Des forces actives dites d'inertie

DaQS les mouvements volontaires où nous nous sentons cause d'une modification de vitesse, il se produit en nous, corrélativement à l'état plus ou moins accusé de contraction de nos muscles, une double sensation, comprenant, d'une part, celle de l'effort exercé ou actif, en rapport avec le mouvement imprimé que nous jugeons être son effet, et, d'autre part, celle de l'effort passif ou subi, c'est-à-dire d'une résistance éprouvée, en rapport avec la quantité équivalente de mouvement détruite sans cesse dans nos organes au fur et à mesure que nous l'y faisons naître. Or nous attribuons d'instinci ce second effort, comme à sa cause, à une propriété qu'aurait la matière de s'opposer à sa mise en mouvement, puis aux modifications de sa vitesse acquise. Et nous le regardons comme s'eserçantnon seulement sur nous, mais d'abord sur ce corps même, d'où il nous serait transmis.

La raison en est, probablement, que cette idée de réaction ou de résistance nous sera venue à la suite d'observations dans lesquelles, par esemple, nous produisions un équilibre en appliquant nos deux mains à un même objet, dans deux directions opposées, de manière à fournir nous-même tout à la fois, consciemment, l'action et la réaction. Elle aurait pu nous être suggérée aussi par des phénomènes d'équilibre dus au concours, sinon plutôt au conllit, de notre propre effort et de celui d'autres personnes jugées par nous s'y opposer; cas où c'était encore sur un même corps que nous voyions se combattre l'action et la réaction. Et notre penchant à généraliser les résultats de l'observation nous aura dès lors fait regarder tout effort employé à mouvoir un corps comme suscitant inévitablement en lui une force résistante égale, éprouvée d'abord par lui-même et se transmettant de là à l'organe ou au corps moteur.

Cette résistance, dont l'efTel se constate sur l'organe ou le corps moteur, auquel seul, par ronséquent, on doit la dire appliquée, mais que nous siip/iosons instinctivement s'exercer d'aOord sur le corps ma lui-même, a été appelée ia force d'inertie de ce dei^ nier corps, parce qu'elle est, à chaque instant, de sens contraire à la direction de son mouvement nouveau, et qu'elle semble, en particulier, s'opposer, comme une sorte de paresse, à la cessation de son repos primitif.

Par suite, pour chaque point matériel (ayant des coordonnées appelées x,y, z) d'un système quelconque, la force totale d'inertie, censée appliquée de la sorte à ce point lui-même, sera la résultante de toutes les réactions qui en émanent, égales et contraires aux actions exercées sur lui. Or, celles-ci ont pour résultante le produit de la masse m du point par son accélération totale, ou pour sommes de leurs composantes suivant les axes les trois termes

m '• ' --■ Donc, les composantes égales et contraires de la force

d mertie seront — m-y-r, — ni-,-. — m—r-r> suivant les trois dt^ di^ di'

axes respectifs des x, y, z. Klles définissent entièrement, pour le

géomètre, cette force fictive, qu'une tendance naturelle nous porte

à voir appliquée au point même de masse m comme la cause ou

la source des réactions qu'il exerce. Aussi appelle-t-on inerties

du point suivant les axes les trois quantités — m — -- lip- ■■ ■

81 . — Leur emploi pour rattacher la Dynamique à la Statique et pour unifier le langage.

La considération de cette force fictive a été utilisée par d'Alembert et ensuite par la plupart des mécaniciens, pour ramener, d'une certaine manière, les problèmes de mouvement à des problèmes d'équibbre, ou la Dynamique à la Statique. En etTel, la force d'inertie d'un point matériel, si elle y existait réellement, ou qu'on pût ainsi composer en une résultante toutes les réactions du point, dont elle est la soxame fictive, se trouverait exactement égale et opposée à la résultante des vraies actions exercées sur le point et ferait, par conséquent, équilibre à celles-ci.

On le voit, du reste, de suite, en écrivant les équations (17)

* DYNAMIQUE A LA STATCQUE.

[p. 58] de mouvement d'un po!nl quelconque sous la forme

rfï»

hS(X, Y,Z) .= 0,

qui iadique la neutralisa lion mutuelle, suivant chaque axe, de la force d'inertie et des actions 2X, SY, 2Z appliquées effectivement au point dont il s'agit. IL suflîrait donc que les vitesses actuelles du point fussent nulles, et que /es forces d'inertie, cessant d'être purement fictives, devinssent réelles, pour que le système matériel proposé conservât sa conflguralion et même sa situation dans l'espace.

