CHAPITRE 11. — LE PAHALLÉLOGHAliMB DES FORCES

plan perpendiculaire à l'horizon et sa base parallèle à icelui, et sur un chacun des côtés un poids sphérique, de pesanteur égale, comme le côté dextre du triangle au senestre, ainsi la puissance du poids senestre au poids dextre (*').

Le donné. — Soil ABC un triangle ayant son plan perpendiculaire à l'horizon et sa base AC parallèle à icelui horizon, et soit sur le côté AB (qui est double à BC) un poids en globe D et sur BC un autre E, égaux en pesanteur et grandeur.

Le requis. — Il Taut démontrer que comme le cdté AB 2 au côté BC I , ainsi la puissance ou pouvoir du poids Ë à celle de D.

Préparation. — Soit accommodé, à l'enlour du triangle, un entour de i4 globes égaux en pesanteur, en grandeur et ëquidislants, comme D, E, F, G, H. [, K, L, M, N, O, P, Q, R, enfilés d'une ligne passant par leurs centres, ainsi qu'ils puissent tourner sur leurs susdits centres et qu'il y puisse avoir 2 globes sur le côté BC et 4 sur BA, alors comme ligne à ligne, ainsi le nombre des globes an nombre des globes; qu'aussi en S, T, V soient trois points fermes dessus lesquels la ligne ou le fîlel puisse couler et que les deux parties au-dessus du triangle soient parallèles aux côtés d'icelui AB, BC tellement que le tout puisse tourner librement et sans accrocbement sur lesdits côtés ABC.

Démonstration. — Si le pouvoir des poids D, R, Q, P n'était égal au pouvoir des deux globes E, F, l'un côté sera plus pesant que l'autre; donc (s'il est possible) que les quatre D, R, Q, P soient plus pesants que les deux E, F; mais les quatre O, N, M, L sont égaux aux quatre G, H, I, K, par quoi le côté des 8 globes D, R, Q, P, O, N, M, L sera plus pesant selon leur disposition que non pas les six E, F, G, H, I, K et, puisque la partie plus pesante emporte la plus légère, les 8 globes descendront et les autres 6 monteront. Qu'il soit ainsi donc et que D vienne où O est présentement, et ainsi des autres : voire que E, F, G, H viennent où sont maintenant P, Q, R, D, aussi I, K où sont maintenant E, F. Ce néanmoins l'action des globes aura la même dis-

(*') C'est ici la propositiao foodameotsle de Stevin, démontrée, comme on Ta le voir, en invoquant l'imposiibilité du mouvement perpétuel. L'impossibilité du mouvemeot perpétuel est une idée sur laquelle Léonard de Vinci et Cardan avaient beaneoup insisté avant Stevin.

48 LIVnB I. ÉTUDES DE STAI

position i|u'auparavant et par même rakon dessus en pesanteur et en tombant feront r places et ain$i ce mouvement n'aurait a absurde. Et de même sera la démonstrali'

es 8 g^lobes auront le enir 8 autres en leurs cune fin, ce qui est I de l'autre côté. La

partie donc de l'entour DRQPONML sera en équilibre avec la partie E, F, G, H, I, K. Que si l'on ôte des deux côtés les pesanteurs égales et qui ont même disposition, comme sont les 4 globes O, N, M, L d'une part et les quatre G, H, I, K d'autre part, les quatre restants D, R, Q, P seront et demeureront en équilibre avec les deux E, F ; jiar quoi E aura un pouvoir double au pouvoir de D ; comme donc le côté BA a au côté BC i , ainsi le pouvoir de E au pouvoir de D ( '* ).

[Dans les corollaires I, II, III, IV de cette proposition, Stevin déduit de ce qui précède l'esiimation des poids qui peuvent rete-

1 plan incliné soit une boule {fif^. ai), soit une colonne

(") La démonstration est plus claire, comme l'a indiqué Lagrange, en substitnant une chaîne Lomogène àla file de poids de Stevin.

