PRINCIPE GÉNÉRAL DEB QUANTITÉR DB MOUVEMENT

pour l'instant dl, de ces composantes, pourvu que l'on appelle impulsion d'une force le produit de celte force par un temps durant lequel elle agit. Le premier membre, multiplié de même par

de, sera rf\ m ^-^ — ^ rfX /n{u, f, tv), ou exprimera l'ac-

croisseraent, pendant l'instant dt, de la quantité totale de mouvement possédée par le système partiel suivant l'axe coordonoé en question. On pourra donc énoncer comme il suit cette ex tension, aux systèmes partiels, de la loi de conservation des quantités de mouvement propre aux systèmes complets ou sans relations extérieures :

L'accroissement algébrique, durant un instant infiniment petit dl, de la quantité totale de mouvement du système suivant un axe quelconque, égale la somme, multipliée par cet instant dt, des composantes, suivant le même axe, des forces extérieures appliquées au système, ou vaut, en d'autres termes, l'impulsion totale exercée pendant le même instant par ces forces extérieures, dans le sens du même axe.

Tel est le principe dit des quantités de mouvement. Enfin, introduisons dans les expressions

des quantités de mouvement possédées suivant les trois axes par le système partiel, les composantes — ^'J'' de la vitesse de son centre de gravité qui, multipliées par Sm, donnent précisément

X^/n ^^~~' <i'''ut''e part, observons que les produits, parSm,

des vitesses initiales de ce centre suivant les aies égalent les quantités correspondantes totales de mouvement î]m(u, v, w) possédées au début par le système. Et nous verrons alors le principe des quantités de mouvement signifier que le centre de gravité du système partiel se meut comme il le ferait si l'on y avait réuni toute la masse S»i de ce système, avec sa quantité de mouvement initiale, et si l'on y transportait, parallèlement à ellesmêmes, toutes les forces extérieures agissant sur ses diverses parties.

PRINCIPE DGB aires; IMPULSION E

S2- — Prfncips des aires pour un système partiel; Impulsion de rotation des forces.

Pour passer maintenant au principe des aires, ajoutons les équations (ij) [p. 58], multipliée» respectivement par o, — s, y, ou par 2,0, — X, ou par — y, x, o, acs équations de mouvement des autres points du système partiel multipliées par des facteurs analogues. Les seconds membres des trois résultats, sommes des moments, par rapport aux axes des x, des j^ ou des z, de toutes les forces agissant sur le système, se réduiront évidemment, par la destruction mutuelle de ceux des forces réciproques, aux moments des actions extérieures^ et, d'autre part, les premiers membres

i Zà, Y dix '■ dt^ }

ou

dtAà Ydt dtr

exprimeront les accroissements durant un instant infiniment petit, divisés par cet instant ou rapportés à l'unité de temps, des moments, relatifs aux mêmes axes, des quantités de mouvement animant le système partiel. Il viendra donc, au lieu de la loi de conservation des moments des quantités de mouvement qu'on aurait pour un système complet, le principe suivant, dit des moments: La somme algébrique des moments, par rapport à un axe quelconque, des quantités de mouvement animant les divers points d'un système, s'accroît dans l'unité de temps d'une quantité égale à la somme algébrique des moments des forces extérieures par rapport au même axe.

Le produit du moment d'une force, relatif à un axe quelconque, par un temps infiniment petit durant lequel agit cette force, peut être appelé, 1res naturellement, l'impulsion de rotation, pour ce temps, de la force autour de l'axe considéré, à cause des rapports existant (comme on le verra bîentdt), d'après le prin- B. — Leçoru syathétiquet. 5

