CINQUIÈME LEÇON

PRINCIPES DE LA CONSERVATION DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT ET DE LEURS MOMENTS, POUR UN SYSTÈME MATÉRIEL INDÉPENDANT 00 SANS RELATIONS EXTÉRIEURES.

41 . — Existence de six combinaisons des équations générales de la Dynamique, d'où sont éliminées les actions et réactions mutuelles.

Dans l'étude des mouvements intérieurs de chaque espèce de corps (fluides, solides, plastiques ou pulvérulents), nous suppléerons au défaut de données précises sur la constitution intime de ces corps et sur leurs actions moléculaires, par l'utilisation de quelques propriétés spéciales ou de quelques faits, toujours fort simples, que l'expérience nous indiquera comme caractéristiques de l'espèce considérée et qui seront, en quelque sorte, eu égard du moins à l'état actuel de nos connaissances, la défînilion même de la classe de corps ou de phénomènes les présentant. Mais de pareils faits ne sufiGraient pas pour mettre les problèmes en équation, sans deux grands principes généraux, d'une application continuelle, dits des quantités de mouvement et des moments, qui se déduisent des équations du mouvement, (6) [p. 25], auxquelles nous sommes parvenus. Ces principes, en les donnant d'abord pour notre système matériel complet ou indépendant de tout autre, sont exprimés en effet par six combinaisons, immédiatement intégrables, des 3n équations différentielles simultanées du second ordre que forment les relations (6) appliquées successivement aux n points du système.

Si hanièhb dont s'iirrnoDOit, dans la mécahioue, la notion

43. — Relations simples concenumt diaqae couple d'sotions élémentaires, et qui rendent possifale l'élimination dont il s'a^t.

Afin d'y arriver simplement, appelons, pour abréger, X, Y, Z les trois composantes, suivant les axes, de l'action -^ d'un point M' sur un autre M, action que nous d(?signerons aussi par F, tandis que r exprimera la distance de ces deux points; enfin, soient m, x,yiZ, pour M, et ni', x\y, ^ , pour M', leurs masses et leurs coordonnées à l'époque t.

La réaction inverse de F, ou action de M sur M', aura ses composantes évidemment égales et contraires à celles de F; en sorte que, si on les désigne par X', Y', Z', il viendra

De plus, l'action mutuelle des deux points s'exerçant suivant leur droite de jonction, il ; a proportionnalité de X, Y, Z aux cosinus directeurs de cette droite MM' ou à ses trois projections, ^ — ^-.y — yt -s' — 3, sur les axes; d'où il résulte que l'on peut écrire

(io6ù) (î'-i)X-{y-r)Z = o,

Et le rapprochement de ces trois relations, changées de signes, avec les précédentes (lo) donne en tout, sous une forme plus symétrique :

/ X-(-X' = o, Y-H Y' = o, Z + Z' = o; (iil J0-Z-iY)-i-(yZ'-^'Y') = o,

j (sX— 3^Z)-+-(«'X' — a^'Z') = o, ((:rY-^X)^-(^'Y'-yX'} = o.

i3- — Comment on est conduit à la notion des moments des forces.

Les trois premières de ces six égalités s'interprètent immédiatement et signifient que les composantes, suivant chaque axe en particulier, des actions mutuelles de deux points quelconques, ont leur somme algébrique nulle. Mais il reste à interpréter de même les trois dernières, où figurent, pour chaque force y'X' + Y ^ + Z^ ou F, les déterminants binômes ^Z — sY, sX — .rZ, «Y — ^X.

A cet effet, coasidérons, par exemple, la projection, <^XF+Y^, sur le plan des xy normal à l'axe des z, de la force F ou MF appliquée au poiut M {^g. i), projection qui a évidemment X et Y pour composantes suivant les x et les y, el qui fait avec une pa-

rallèle aux X posilifs, en tournant dans le sens des x positifs vers les^ positifs, un certain angle A (compris entre — uet h-tc), lié à X et à Y par les deus relations

(12) X = /X»-i-Y«cosA, Y = /X>-+-Y>sinA.

