SEPTIÈME LEÇON

IDËES GENERALES SDR LES PRESSIONS.

6fl. — Déflnitioii d'an élémeiit pl&n et de la preBiion qui s'y exerce.

Les considérations prdcédentes nous conduisent à faire, pour toute face plane ou sensiblement plane d'un élément de volume, ia somme des composantes, suivant un même axe, des actions exercées, à des distances imperceptibles et à travers cette face, par les points matériels qui sont d'un de ses côtes, savoir, à l'extérieur du volume, sur ceux qui sont de l'autre, ou à l'intérieur. Une pareille surface, peu étendue en tout sens, prend le nom d'élément superficiei ou d'élément plan. Sur toutes les très petites parties similaires juxtaposées en lesquelles elle est décomposable, parties presque invisibles ou même absolument invisibles et en nombre fort grand, mais de dimensions incomparablement supé* rieures à la distance de deux molécules contiguës, l'étal moyen local de la matière est, en général, sensiblement le même; autrement dit, les conditions physiques y sont pareilles. Donc les trois sommes de composantes, suivant les axes, des actions moléculaires éprouvées à travers chacune d'elles par la matière comprise sur un de leurs cdtés, actions existant entre couples de points dont la droite de jonction croise cette partie, se trouveront aussi pareilles pour toutes. Nous les représenterons par une force unique, dont elles seraient les composantes, et que nous supposerons appliquée en un point quelconque de la partie considérée de l'élément plan. Celle force unique fictive s'appellera \a pression exercée sur la partie correspondante de surface.

Elle sera évidemment propre à remplacer, dans les calculs de quantités de mouvements, les actions moléculaires individuelles

CB UO'ON APPELLE PREB8I0N TOTALE ET P. FAR OSITË D'aIHG, SUD ttN ËLâHBNT PLAN. 7g

qu'elle résume. El elle les remplacera aussi très bien dans les calculs de moments, même quand les moments seront pris par rapport aux axes les plus rapprochés possibles de l'élément plan ; car, en transportant en un seul point de la partie considérée de celui-ci toutes les actions moléculaires exercées suivant des droites qui ta traversent, on n'a modifié les coordonnées x,y, z de leurs points d'application et, par suite, leurs bras de levier, que de quantités négligeables, même comparativement aux dimensions presque imperceptibles de l'élément plan.

Enfin on appellera ^/-esiion totale exercée sur l'élément superficiel donné, une force unique, valantla somme de toutes ces petites forces égales relatives aux diverses parties similaires de l'élément, dirigée, en outre, dans le même sens qu'elles, et appliquée au centre de gravité de l'élément, c'est-à-dire au point dont les coordonnées sont les moyennes des coordonnées de même nom de toutes ses parties. Cette pression totale sera encore propre, tant au point de vue des moments qu'à celui des quantités de mouvement, à représenter toutes les pressions élémentaires entrant dans sa composition. £n efiet, si n est le nombre des pressions élémentaires égales dont elle constitue la somme, que X, Y, Z désignent les trois composantes de l'une quelconque d'entre elles, et œ, y, z les coordonnées de son point d'application, le moment de celte pression partielle relatif, par exemple, à l'axe des 2 sera ;r Y — >'X; et l'on aura pour la somme des n moments analogues

ce qui est bien l'expression du moment correspondant de la pression toule, dont les composantes sont nX, nY, nZ et dont le point d'application a les trois coordonnées moyennes- ^x, - Sy,

67. — Ce qu'on entend par une pression rapportée i l'unité d'aire.

La pression totale étant simplement proportionnelle à l'aire de l'élément quand on conçoit celui-ci plus ou moins étendu dans son plan autour d'un point donné, il suffira de la construire, à partir de ce point, pour le cas d'une surface égale à l'unité, censée

8o TRACT. KT PBBS. PROPIHa. DITE» : LEURS COMPOSANT. NORMALE ET lANOENTIKLlIS.

tout entière soumise aux conditions qui régnent à l'endroit donl il s'agit. Alors on aura ce qu'on appelle anepression rapportée à l'unité de sur/ace, ou, plus précisément, ia pression exercée sur Vanité d'aire de l'élément plan considéré d'abord, dont le contour devient ainsi îadéterminé et dont l'orientation seule reste, par conséquent, définie, à l'endroit où l'on doit le mener. Cette orientation s'exprime analytiquement au moj'en des trois cosinus directeurs de la normale à l'élément, tirée vers l'extérieur, c'està-dire du côté oij est la matière exerçant les actions moléculaires qu'il s'agit de totaliser.

08. — Cas où la pression est, en réalité, une traction, et cas où elle est une pression proprement dite ; ses oomposantos normale et tangentiellea.