66 COHHENT SI VOnitENT LES ËQtlATIONB DE HOOVBHRNT D'DN BOLIDE.

cîpe même des moments ou des aires, entre les moments des forces et les mouvements de rotalioD imprimés aux corps; et, par suite, la somme de tous tes produits pareils, pour les éléments dt composant un temps fini quelconque, peut être appelée de même Vimpulsion de rotation de la force pendant ce temps. Grâce à ces désignations, le principe des moments s'énoncera donc encore ainsi ; Le moment total, par rapport à un axe fixe quelconque, des quantités de mouvement d'un système, s'accroti sans cesse de l'impulsion correspondante de rotation des forces extérieures. On pourrait d'ailleurs, évidemment, substituer dans ces énoncés, au moment de la quantité de mouvement possédée par chaque point, le double produit de la masse de ce point par l'aire que son rayon vecteur émané de l'origine décrit, durant l'unité de temps, en projection sur unplan normalà l'axe considéré.

53. ~~ Application des deux principes à on solide rigide ; formation des équations d« mouvement d'un tel corps.

Supposons d'abord que le système partiel étudié soit un corps solide, assez peu déformable pour qu'on puisse attribuer, à chacun de ses points matériels, des coordonnées constantes Xi,y,, s,, par rapport à un système d'axes entraînés dans ses mouvements et se croisant, par esemple, à son centre de gravité. Alors les coordonnées X, y, z de ces mêmes points, relatives à notre système général d'axes axes, s'expriment, comme on sait, très simplement, au moyen des coordonnées invariables x,,yi, ^^, et des six fonctions de t qui caractériseront la situation, à chaque instant, des axes mobiles, savoir, les trois coordonnées ^, T), ^ de leur point aciuel d'intersection et trois angles (les angles d'Euler par exemple) définissant leur orientation actuelle. On aura, en effet,

Iy =i-H-i- bx,+ b'y,-i- b'si,

les neuf coefficients a, 6, c, a', 6', c', a", 6", «"étant des fonctions connues des trois angles dont il s'agit. Donc les six équations fournies par les principes des quantités de mouvement et des moments suffiront, si l'on donne les actions extérieures qui, seules, y parais-

s D'EHSKMBLB; TBANgLAttOHS Kl ROTATJOKS. 67

sent ('), pour déterminer à chaque instant les dérivées secondes, par rapport an temps, de ces six quantités variables, et aussi, par suite, celles de a, a', a", b, 6', ft", c, c', c", x^y, s, c'est-à-dire les

accélérations -~ — -■, qu'on n'aura plus, désormais, besoin de

demander aux équations individuelles de mouvement (17).

Autrement dit, les six équations ainsi formées tiendront complètement lieu, en vue de la détermination du mouvement, de toutes les équations (17) ; et les divers points matériels du corps n'y figureront que par leurs masses m et leurs coordonnées constantes x,, yt, 3], ou auront pour seul effet d'en modifier les coefficients. Ce n'est donc pas la forme de ces six équations, mais seulement la valeur de leurs coefficients, qui variera avec la figure du solide et la distribution de sa masse.

Si. — Translation et rotations du solide.

Les trois premières, fournies par le principe des quantités de mouvement, feront connaître, comme on vient de voir, le mouvement du centre de gravité, point qui sera ici invariable dans le corps, ou défini, par rapport aux axes mobiles, par des coordonnées constantes, comme celles des divers points dont elles sont' les moyennes. Il ne paraîtra évidemment, dans ces trois équations, aucun autre coefficient dépendant des divers points du corps que la masse totale Sm,

Les trois dernières, fournies par le principe des moments, beaucoup plus compliquées, et dans les coefficients desquelles les divers points matériels figureront à la fois par leurs masses m et par leurs coordonnées constantes x^^y^, s,, serviront donc uniquement à déterminer ce qu'on appelle les rotations du corps autour, de son centre de gravité, c'est-à-dire les changements d'orientation du système des axes mobiles, changements liés aux variations des trois angles dont dépend la direction de ces axes.

Dans le cas très simple oii, les neuf coefficients a, b, c, a', b\ d , a", b", (f se trouvant constants, ces rotations seraient nulles, tous les points du corps décriraient évidemment, durantcbaquein-

(<} A l'exclusion des forces intérieures ou réactions mutuelles des diverses parties du corps.