Soit, de plus, [1 La projection de M sur le même plan des xy, point de dépari de la droite ou force ^if ^ ^^X* + Y*, dont il vient d'être parié; et, ayant mené le rayon vecteur 0[ji == \/x^+y^ qui joint l'origine à ce point [i, appelons a l'angle (également compris entre — nei -i-iz) que fera ce rayon avec les x positifs, angle tel, de même, que

(13) 3- = A» -(- J-» cosa, y = i/x'+f'sma.

Le troisième binôme en question, xY — yX., deviendra de suite, par la substitution de ces valeurs de X, Y, x et y,

v/^ÎIjr^ /XÏTTî (sin A cos « - cos A sin a)

Sous sa dernière forme, il exprime l'aire du parallélogramme construit, dans le plan des xy, sur les deux droites 0[ji = \lx' + y^, [jiy ^ y'XM-Y^, c'est-à-dire, d'une part, sur le rayon vecteur </x' -i-y^ joignant l'origine au point [*, d'autre part, sur une parallèle 0<fi menée par l'origine à la force ^X" -t-\' et de mêmes sens

rOTIO!« DES MOHRNtS DES FORCES;

et grandeur qu'elle, parallèle dont l'angle avec ce rayon vecteur est bien évidemment A — a (à un multiple près de an). Cette aire se trouvera, d'ailleurs, prise ainsi avec le signe de sin(A. — a), c'est-à-dire positivement, quand la force [xtp^^/X'-l- Y' sera, par rapport au ra^on 0[ji joignant l'origine au point {jl, du côté des angles xO [t ^ a croissants, côté où arriverait le rajou vecteur 0[i en tournant à partir de sa position actuelle, de moins de [80°, dans le sens qui va desx positifs vers Ies^ positifs; el elle se trouvera prise négative ment dans le cas contraire. En d'autres termes, son signe est -f- ou — , suivant que les côtés 0[i et 0^1 du parallélogramme oiTrent même disposition relative que Ox et O^, ou dieposition inverse.

Une pareille aire xY — yli, dont la valeur absolue égale aussi le produit de la force ^).1>= ^X"-+- Y*, qui est un des côtés du parallélogramme, par la hauteur correspondante OP, dite bras de levier de la force, distance de l'origine ou de l'axe considéré des z à cette force, s'appelle le moment par rapport à /'aa:e en question des;, soit de cette force, soit de la force F^ ^X'-f- Y'-f-Z* qui l'a pour projection sur un plan normal à l'axe.

44. — Relation entre le moment d'une résnltajite et les moments

Comme X et Y j entrent linéairement, il est clair que la décomposition de la force proposée F en autant de forces que l'on voudra appliquées au même point M, et dont nous appellerons X,, Xi, X,, ..., Y,, Yj, Yj, ..., Z,, Zj, Z„ ... les composantes ayant pour sommes respectives X, Y, Z, donnera, pour ces diverses forces, des moments par rapport à l'axe considéré des s, arY, — ^X), j:Yj— j'X,, ..., dont la somme algébrique vaudra le moment même .rY — ylL de la force décomposée ou résultante F. Il en sera donc, dans la décomposition et dans la composition des forces appliquées à un même point, de leurs moraeats par rapport à un axe, comme de leurs composantes relatives à cet axe : aux compositions et décompositions géométriques des forces dans l'espace, par la loi du polygone des forces {p. 26), correspondront des compositions et des décompositions purement algébriques tant de leurs moments que de leurs composantes, par rapport à un axe quelconque.

B CBS HOHEHTS.

45. — Relations entre les momeots d'une force par rapport à trois axes coordonnés et la direction dn plan mené par l'origine suivant cette force.

