Comment on est conduit i la notion de couple

Si, au contraire, la condition

.'V-0Tl^H-J3K.^-i-i-31l,j =

n'est pas vérifiée, on pourra toujours imaginer : i" une force ayant pour composantes les trois premières sommes ^, ?, % et passant par l'origine des coordonnées, ou à moments OP.^, OIL^, aiLjj nuls, force pour laquelle les six quantités caractéristiques seront par conséquent

a° d'autre part, une force F ayant les trois moments totaux donnés 3^x, 3[i/y, dlLi, et à laquelle on en adjoindra une autre Fi égale, mais de sens contraire, passant par l'origine ou à moments nuls, pour que l'ensemble de ces deux forces, tout en n'ajant pas de moments différents de ceux de la première seule, ne donne suivant les trois ases que des composantes totales nulles.

Alors les deux forces de sens contraire F et Ft considérées en second lieu ont évidemment, pour leurs six quantités caractéristiques totales,

o, o, o, OILi, 31Lj, ails ;

leur ensemble s'appelle, comme on sait, un couple. On voit qu'il est propre à exprimer trois moments totaux arbitraires M.^, OTL-j-, OlLï, sans composantes totales, tout comme l'est une simple force appliquée à l'origine pour exprimer trois composantes totales arbitraires S!-, g*, %, sans moments; et que, enfin, le système entier formé par cette force et le couple équivaut au système quelconque donné d'actions, défini au moyen des six sommes %, ^, £>, SILf, 3iLf, 3SVg de composantes et de moments.

AU POINT DK VUE DGB HODVBIdNTB D'ENABHBLE IHPUHÉS. -JI

Un parallélogramme construit sur les deux forces F et F| ou — F comme côtés opposés équivaut évidemment à celui que détermine, dans le même plan, la première d'entre elles F avec une droite parallèle et de même sens menée par l'origine, et que nous avons, plus haut (p. 55), appelé 91L.

Le parallélogramme construit sur les deux forces F et — F aura donc, lui aussi, pour projections respectives sur les plans coordonnés desyz, des zx et des xy, les moments totaux donnés 3fLx, ^Itj., 311,. Ainsi, les trois moments du couple par rapport aux axes seront simplement les projections du parallélogramme SSL construit sur ses deux forces F et — F ; d'où il suit que, son effet dépendant uniquement de ces trois moments 3\l„ SÎLj-, dlL,, sa valeur dynamique se trouvera parfaitement définie au moyen de l'aire 31b du parallélogramme et des trois cosinus directeurs de sa normale. De là le nom de moment du couple, donné à l'aire Clique comprennent entre elles les deux forces F, — F et qui mesure ainsi son importance : ce moment égale, comme on voit, le produit de l'une des forces par leur distance perpendiculaire.

Remarquons, «n terminant, que, l'une, — F, des deux forces du couple peut être composée, par la règle du polygone (ou plutôt du parallélogramme) des forces, avec celle dont les six quantités caractéristiques sont X., ^, &, o, o, O, e( qu'il reste alors, pour représenter le système donné quelconque de forces extérieures, non plus une force et un couple, mais bien deux forces, dont l'une passe même par l'origine qui est un point arbitraire. Nous retombons ainsi sur un théorème connu de la Statique élémentaire,

S9. — Équations d'équilibre du solide.

Avant de quitter ce sujet, observons encore que le repos sera possible, car les six équations du mouvement se trouveront satisfaites par les suppositions — - ' ^' — - ^ o, si l'on a tout à la fois, avec des vitesses initiales nulles,

Donc, vu les expressions SX, ÏY, SZ, ^yZ — zY), ..., deSt, 7, 3s, 3fli, ■■■, les équations caractéristiques de l'équilibre d'un

:S DES QUANTITÉS DB HODV. ET DES HOH. PEHSfETTRO:!!

solide seront, comme on sait,

1 2X = o, 2Y = o, SZ = o,

formules où les signes de sommatiou S s'élendeat à toutes les forces extérieures appliquées au solide.

60. — Sot l'application des principes des quantités de mouvement et des moments à l'étude de l'état moyen local d'une particole matérielle quelconque.

Eq résumé, comment les deux principes des quantités de mouvement et des moments, par leur combinaison avec l'hypothèse de l'ittdéformabilité du corps, rendent-ils abordable l'étude du mouvement d'ensemble d'un solide? Ce n'est pas seulement en dispensant d'y considérer la multitude des réantions intérieures mutuelles des divers points du corps, c'est aussi parce qu'ils relèguent et fusionnent ensemble, dans desimpies coefficients constants, les rôles de ces innombrables points matériels où l'on se serait autrement perdu, pour appeler l'attention, exclusivement, sur les déplacements du centre de gravité, qui constituent la translalion du corps, et sur les rotations autour de ce centre, qui s'ajoutent, se composent avec la translation.

