NEUVIÈME LEÇON

PRINCIPE DES FORCES VIVES POUR UN SYSTÈME PARTIEL. TRAVAIL DES FORCES- - ÉNERGIE INTERNE.

84. — Extension du principe des forces vives an cas d'un système partiel-

De même que nous avons éleiidu les principes des quantités de mouvement el des moments à des sjstèmes partiels, c'est-à-dire à des systèmes sur lesquels s'exercent certaines actions extérieures en outre des actions inicrieures égales et opposées deux à deux, de même aussi il y a Heu de clierclier ce que devient, pour un tel système partiel, le principe des Corces vives, c'est-à-dire la loi fondamentale de Ja conservation des forces vives ou de l'énergie.

Souvenons-nous, dans ce but, que nous avons, de la formule exprimant le principe des forces vives pour le système complet auquel appartient notre système partiel, déduit les équations de mouvement des divers points de ce dernier,

(24) m'^'-=ZX, «^ =SY. m^ = ZZ,

^ ^' di ' dt dt '

en la différentiant par rapport à t, groupant ensemble tous les termes du résultat qui contenaient en facteur la même composante f/, v ou IV de vitesse, et annulant enfin le coefficient total de cette composante. Donc, àpartir des équations ainsi obtenues (24), on parviendra au principe que l'on cherche (généralisé de celui de la conservation des forces vives), en suivant la marche inverse, c'est-à-dire en multipliant toutes les équations, comme {24), relatives aux divers points du système partiel, par les composantes correspondantes u, v ou w de vitesse, et puis faisant la somme. Or cela revient évidemment, sauf l'introduclion du facteur infini-

COMMENT 9'lNIROBl'IT, EN MÉCASIQUE, l* NOTION DU TRAVAIL DEH FOKCES. 97

menl petit dt, à multiplier les équatioas {a4) par les chemins udt^ dx, vdt^ dy, wdt^ dz, parcourus suivant les axes durant UD instant dt, puis à ajouter les résultats analogues d'abord pour un seul point du système parlîet, et ensuite pour tous.

Dans le premier membre , chaque expression de la forme m{udu + cdv-\-wdw) sera la différentielle, d (— — j, de la demi-force vive, — (w*+ c^-H «"*) ou — V*, d'un des points : la somme de toutes les expressions pareilles, dy^— — > représentera par suite l'accroissement, pendant l'instant dC, de la demi-force vive totale ou énergie actuelle du système.

Quant au second membre obtenu, valeur de cette demi-force vive acquise, il se composera d'autant de termes triples qu'il existera de forces F ^ yTi-^-t- Y*-i-Z' agissant sur le système partiel; et chacun d'eux aura la forme X.dx-i-Y dy -\-7.dz ou sera la somme des produits des trois composantes de la force considérée par les composantes analogues du déplacement de son point d'application durant l'instant dt.

8S. — Travail (on apport de demi-force vive) des forces.

Or appelons ds ce déplacement, élément \/dx^ ■+■ dy^ -\- dz* de trajectoire parcouru par le point d'application durant le temps dt. Les cosinus directeurs de ds seront respectivement ^^ — —^ , ceux de la force r, ^^ — ^ — ; et I angle, que j appellerai a, de la force F avec l'élémeni ds du chemin décrit, aura, comme on sait, pour cosinus, la somme des produits deux à deux des cosinus directeurs précédents, c'est-à-dire le rapport

X (fa + Y rfr + Z rf^ Frf*

Ainsi , l'expression li.dx + ^ dy -{-tdz deviendra simplement F(/scosa, ou le produit soit du chemin parcouru ds parla projection Fcosa de la force sur ce chemin, soit de la force F par la projection t^cosx, sur elle, du chemin ds parcouru. Tel sera donc Vapport de demi-force vive dû à la force F, durant l'instant dt, au profit de tout système partiel comprenant son point d'applica- B. — Leçom tynthétique». 7

tiûR, c'esl-à-dire au profil de ce point d'applicatioQ lui-méine, auquel le système se réduil dans le cas particulier le plus simple ; et il en résultera, par unité de temps, l'apport

..rf* .

Cette demi-force vive ou énergie actuelle, ainsi produite par une force donnée F, el qui, pour un temps fini quelconque fdl, vaudra l'intégrale /Fcosa(/sou/(FVcosa)(/r, s'appelle le travail de la force,

86. — Composition et dépomposition algébriques du travail, dans les compositions et décompositions géométriques des forces.