La pression que supporte un élément plan aura, par suite, tout comme les actions élémentaires qui la composent, sa projection sur la normale à l'élément plan/»o«aVe quand elle se trouvera dirigée vers le dehors, c'est-à-dire du côté de la matière l'exerçant; cas où les attractions intermoléculaires, qui sont justement les actions élémentaires réputées positives, y surpasseront les répulsions. Or il est clair que, dans ce cas où les attractions y dominent, ta résultante considérée mérite plutôt le nom de tension, ou celui de traction, que celui dépression, qui, à proprement parler, lui convient seulement quand les répulsions y ont le principal rôle, c'està-dire quand sa composante considérée suivant la normale est n^ gative.

Mais on a eu, pour lui attribuer de préférence la dénomination générique de pression, la raison d'une bien plus grande fréquence du cas où elle se trouve négative. Elle ne devient même jamais positive dans certains corps, les fluides non visqueux, non plus qu'entre deux solides en contact (p. 48), ni, par conséquent, dans les masses pulvérulentes formées par la juxtaposition d'un grand nombre de petits solides.

Il est clair que la pression ou la traction comprendra, en général, outre sa composante normale (négative ou positive), dont il vient d'être parlé et qui s'exerce suivant la normale à l'élément plan, une composante tangentielle, c'est-à-dire rasant l'élément plan, et décomposable elle-même en deux composantes tangen-

tielles, suivant deux droites reclangulaires (juelcoDques de l'élément, émanées de son centre de gravité.

69. — Les pressions sont des forces accessibles à nos mesures et finies par unité d'aire.

Si les actions moléculaires individuelles échappent à nos mesures, les pressions ou tractions, qui en constituent des sommes prises, comme l'on voit, de certaines manières, s'évaluent aisément en kilogrammes; car ce sont elles qui, dans les corps terrestres en équilibre autour de nous, neutralisent la pesanteur. Il suffit, par exemple, de suspendre un poids à un fil vertical, pour que la tension ou traction produite, à travers une quelconque des sections horizontales de ce fil, par sa partie située au-dessus sur celle qui est au-dessous, fasse équilibre aux autres actions extérieures s'eierçant sur l'ensemble de cette dernière partie et du corps, c'est-à-dire à leur poids total : elle lui est donc égale. Ce fait très simple prouve que tes pressions sontjinies et généralement sensibles sur une aire finie, c'eU-k-dire finies par unité d'aire.

70. — Neutralisation très approchée des pressions et neutralisation analogue de leurs moments, sur un élément de volume.

Il importe d'observer que, dans le calcul, au moyen du principe des quantités de mouvement, de la dérivée par rapport au temps ( de la quantité totale de mouvement possédée par un élément de volume suivant un quelconque des axes, cette dérivée, produit de l'accélération inovenne locale correspondante

toujours finie, par la masse S/« de l'élément de volume, sera numériquement du troisième ordre de petitesse, comme le volume de cet élément auquel la masse Sm est (toutes choses égales d'ailleurs) proportionnelle. Or, de même, le poids de l'élément, produit de S m par la gravité ou pesanteur^, sera du troisième ordre. Il faudra donc que l'excédent du premier de ces deux produits sur le second, c'est-à-dire, d'après le principe des quantités de mouvement, la somme algébrique des pressions exercées, suivant B. — Leçons synlkéiiques. 6

82 OUASI-NEUTRALIS. DE» PRESSIONS ET DE LEL'ItS MON. SUR UN ÉLÉMENT DE VOLUHE-

l'ase considéré des j-, ou desv, ou des s, sur l'élément de volume, à travers toutes ses faces, soît également du troisième ordre, quoique ces faces et, par conséquent, les pressions individuellement éprouvées par elles, soient du second. Donc, les pressions supportées par les diverses faces d'un élément de volume se neutralisent dans le sens de chaque axe, avec une erreur négligeable comparativement à leurs valeurs.

On peut en dire autant de leurs moments, même quand on fait passer les ases tout près de l'élément de volume ou à son intérieur, de manière à n'avoir pour tous ses points que des coordonnées x. y, z de l'ordre de ses dimensions. Alors les dérivées en (, comme >'m(^-j^ — y -j-ï)' ^^^ moments des quantités de mouvement, sont évidemment de l'ordre des produits de Sm par ces coordonnées, c'est-à-dire du quatrième ordre, ainsi que les moments du poids de l'élément; tandis que les moments des pressions subies par les diverses faces sont, en général, de l'ordre du produit de ces p^e:^sio^s par les coordonnées, c'csl-à-dire seulement du troisième. Ainsi, les moments des pressions par rapport à chaque axe se neutralisent à eux seuls, sur toute particule, sauf des fractions négligeables de leurs valeurs.