Or ces principes sont encore propres à rendre les mêmes services dans la question ta plus essentielle de la Mécanique physique, savoir, l'étude du mouvement moyen d'une particule très petite en tous sens, mais d'ailleurs quelconque, faisant partie d'un corps ou d'un milieu matériel.

Mais délinissons d'abord ce que nous entendrons par un tel moin'emeKt moyen, et montrons pourquoi il sera nécessaire de le considérer.

Nos connaissances du monde extérieur, si bornées qu'elles soient, nous permettent d'entrevoir l'extrême complication des groupements de points, dans les moindres parcelles visibles de matière, ainsi que l'infinie variété de ces imperceptibles quoique très vifs mouvements de détail dont nos nerfs y ressentent, en chaleur, le sourd retentissement, comme, au bord de la mer (suivant une comparaison célèbre de Leibnitz), notre ouïe perçoit sous la forme d'un bruit confus les innombrables chocs des Ûots. Donc

E MOUVEKENI DE L4 KATIKBE EH CHAQtK ENDROIT. 73

;uff!5eot de reste pour qous convaÎDcre de l'impossibilité où nous serions de voir rien de clair dans les mouvements intérieurs d'un corps solide -ou fluide, si nos formules devaient exprimer, pour toute son étendue, l'agitation incessante des groupes d'atomes constituant ses molécules chimiques, ou même seulement des groupes de molécules chimiques, diversement conformés et orientés, qui s'y trouvent répandus partout. Que seraient, en effet, des fonctions qui devraient, presque à tout instant et dans tous les sens, présenter des milliards d'ondulations opposées? Mais heureusement l'expérience prouve qu'il règne, dans chaque petite région du corps, un mouvement général, ayant sa vitesse variable graduellement d'une région à l'autre et d'un instant à l'autre. Ce mouvement est seul mesurable; car, seul, il reste assez longtemps de même sens pour produire des déplacements sensibles, que puissent apprécier avec quelque détail nos instruments et nos organes. Les inégalités qui l'affectent sont aussi de sens divers d'un point à l'autre, et assez faibles ; sans quoi elles produiraient la dislocation de la particule.

C'est, dès lors, ce mouvement m.oyen local seul visible, se dégageant, en chaque endroit, de l'agitation confuse qui y règne, que nous chercherons à nous représenter d'une manière précise. L'hypothèse même de son existence, dans les conditions énoncées, sera ici le fait très simple qui nous dispensera d'une connaissance détaillée des actions moléculaires contribuant à le produire et des groupes de points qu'il affecte.

til. — De la vitesse moyenne locale.

La vitesse qui l'exprimera en chaque endroit et à chaque instant sera ce que nous appellerons la vitesse moyenne locale : elle se trouvera définie analytlquement au moyen de ses trois composantes suivant les axes, formées en prenant les moyennes des composantes de mêmes sens d'un grand nombre de vitesses successives ou simultanées, savoir celles qu'ont, pendant un petit temps sensible, les divers points composant la particule.

D'ailleurs, malgré cette intervention de composantes suivant trois axes rectangulaires des X, y, s, il est aisé de s'assurer qu'elle n'en sera pas moins indépendante de l'orientation de ceux-ci, soit pour la grandeur, soit pour la direction. Car si, par exemple, u,

74 MOUTEMEKT MOTEN LOCAL ! VITISBES ET ACCÏLÉIUTIONB HOTBMMEa LOCALES.

p, w désignent les composantes, suivant les x, y, z, d'une des

vitesses vraies V dont on prend la moyenne, et a, b, c Les c des angles d'un nouvel axe quelconque avec les x, y, s, la composante de V suivant ce nouvel axe égalera, comme on sait, au + èf -+- cw. Or, celte expression étant linéaire en u, v, w et sans terme constant, on en déduit de suite, pour composante, suivant le nouvel axe, de la vitesse moyenne qu'il s'agit de former, la somme des produits respectifs de a, b, c parles valeurs moyennes de u, c, fV, c'est-à-dire par les trois composantes de ta vitesse du mouvement moyen local, telle qu'elle est déGnie dans le système des coordonnées 3:,yf z. Et l'on voit que la somme ainsi trouvée égale justement la composante, suivant le nouvel axe, de cette vitesse moyenne obtenue avec l'aide des axes primitifs. Donc celle-ci serait encore la même si on la formait en se servant de la composante moyenne des vitesses vraies suivant le nouvel axe et, pareillement, des composantes analogues suivant deux autres propres à constituer avec lui un système trirectangle d'une orientation arbitraire.