, et que les trois dérivées de rp^ en Xp,yp, Zp sont, d'après l'expression (i) de ces distances.

d{xp,y^,Zp) /-p, '

c'est-à-dire, plus simplement, — i^pqt ^pi^ '^pi) *■* vertu des formules (2) [p. 6] des cosinus a^„ bp^, Cpç qui définissent la direction des droites r^j, les trois équations (5) deviendront évi-

IHPLIQUÉE F

demmenl

i dr.

où les signes de sommation S s'étendent à toutes les valeurs I, a, .,., n de l'indice q, auiresquep.

Or, sous cette forme délinitîve (6), les équations du mouvement admettent une interprétation géométrique remarquable et simple, qui doit maintenant nous occuper.

20. — Ce qu'OD «atend par forces, forces motrices, actions mataelles, action et réaction.

Menons, à partir du point quelconque M^ : i° d'une part, la droite dont les projections sur les axes égalent respectivement tes

premiers membres nip ''!/,%" '' ' droite de même sens que l'ac-

céléraLioo totale de ce point et valant le produit de cette accélération par la masse irip ; 2° d'autre part, des droites dont l'une quelconque, dirigée, si elle est positive, suivant la ligne r^^ qui joint le point M^ à tout autre point M^ du système, ou dans le sens opposé si elle est négative, ait pour valeur la dérivée -J-; — 5 c'est-à-dire pour projections sur les axes les termes écrits des seconds ou troisièmes membres de (6).

De plus, donnons à toutes ces droites le nom de forces, dénomination que nous nous réservons d'expliquer ou de motiver un peu plus loin. Et appelons, en particulier : 1° force motrice du point M^ la première d'entre elles, produit de la masse de ce point par son accélération ; 3° action de M^ sur Mp, celle des autres qui est dirigée suivant la ligne rpç = MpMq, force évidemment égale et contraire à l'action analogue -3 — -i de M^ sur M,; 3" action mulueile du couple de points M^, M^, l'ensemble de ces deux forces égales et contraires, dont l'une, la première considérée, s'appellera simplement Yaction et, l'autre, la réaction. Enfin, convenons, comme il a été déjà dit {p. K), de nommer résultante d'un système de droites données, issues toutes d'un même point, la droite, émanée également de ce point, qui a sa projec-

N OÉOHBTRIOnE DES ÉgDATIONI D

lion sur ud aie quelcoDque égale à la somme algébrique des projections, sur le même axe, des droites données, et qui joint, par conséquent, les deux estrémités d'un« ligne polygonale ajant ses divers côtés égaux et parallèles aux mêmes droites.

il. — Loi de loTtaatàoa do la force motrice de chaque polm au moyen des actions des antres points sur celni-li.

Alors les relations (6) exprimeront évidemment que In force motrice d'un point quelconque du système est la résultante d'actions partielles, dont citacnne, exercée sur ce point par l'un des autres, se trouve dirigée suivant la droite qui Joint ces deux points, égale et contraire à ta réaction du premier sur le second, et n pour valeur la dérivée, par rapport à leur distance, d'une même /onction V des dislances actuelles de tous les points du système.

Aussi appelle-t-on, au signe près, /onction des /orces, cette fonction potentielle ou énergie potentielle V, pour rappeler qu'elle donne par difrérenliation toutes les actions mutuelles exercées à l'inlérieurdu système. On la prend avec le signe moins, aiin que ses dérivées complètes par rapport aux trois coordonnées Xp, yp, Zp du point quelconque Mp représentent exactement, d'après (5), les trois composantes de la force motrice de ce point.

ta. — Éqnililve; sa stabilité, son instabiUté.

Uéquilibre est dit avoir lieu entre les diverses forces quand, pour les n points du système, les seconds membres des formules (5) ou (6) s'annulent. Alors les 3/i équations que représentent ces formules se trouvent vérifiées par des valeurs constantes de toutes les coordonnées a:, y, r, et, si les vitesses initiales données des points sont nulles, le système pourra indéfiniment rester en repos. Ce cas tend souvent à se produire à la longue dans les systèmes matériels. De là le grand intérêt qu'il offre, accru encore par sa simplicité relative. En effet, les 3n équations du problème cessent d'y être différentielles en t, pour devenir des relations finies où cette variable ( ne parait plus. Lear résolution iera connaître la figure correspondante du système, ainsi que les réactions mutuelles -z — de ses diverses parties.

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EQUILIBRAS STA>

Les conditions d'équilibre exprimenl donc, vu la forme même des seconds membres de (5) [p. a4], l'annulation des dérivées partielles premières de l'énergie potentielle W par rapport aux coordonnées, toutes indépendantes, x, y, -, x', y, =', x". ..., dont elle dépend. Ce sont, d'après le principe usuel de Kepler et de Fermât sur les raaxîma ou minima des fonctions bien continues, les premières conditions pour que la fonction ^ soit maximuD) ou minimum ; car elles définissent une configuration du système où son énergie potentielle égale, à des infiniment petits du second ordre près, ce qu'elle est dans toutes les configurations infiniment peu différentes.

Le cas le plus important, parce que la nature le réalise souvent, est celui du minimum. Appelons Tq la valeur de ^ correspondant à l'équilibre considéré et moindre que toutes ses voisines. Alors de très petits déplacements initiaux quelconques imprimés aux divers points, à partir des situations d'équilibre, et aussi de très petites vitesses initiales quelconques qu'on leur communiquerait, n'ajouteront à l'énergie totale W^ relative au cas du repos, qu'une quantité insignifiante e'. L'équation (3) des forces vives, devenue