On remarquera que la démonstration suppose essentiellement que la Tile de poids pciid de telle sorte que ONML est bien symétrique de GHIK. Ce fail n'est peut-être pas tout à fait évident. Celte objection a été présentée au xvji' siècle par Lamy.

normale au plan et relenue par son < Il continue ensuite] :

VORCES. 49

tre de gravité {fig- 22),

Corollaire V. — Soil ici menée une perpendiculaire par ie centre de la colonne D, comme DK, coupant le côté d'icelle en L; alors le triangle LDI sera semblable au triangle ABC, . . . par quoi comme AB à BC, ainsi LD à DI. Mais comme AB à BC, ainsi la colonne au poids E, par le quatrième corollaire; donc comme LD à DI, ainsi la colonne à E. Que si en KD on applique un élevant

Fis. =î-

direct M, équilibre avec la colonne, il sera égal en pesanteur à icelle, par la quatrième proposition. Et finalement, comme LD à DI, ainsi M à E.

Corollaire VI. — Soit menée BN, coupant AC prolongée en Net de même DO coupant LI prolonj;ée en O, tellement que l'angle IDO soit égal à l'angle CBN, puis soit appliqué l'élevant direct P à DO tenant la colonne en telle disposition (a^-ant ôté les poids M, E); alors d'autant que LD est homologue à BA au triangle BAC et Di avec BC, il s'ensuit que, puisque BA à BC est comme le poids sur BA au poids sur BC, qu'ainsi DL à {il, ainsi le poids appartenant à DL à celui de DI, c'est comme M à E : semblablement les trois lignes LD, DI, DO étant homologues aux trois AB, BC, BN; J,-l. 4

So LIVRE I. — ETVDBS DE STATIQUB.

alors BA à BN étant comme les pesanteurs y appartenant, qu'aussi LD et DO seront comme les pesanteurs y appartenant, c'està-dire comme M à P. El de mêm" sérail, si BN était de l'autre côté de la perpendiculaire BC, à savoir entre AB, BC et semblablement DO entre DL et Dl : car cette proportion n'est pas seulement lorsque l'élévation, commp DI, est perpendiculaire à l'axe, mais en toutes sortes d'angles C)-

Ce que dessus peut aussi être entendu d'un globe sur la ligne AS, comme ici joignant; là où nous dirons comme devant : que

Fis- ^4-

comme LD à DO, ainsi M à P (pourvu que CL soit à angles droits sur AB).

Mais d'autant que le triangle ABN du sixième corollaire ne cause aucun changement en celle proposition, ôtons-le dorénavant, prenant G pour point ferme de la colonne reposant comme ici joignant {fig. aS) sur la poinle au sommet d'une pyramide et dira-t'On encore comme devant que comme LD à DO ainsi M

àP('.).

(») Il est Par ses princ au plan incli

mpossible de considérer cette démonstration comme satisfaisante, pes, Stevin n'a le droit de considérer que des fils obliques parallèles é, c'est-i-dire normaux à DG. Le résultat énoncé est eiact et il est

intéressant d

remarquer que Slevin a aperçu la ïérité générale, mais il ne faut ue seul le cas du corollaire V est valablement démontré. Les mêmes

TCstrlclions sont naturellement a présenter pour les conséquences qui vont être déduites de la présente proposition; en particulier on doit dire avec Lagrange que, si Stevia a aperçu la généralité de la loi du parallélogramme des forces, il oe l'a démontrée que lorsque deux des forces font un angle droit. La démonstration ' générale est duc * Léonard de Vinci et i> Roberval.

(") C'est une application de l'idée d'éguivatence des liaùoru, dans des conditiens qui ne sont peut-être pas des plus satisfaisantes.

— LE PAnALLÉLOGBjillllll DES FORCES. 5l

THËonÈME XII. Proposition XX. — S'ity a dans l'axe de la colonne un point ferme et un mouvant auquel il puisse être

tenu en quelque disposition par le moyen d'un élevant direct : comme la ligne d'élévation droite à la ligne d'élévation oblique, ainsi l'élevant direct à l'élevant oblique.

Fig. 16.

C'esl-à-direqtieGest àHcomme ElàEK{") {Jig. 26).

Théorème XVIll, Proposition XXVII. — Si une colonne est pendue en équilibre à deux élevants obliques, comme la ligne d'élévation oblique à la ligne d'élévation droite, ainsi chaque élevant oblique à son élevant direct.