Son expression X.dx + Y dy -^Z dz, pour un instant di, étant linéaire par rapport à X, Y, Z, sa valeur ne sera nullement altérée par une décomposition géométrique quelconque de la force F en forces partielles, dont les composantes suivant les axes, que nous appellerons X,, Y,, Z, pour l'une, Xg, Yg, Z, pour une deuiiième, Xj, Y}, Zj pour une troisième, etc., auront toujours les trois sommes respectives X, Y, Z. En d'autres termes, les Iravaux simultanés des forces partielles, savoir

X, (ir -H Y, rf/ -t- Zi dz, Xtdx-i-Yjdy-hZtds, . . . ,

donneront, si on les ajoute algébriquement, le travail correspondant

(X,H-X,-t-...)da:-i-(Y,-i-Y,-H...)rfr-(-(Zi-HZ,-(-...)rfi OU ,

X dj -H Y rfj + z rf3

de leur résultante F, On peut donc grouper à volonté, en les décomposant et recomposant, toutes les forces appliquées à un même point, sans changer leur travail total.

C'est une propriété du travail, analogue à celles que présentent, relativement à leurs composition et décomposition algébriques, les projections el les moments des forces. Mais, tandis que, pour pouvoir composer ou décomposer par voie de simple addilion ou soustraction algébrique ces projections et ces moments, il faut les rendre en quelque sorte homogènes, en les prenant par rapport

TRAVAIL DE l'ACTIOK MUTUELLB D'VN COUPLE DE POINTS. 9g

à une même direction ou à un même axe, ici, au contraire, les tra> vaux sont toujours directement comparables et combinables, sans égard à aucune direction, de même que l'étaient déjà (p. 19) les demi-forces vives décomposées suivant trois sens rectangulaires.

87. — Énergie potentielle et énergie totale d'un système partiel; variation de l'énergie totale.

Cela posé, distinguons, dans notre s^'Stème partiel, les actions intérieures, égales et opposées deux à deux, d'avec les forces extérieures; et, pour les premières, considérant un quelconque des couples de points du système, dont r désignera la droite de jonction, ajoutons les travaux de l'action F exercée sur l'un de ces points par l'autre, et de la réaction — 'F éprouvée par celui-ci.

Les composantes de la première, ainsi que les coordonnées de son point d'application, étant respectivement X, Y, Z, x,y, z, et celles de la seconde, X,, Y,, Z,, Xt, yt, Zt, nous savons qu'on aura

Par suite, la somme des deux travaux en question,

Xtte-i-Ydj'-t-Zrfs, \idx,-hYidyt-hZidit

sera

(j^l-J7)(rf.c,-rf3:)-t-(j,-^)(rfj,-rfr)-f

OU simplement — F dr, vu que le numérateur vaut ici /■ dr à cause de l'identité

(a^i — a^)i-H (ji— y)i+ («, — a)i = /■»,

difierentiée et divisée par 2.

Donc le travail total, pendant un instant dt, des deux actions mutuelles d'un couple de points, se réduit au produit de l'une de ces actions (comptée positivement quand elle est attractive) par le rapprochement — dr qu'éprouvent les deux points.

Et comme, eaiîn, l'aciioD mutuelle F sera ou la dérivée en r de l'énergie potentielle de pesanteur — V -^^ du sj'stème partiel, si la droite de jonction r est de grandeur sensible, ou la dérivée en r de son énergie potentielle interne 4>, si celte droite est, au contraire, de grandeur imperceptible, la somme de tous les travaux pareils constituera la différentielle totale, changée de signe, de ce que l'on peut appeler l'énergie potentielle propre du système partiel, fonction de toutes les dislances de ses points, comprenant, d'une

part, l'énergie potentielle de pesanteur — t' de ses parties les

unes vers les autres, et, d'autre pari, son énergie potentielle interne $, localisée dans ses divers éléments de volume.

Si les actions réciproques ou intérieures exercées très près de la surface se trouvent modifiées par la présence de la matière extérieure, il n'en résulte point d'erreur sensible dans d^, vu que les termes correspondants de cette différentielle sont, comme on a vu (p. 38), insigniQants par rapport à ceux qui concernent les distances r de couples atomiques intérieurs.

Donc, en représentant maintenant par 2(X dx + Y dy + Z dz) les travaux des seules actions extérieures pendant l'instant dt, et, de plus, par R les dislances mutuelles sensibles des points du système partiel, afin de les distinguer de leurs dislances mulu elles insensibles r, il viendra

ou bien

Or, dans cette équation, la somme

de l'énergie actuelle du système considéré et de son énergie potentielle propre constitue son énergie totale, que nous représeolerons par C.