Remarquons encore que ie parallélogramme Oji^ç, (même Jig. i) construit, dans le plan des xy^ sur les deux projections correspondantes du rayon vecteur 0M = ^:c"+^'+3", joignant l'origine au point M, et de la force MF— ^X' + Y*+ Z', est la projection du parallélogramme de l'espace, OMFF, , dont, nons appellerons OÏL l'aire, qui a pour côtés ce rayon OM et cette force MF, ou ce rayon et une droite OF, menée, à partir de l'origine, parallèlement à ta force avec même longueur qu'elle. Le moment, que nous désignerons par aiL^, de la force proposée F relativjsment à l'axe des 3, égale donc, en valeur absolue, la projection, sur le plan xOy, de ce parallélogramme 3K/ de l'espace ; et, si l'on appelle cosa, cosp, cosy les cosinus directeurs de la normale au propre plan de celui-ci OÏL, tirée provisoirement du côté qui fait un angle aigu avec les z positifs, on aura Sfij :=±3fL' cosy.

De plus, en considérant les deux plans menés suivant l'ase des z qui projettent ainsi sous des angles aigus, sur le plan des xy, les deux côtés du parallélogramme SK- de l'espace émanés de l'origine, savoir, d'une part, le rayon vecteur 0^^ ^x" -!-y*-|- ■s*,

d'autre part, la parallèle OF, à la force MF = /X.*4-Y»-|- Z», on verra que ces deux côtés se trouveront toujours disposés, par rapport à un observateur les regardant qui aurait ses pieds à l'origine et la tête suivant la normale dont il vient d'être parlé, de la même manière que le seront leurs deux projections sur le plan des xy, par rapport à un observateur ayant de même ses pieds à l'origine et sa tête du côté des z positifs. Il suffît donc, pour que le moment 31L^ ait le signe de !a projection 31L cosy, de prendre y ou aigu ou obtus, suivant que l'observateur normal au parallélogramme de l'espace voit le rayon vecteur OM et la parallèle OF, à ta force F, disposés respectivement comme le sont les deux axes positifs des x et des y pour un observateur identifié de même avec l'axe des z positifs, ou suivant qu'il les voit présenter la disposition inverse ; car, dans ce dernier cas, ils lui offriront, au contraire, la même disposition, s'il se place dans la direction normale

exactement opposée, en changeant de signes cosa, cos^, cosy et en rendant, par consé(]uent, f obtus.

Ainsi le signe de cosy sera celui du moment on.t, si l'on convient de tirer, à partir de l'origine, la normale ON au plan du parallélogramme .''IL de l'espace, d'un côté tel, que le rayon vecteur OM ^\/^-|-y"-t-3- et la parallèle 0F| à la force F soient disposés respectivement, par rapport à celte normale, ON, comme le sont par rapport à l'axe positif des z les deux axes des x et des y positifs. Il faudra, en d'autres termes, qu'un changement d'orientalion imprimé à l'ensemble du parallélogramme et de sa normale ON, de manière à amener la normale suivant les z positifs et le côté OM = \/x^ -\-y^ -H s^ du parallélogramme suivant les X positifs, amène le parallélogramme 3\L lui-même du côté des y positifs ; et il est d'ailleurs évident qu'alors une rotation de la même figure, OMFN, propre à amener la normale ON suivant les X positifs et le côté OM suivant les^ positifs, amènera le parallélogramme du côté des z positifs, ou encore, qu'une rotation propre à amener ON suivant les^ positifs et OM suivant les z positifs, amènera le parallélogramme du côté des.r positifs.

Grâce à ce choix dans la direction de ON, le moment xY — yli. de la force F = y/X*-t- Y'-t- Z" par rapport à l'axe des z. et, pour les mêmes raisons, ses moments jkZ — z\, zX — .rZ par rapport aux axes des x et des^, seront donc, en grandeur et en signe, les trois projections positives ou négatives OK cosa, ajLcos^, i'fLcosy, sur les plans coordonnés respectifs normaux à ces axes, du parallélogramme 3IL construit en prenant pour côtés contigus la force proposée et le rayon vecteur qui joint l'origine à son point d'application.

i&- — Construction d'tme force ayant, par rapport aux axes coordonnés, trois moments donnés à vclonté.