(*') Stevin considère cette proposition comme évideotc par ce qui précède. Il y a cepeddanl une difficulté à ce changement du point de suspension qui cesse ici d'être le centre de gravité. L'élevant direct n'est plus ici égal au poids du corps que l'élevant oblique maintient sur un plan incliné. Manifestement Stevin admet une extension de ses principes : il considère que les propositions précédentes lui perpietteot de comparer une pesanteur oblique et une pesanteur directe produisant le même effet, quel que soii cet effet.

3x LIVBB I. — ETUDES DE STATIQUE.

... Prenons F pour point ferme, E pour mouvant : alors par la vingtième proposition, comme LE à EN, ainsi G à I. Prenons maintenant E pour point ferme et F pour mouvant; et par ladite vingtième pioposilion comme MF à FO ainsi H à K.

Fig. ï7.

[Slevin montre ensuite que toutes ces règles, démontrées pour les colonnes, sont bonnes quelle que soit la figure des corps. La droite quijoint le point de suspension au point d'appui (ou celle qui joint les deux points de suspension)doitêtre supposée passer par le centre de gravité : c'est un diamètre de gravité. Pour déterminer les segments analogues à EN, EL, FO, FM de la figure 2^, segments que Stevin appelle élévations droites ou obliques, il faut couper les élevants par une parallèle à ce diamètre de gravité.]

[Enfin, dans une adjonction à sa Statique, qui porte le titre de Spartostatique ou de l'apondéraire par cordages et qui est consacrée aux polygones funiculaires, Siévin utilise les résultats précédenls pour démontrer la loi du parallélogramme des forces (")]■

Or, pour venir à la déclaralion de la qualité des pesanteurs suspendues par cordages, soit AB une colonne, de laquelle C soit le cenire, suspendue a deux lignes CD, CE (venant dudit centre C) ès-points fermes D, E, lesquelles seront diamètres de gravité; par quoi prenant Hl entre DC, CI, parallèle à CE, alors Cl sera élévation droite, CH oblique; tellement que, comme Cl à CH, ainsi cet élevant direct à l'élevant oblique. Mais l'élevant direct de CI est

(") Ne pas oublier la réserve de la note 55; de la note 57 est sans portée ici, le corps étant vite. Pour suivre le raison nenicnl, on applique la définition précédente des diamètres de gra' t successivement U et E cumm

ais remarquer que l'ubservation deux fois la proposition XX el

- LE PARALLBLOGBAHIIB DBS FOKCBS.

égal au poids de la coloane. Donc, comme Cl à CH, ainsi le poids de la coloDoe enlière au poids qui avienl en D, et de même manière trouvera-l-on le poids qui avient en E en menant de I

jusqu'à CE la ligne IK. parallèle à DC et disant : comme l'élévation droite CI à l'élévation oblique CK., ainsi le poids de la colonne au poids qui avienl sur E {fig- 28).

§ 2. — Le parallélogramme des forces tiré da levier.

Il paraît probable que Léonard de Vinci a eu, avant Stevin, l'idée nette de la loi de la composition des forces sous la forme suivante : « Par rapport à un point pris sur une des composantes, le moment de l'autre est égal au moment de la résultante (*')*»■ On trouve en effet, dans ses Notes, les dessins ci-dessous relatifs au problème d'un poids suspendu par deux cordes, accompagnés des commentaires suivants ;

Première. — A est le pôle de la balance a et leurs appendices sont DN et FC i^fig- 29)

gulaire AD et AF,

- Plus grossit l'angle de la corde qui,

('•) DUHEM, Léonard de Vinci et la compotition des force* (Bibliolheca mathematica, 3. Polge, IV. BaDd., 4. Heft, iS fëvr Origine* de la Statiqut, t. II, Note O.

- ETUDES DB STATmVE.

sa longueur, soutient le poids N {fig. 3o), d'autant plus diminue son levier potentiel et croit le cunire-levier potentiel qui soutient le poids.

Fig. ïg.

[La figure 3o est faite de sorte que A^B^4A^i ^^ Léonard marque 1 sur N et i sur la rorde DF,]

Fig. 3c..

Cette figure {fig. 3i) représente la précédente ABC potentielle; mais parce que la réelle pèse et la potentielle non, j'^ ajoute le bras MN pour le contre-poids du bras O.

Fig. ïi.

Ces citations montrent non seulement que Léonard de Vinci a connu le théorème énoncé plus haut, mais encore qu'il y est arrivé par le levier angulaire et la notion générale ■ de moment.