L'équation (37) peut donc s'écrire

(î7 bii) rfC = E(X(ic-i-Yrfj'-hZata).

Ainsi le principe cherché, dit des forces vives ou de l'énergie, signifiera que l'énergie totale du système considéré, somme de sa demi-force vive, de l'énergie de pesanteur de ses parties tes unes vers les autres, et de son énergie potentielle interne, croit, d'un instant à l'autre, de tout le travail produit par les actions qui, du dehors, s'exercent sur lui ( ' ).

88- —Tout travail est une conBommation d'énergie potentielle.

Il est hon d'observer que, si l'on passait du système partiel proposé au système complet ou indépendant auquel il appartient, le travail de chaque action extérieure se grouperait avec celui d'une réaction égale et contraire pour donner la difTéreatielle partielle, changée de signe, de l'énergie potentielle du système complet par rapport à la droite de jonction de deux points suivant laquelle cette action extérieure s'exerce ; de sorte qu'un travail exprime toujours une variation simultanée, prise en signe contraire, d'une énergie potentielle, ou autrement dit, une dépense, une consommation d'énergie potentielle. Par conséquent, le travail d'une ioTce, pour tout déplacement élémentaire donné de son point d'application, peut être défini la quantité d'énergie potentielle que cette force y transforme en énergie actuelle de ce point d'application.

On le vérifie aisément pour l'action totale exercée sur un point {x,y, 3); sa composante suivant la droite quelconque choisie, par exemple, comme axe des :c, a la valeur — -j-i ainsi qu'on l'a vu plus haut en posant les formules (5) [p. 24]; el elle égale, en conséquence, le quotient, par tout déplacement élémentaire c/:r qu'éprouverait ce point suivant la direction proposée, du décroissement simultané — d^P de la fonction des coordonnées ou des situations de tous les points du système complet appelée énergie potentielle. Par suite, le travail correspondant, produit du déplacement dx par cette

(■) Od pourrait encore ne paa grouper deut à deux les aciiooa ialérieures de pesaoteur, mais laisser les travaux de cea actions dana le second membre, alin que celui-ci Comprit, pour chaque point, le travail de son potdi tout entier, et iilors le premier membre ne contiendrait plus que la variation de l'énergie actuelle du s;9tème avec celle de son énergie potentielle interne.

composaDie de même sens de la force, est bien la dîmînulion corrélative — -j-dxâkt l'énergie potentielle; et l'on peut dire que la composante, suivant une direction quelconque, de l'action totale exercée sur un point, exprime la consommation d'énergie potentielle qu'exige, par unité du chemin parcouru, un déplacement infiniment petit du point suivant cette direction.

Ainsi une force, exprimée en fonction de ce qu'il y a de plus réel en Mécanique, savoir, en fonction d'énergies et de longueurs, est la dérivée d'une énergie (ou d'un travail) par rapport à une coordonnée.

89. — ComplicfttionB divArses dans l'emploi du principe des fOTces rives.

Dans le principe des forces vives appliqué à un système partiel, l'énergie totale du système joue donc le rôle qu'avaient la projection totale ou le moment total, relatifs à un axe, de la quantité de mouvement du système, dans les principes généraux des quantités de mouvement ou des moments; et l'on voit de même le travail des actions exlérieuresj prendre le rôle qui, dans ces mêmes principes, revenait à l'impulsion soit ordinaire, soit de rotation des actions extérieures. Mais il importe d'observer que l'énergie totale constitue une notion ou une chose plus complexe que les quantités de mouvement ou leurs moments. En effet, tout n'y est pas de la demi-force vive, c'est-à-dire une réalité en rapport avec le mouvement actuel, ou exprimée et mise en jeu par celui-ci, comme le sont ces autres quantités; car, deux de ses parties sur

trois, savoir, * et — i^"R~' représentent de l'énergie potentielle. Par suite d'uue plus grande portée, d'une pénétration plus intime dans les détails des phénomènes, le principe des forces vives est donc moins simple que les autres.

Or sa complication, au point de vue du mouvement moyen local ou visible d'une particule de matière, est encore accrue, dans tous les termes non relatifs aux forces de pesanteur, par le fait de l'agitation calorifique qui, au contraire, s'élimine des équations exprimant les deux autres principes.