On appelle, à proprement parler, équilibre dynamique l'équilibre instantané qui existe entre forces s'exerçant sur un système en mouvement, quand celles-ci n'y font naître actuellement aucune accélération ; en sorte que l'annulation des vitesses présentes manque seule (la persistance des mêmes actions étant supposée) pour le repos du système. Mais cette expression a été étendue à l'équilibre purement fictif que l'on imagine à chaque instant exister entre les forces d'inertie et les forces effeclives (c'està-dire réelles, du moins quant à leurs efiets). Ainsi, Véquilibre dynamique est censé coexister non seulement avec le mouvement, mais même avec des mouvements variés quelconques. Il ne constitue, au fond, qu'une certaine manière de rattacher la Dynamique à la Statique.

La considération des forces d'inertie permet, déjà à ce point de vue, d'unifier plus complètement le langage de la Mécanique. Et elle le permet encore à d'autres égards. Par exemple, on pourra évidemment regarder les diminutions des quantités de mouvement, d'un instant à l'autre, comme étant (p. 64) les impulsions des forces d'inertie, les diminutions analogues des moments de ces quantités de mouvement comme en étant (p. 65) les impulsions de rotation; et, de même, les diminutions des demiforces vives comme constituant les travaux des forces d'inertie, conformément à la notion du travail qui sera exposée dans la prochaine Leçon, Alors les principes des quantités de mouvement, des moments, de l'énerçie, admettront des énoncés plus homogènes et plus rapprochés de ceux des théorèmes de Statique; car ils reviendront à dire que la somme algébrique soit des impul-

94 UTILITÉ DES FOBCEB d'iMEIITIE, DANS L'ÉTUDE D'

sions des forces non réciproques (tani extérieures que d'inertie) exercées suivant un axe quelconque, soit de leurs impulsions de rotation relatives à un axe quelconque, soit de leurs travaux joints à ceux des forces réciproques, reste sans cesse égale à zéro.

82. — Force centrïfu^ dans un mouvement de rotation uniforme.

C'est surtout quand un système matériel, supposé sans relations extérieures, affecte une conliguration invariable, dont dépendent les actions mutuelles de ses points, el se trouve animé d'une simple rotation uniforme connue autour d'un axe fixe, que la considération des forces d'inertie présente quelque utilité; car elle permet bien réellement de se le figurer en repos el de l'examiner pour ainsi dire a l'aise, en le soustrayant au mouvement qui dérobait sans cesse à la vue et à l'attention ses diverses parties.

Dans ce cas, chaque point, qu'anime une vitesse V égale au produit de sa distance R à l'axe par la vitesse angulaire donnée to (vitesse commune des points dont la distance à l'axe est i), a pour accélération totale son accélération centripète

dirigée vers l'axe suivant le rayon de courbure R de sa trajectoire circulaire. Donc la force d'inertie — m«*R, appelée alors force centrifuge, a sa direction opposée au rayon R el non moins invariable dans le système que l'est sa grandeur absolue moi^R.

Comme l'introduction fictive de celte force établit l'équilibre avec les actions intérieures exercées sur chaque point, la forme du système et les réactions mutuelles de ses diverses parties ne diffèrent pas de celles qu'on y observerait à l'état d'immobilité si, en effet, de pareilles forces extérieures mw^R s'y trouvaient partout appliquées à l'opposite de l'axe donné de rotation. Les forces centrifuges sont donc, pour un système animé d'un mouvement uniforme de rotation et parvenu à une forme constante, des forces qui, si l'on anéantissait la rotation donnée, en tiendraient lieu, c'est-à-dire conserveraient dans le système, réduit au repos,

la configuration et les actions intérieures mutuelles qu'y fait naître l'influence de celte rotation.

Ainsi le mouvement ne produit pas des forces centrifuges, mais il produit les effets qu'auraient celles-ci sur le corps en repos; et l'on peut dire que tes forces centrifuges sont l'équivalent statique de la rotation.

83. — Forces centrifuges et inerties tangentielles dans des mouvements quelconques.

Par extension, on appellera force centrifuge d'un point, dans un mouvement quelconque, la composante de la force d'inertie de ce point, suivani le prolongement du rayon de courbure R de sa trajectoire. On voit qu'elle aura pour valeur absolue m-^j c'està-dire le produit de la niasse du point par son accélération centripète -^< quotient du carré de sa vitesse par sa distance R au centre autour duquel il tourne actuellement. Quant à l'autre composante, — m —7-, de la force d'inertie, composante opposée en direction (quand elle est négative) à la vitesse V et tangente à la trajectoire, on pourrait l'appeler l'inertie tangentielle dupoint.