Dans le Traité de Mécanique dont il a été question plus haut (Chap. I, § 4), Roberval donne la démonstration générale de la loi du parallélogramme des forces. Sa démonstration fait intervenir le plan incliné, mais d'une manière tout

chapithb u. — le pahalleloorahmb ties forces. 55

à fait accessoire. De là !a place que nous donnons à cette citation dans le présent paragraphe.

[Après avoir étudié l'équilibre d'un grave sur un plan incliné, Roberval aborde le problème d'un poids suspendu par deux cordes. Il fait renjarquer que ce problème comprend plusieurs cas particuliers, suivant que le poids peut ou non coulisser sur les cordes, et suivant que le poids est attaclié aux deux cordes en deux points diiTérents ou au même point. Bornons-QOus ici au cas où le poids, ne coulissant pas sur les cordes, est attaché «n un seul point. Koberval annonce, mais ne démontre pas dans ce Traité, qu'on peut ramener les autres cas à celui-là.]

Par la deuxième proposition, nous avons vu que, si CA est le bras d'une balance sur lequel le poids A est retenu par la corde CA ('"), qu'il ne glisse le long ilu bras CA et que, comme CB est à CF (*"), ainsi soit le poids A à la puissance Q ou E tirant par la corde QA, cette puissance Q ou E tiendra la balance CA en équilibre, et, la curde QA étant attachée au centre

du poids A, la balance demeurera déchargée et le poids A sera soutenu partie par la puissance Q ou Ë, partie par le plan LNa perpendiculaire à la balance CA, ou en la place du plan LNa par la corde CA, par ta scholie du quatrième axiome {""). Donc, par

('•) Koberval, dans ce qi

sur des leviers et retenus pa

('I) CB est perpendiculair

{") La deuiième propoïit

précède, a considéré des poids pouvant coulisser des cordes tendues le long des bras des leviers. à AQ et CF â la verticale AD.

laquelle renvoie Roberval, est celle qui donne

: passage signalé par les notes 48, 49) l'éraluatioD de U puissance qui

56 LIVHB I. — ÉTUDES DE STATIOUB.

ce moyen, la puissance Q ou E est trouvée. Par même moyen..., si QA est pris pour bras d'une balance sur lequel soit posé le poids A retenu [>ar la corde QA,, qu'il ne glisse sur le bras QA et que, comme GQ est à QD, ainsi le poids A soil à la puissance G ou K., celle puissance C ou K, liranl par la corde CA, tiendra la balance QA en équilibre, et, la corde CA étant attachée au centre du poids A, la balance QA demeurera déchargée et le poids A sera soutenu partie par la puissance C on K. tirant par la corde CA,

et partie par la corde QA. Or, d'autant que GAQ est donné et

les cordes AQ el AC avec les angles CAF, QAD, les perpendiculaires CB, QG, CF, QD sont données et leurs raisons aussi données, et partant les raisons du poids donné A aux puissances Q ou E et G ou K, lesquelles puissances, par conséquent, sont données, el elles soutiennent le poids A par les cordes QA et CA.

Corollaire. — On remarquera donc qu'en tous les cas on tire de chaque puissance deux perpendiculaires, l'une sur la direction du poids, l'autre sur la corde de l'autre puissance, et que, dans les raisons du poids aux puissances, le poids est homologue aux perpendiculaires tombant sur les cordes des puissances, el les puissances sont homologues aux perpendiculaires tombant sur la ligne de direction du poids.

[Il suffit maintenant de considëialions purement géométriques pour démontrer] :

Que si, de quelque point pris en la ligne de direction du poids, on mène la ligne parallèle à l'une des cordes jusqu'à l'autre corde, [les côtés du triangle ainsi formé] seront homologues au poids et aux deux puissances.

relienL un poids sui- un plan incliné. Roberval l'a démontrée {voir noie 49) ea remplaçant le plan incliné LNî par un levier perpendiculaire CA. C'est de U que vient l'intervention du plan LN3 dans le présent raisonnement. En réalité, cette intervention est tout à fait inutile et il est pluï simple de considérer dir sans l'intermédiaire du plan incliné, la corde CA. comme un levier. Qaa scliolie du quatriËme aiiome, il n'est pas nécessaire de la prendre la préseoie citation.