Il suit immédiatement de là qu'on peut toujours imaginer une force, de telle grandeur F qu'on voudra, ayant pour moments relatifs aux trois axes des x, y, - trois quantités données quelconques SKx, OJly, aHi) car, après avoir posé

an. = /âiïï^aitf^ncf ,

FORCK AYANT. PAR RAPPORT ADK AXES, TROIS HOMBKTS DONNÉS, 5-J

il suffira de porter cette force F à uaedistaDce de l'origine exprimée par ■=- 1 de manière qu'elle détermine avec le rayon vecteur joignant Torigine à son point d'application un parallélogramme d'aire Mj dans le plan, mené par l'origine, dont la normale aura pour cosinus directeurs, conformément aux convenlicms faites, les trois rapports

■ 3ÏL

Mais, s'il est permis de lui attribuer une grandeur arbitraire F, on ne pourra pas supposer tout à fait quelconques son orientation ou les rapports mutuels de ses trois composantes X, Y, Z, auxquelles sont proportionnels ses trois cosinus directeurs — '-^ — ■ Il faut, en effet, qu'elle puisse venir se placer sur le plan ainsi défini, et qu'elle vérifie par conséquent la condition de perpendicularité à la normale de celui-ci, obtenue en annulant la somme des trois produits deux à deux de leurs cosinus directeurs respectifs. Donc, quand les six quantités données X, Y, Z, StL^, ^y^ i^z satisferont à cette condition de perpendicularité

(i6) X3IL:r + ÏOn.y + ZJIL; =0,

mais seulement alors, il sera possible d'imaginer une force unique ayant, par rapport aux axes coordonnés, X, Y, Z pour composantes et SH-x, 3ILj-, 3H.5 pour moments. Cette condition était d'ailleurs, a priori, bien nécessaire, puisque, si OKj, OIL^-, 3llj sont les moments d'une force dont les composantes s'appellent X, Y, Z, on a

47. — Principes de ta conserration des quantités de moaTement et de leurs moments.

Cela posé, les équations (i i) [p. Sa] signifient que les actions exercées sur les divers points du système ont, par rapport à un axe coordonné quelconque, soit leurs composantes, soit leurs mo-

58 coNeEnvATioN des ouANirTEs de mouvement et de le ments, deux à deux de même valeur absolue, mais de signes coii' traires. Donc il suffira, pour élimiaer ces composantes et ces moments, d'ajouter ensemble les équations de mouvement, comme (6) [p. 2d], relatives aux n points du système, après les avoir multipliées par des facteurs propres à ne faire figurer dans le second membre que des composantes ou des moments comme celles ou ceux que contient chacune des relations (i i).

En substituant, pour plus de simplicité, m, x,y, ; à mp, Xp, yp, 3p, les équations (6) pourront s'écrire

*''* ""rfi"^^-^' '^^ii-^^' '"dTT-i^'

et les facteurs par lesquels il faudra ainsi les multiplier, respectivement, avant de les ajouter ensemble et à leurs analogues multipliées de même, seront évidemment

11 en résultera les six équations ou combinaisons cherchées

I 2i"^ do -"'

I ^ dfl

où les signes de sommation S s'étendent à tous les points M du système.

Or on reconnaît, par une dilférentiation' immédiate, qu'un binôme comme y -j^ — ^ "^ ^^^ '^ dérivée en ( d'un autre binôme, savoir ^y^ — z^; en sorte que les six équations(iS) peuvent évidemment s'écrire encore, si on les groupe trois par trois

DANS DU BTSTEHK

en deux formules multiples,

[ -'' V m '^(^■■>''') „ I dtZi'" dt ""■

\ d -^^ / ds dy dx ds dy dx\

( dtA* Y dt di dt dt dt ^ dt j

La première de celles-ci exprime que la quantité totale de mouvement, ^"î-yT' ''"2'"rfi'°"^"*rf/' P°^^^^^^ P^'' '^ système dans le sens d'un axe coordonné quelconque, a sa dérivée j- nulle, ou reste invariable pendant tout le mouvement.

Ainsi le principe de la conservation des quantités de r. ment, imaginé par Descartes (p. 19), est exact pourvu qu'on l'entende du mouvement projeté suivant un même aie pour tout le système, puis ajouté non en valeur absolue, mais algébriquement. Cette rectification est due à Hujgens. Et comme, d'autre part, la somme arithmétique totale du mouvement évalué par les demi-forces vives au lieu des simples produits des masses par les vitesses se conserve également d'une certaine manière (p. 21), on peut dire que la conceplion fondamentale de Descartes contenait en germe, moyennant deux rectifications différentes, les deux lois de la Mécanique qui se trouvent être les plus importantes, ou du moins les plus utiles dans les applications, lorsqu'elles deviennent celles des quantités de mouvement et du travail; ce que nous verrons bientôt.

Quant à la seconde équation multiple (19), si l'on y assimile la quantité de mouvement m V de chaque point à une force s' exerçant sur ce point dans la direction de la vitesse V el qui aurait évidemment mu, mv, mw pour composantes suivant les axes, on remarquera que les quantités sous le signe îi y expriment les trois moments correspondants d'une pareille force. C'est pourquoi l'on appelle ces quantités les moments des quantités de mouvement animant les divers points du système ; et la seconde équation multiple (19) signifie que les moments, relatifs à un axe fixe quelconque, des quantités de mouvement possédées par les divers points du système, ont leur somme totale invariable. Les deux formules {19) traduisent donc ce qu'on peut appeler les deux

6o CONSERVATION DO MOUVEMENT DU CENTRE DE ORATrTi!.

principes de la conservation des quantités de mouvement et de leurs moments.

Mais elles comportent une interprétation encore plus géométrique.

48- — Autre forme de ces deux principes ; et, d'abord, coDs^rratiou du mouvement du centre de gravit A.

Représentons-nous, dans l'espace, le point (idéal) mobile, dit centre de gravité du système, dont les coordonnées, que nous appellerons Ç, r,, i[, sont à chaque instant les moyennes arithmétiques des coordonnées de même nom des divers points matériels M, chacune de celles-ci comptant, dans la somme, pour autant que l'indique la masse m du point auquel elle appartient. On démontre aisément que ce point (Ç, il, X,), ainsi défini par les trois équations

est bien le même dans l'espace, quels que soient les axes choisis (' ). Or les formules (20), multipliées par Sm et différentiées

(■} Car, si X,, y,, «, sont les coordonnées, par rapport à d'autres aiies, itu point {,x,y, i) du système, et %„ 1),, C, les coordoonées correspondantes du point (I, T|r '^)i on sait que E, et x,, par exemple, s'exprimeront linéairement, en fonction (1< %• 'ti 1 ou de X, y, s, par des formules comme

ic, = aa; -h 6r + es + a, î, = aî + tii + cî + a, dans lesquelles a, b, c, a désignent quatre constantes. Or, en remplaçant \, ij, ;, dans cette eipression de \, par leurs valeurs (10), puis faisant passer a, b, c ECUS les signes de sommation £ et réduisant tous les termes du second membre au dénominateur commun Sm, il vient évidemment

c'est-à-dire, vu ta valeur a;, de l'ei pression ax + by + c^ -H a,

et l'on aurait de même

^' %m ^' Sm

Ainsi, le point <Ç, t|, () se trouve bien être, dans le nouveau système d'aies non moins que dans l'ancien, celui dont les coordonnées sont les moyennes de celles de même nom de tous les points matériels du système.

De là résulte, dans un solide invariable, la fiiité du centre de gravité par rapport i des axes coordonnes quelconques liés i ce corps.

ce qui signifie que les quantités totales de mouvement, possédées suivant les trois ases par le système, sont identiquement celles qui animent son centre de gravité, censé avoir comme masse toute la masse Sm du système qu'on s'y représenterait condensée. Ces trois quantités se conservant, la vitesse du centre de gravité a donc ses trois composantes invariables; et ce centre se meut en ligne droite avec sa vitesse initiale, dont les composantes sont, en vertu de (21), les moyennes de celles de même nom imprimées alors aus divers points el qu'on doit supposer données.