CHAPITRE III. — LE PRINCIPE DU TRAVAIL VIRTUEL. GS
Cette démonstration repose sur un postulat, qui est celui qu'admettra Descartes : « Ce qui suffit à élever un poids i d'une hauteur / suffît aussi pour élever un poids k d'une hauteur -r- " Admettre ce postulat revient à admettre comme principe fondamental celui du travail virtuel. Il y a donc là une vue assez profonde des choses.
Mais il faut reconnaître, ainsi que le dit Lagrange, que le principe du travail virtuel n'est pas assez évident par lui-même pour pouvoir être érigé en principe primitif. C'est précisément la considération des machines simples et particulièrement du levier qui a conduit l'esprit humain à penser que ce qui suffît à élever le poids i de la hauteur / suffit à élever le
poids k de -r-, prendre cette affirmation comme fondement de la théorie des machines simples est un peu un cercle vicieux. Il n'en faut pas conclure que les développements de l'école de Jordanus et ceux de Descartes sont sans valeur, loin de là ; dans une Science physique comme la Mécanique, il n'y a pas à proprement parler de démonstrations ; l'important est de relier des objets divers à des principes généraux. Mais il ne faut pas s'étonner si l'on a jugé utile, au xvi" siècle, de justifier par une autre voie les lois des machines simples.
Un disciple inconnu de Jordanus a fait, de sa méthode, l'application suivante qui l'a conduit à la notion générale de moment d'une force autour d'un point.
Une balance (**) a deux bras inégaux ca, cb qui font entre eux un certain angle ; les deux points a, b sont équidistants de la verticale qui passe parle point d'appui c: ils portent des poids égaux; la balance est-elle ou n'est-elle pas en équilibre?
[Nous avons vu que Jordunus avait donné une réponse erronée à cette question. Voici, au contraire, comment la traiie son disciple.]
De part et d'autre du bras ca, il trace deux rayons ex, cl faisant avec ca des angles égaux; de même, de part et d'autre du bras cb,
C*) Cilatioo de M. Dabem (Let originel de la Statique, l. I, p. i4i).
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il mène deox rajons ch, cm faîsanl avec cb des angles égaux entre eux et égaux aux précëdenis.
Cela posé, il se demande si le poids a pourra l'emporter sur le poids 6, et il déclare que cela ne se pourra pas; car alors les bras ca, cb du levier viendraient respeciiveroent en ex, cm; le poids a, descendant de la hauteur tx, ferait monter le poids b, qui lui est égal, d'une hauteur />m supérieure à ix. De même, le poids 6
Fig. 36
ne saurait l'emporter sur le poids a, car le bras cb viendrait en cfi tandis que le bras ca viendrait en cl; <:t le poids b, s'abaissant de la longueur rk, élèverait le poids égal a d'une longueur ni supérieure à rh.
Cette démonstration offre une parenté évidente avec celle que Jordanus a donnée pour la loi de l'équilibre du levier; mais cette nouvelle application de la méthode des déplacements virtuels présentait certaines difficultés que la première ne rencontrait pas; en effet, dans le cas du levier droit, l'équilibre est indifférent, en sorte que tout déplacement virtuel fini correspond à un travail de la puissance exactement égal au travail de la résistance; dans le cas du levier coudé, l'équilibre est stable; l'égalité entre le travail moteur et le travail résistant n'a plus lieu, sauf pour les déplacements infiniment petits qu'un géomètre du xin* siècle n'aurait su traiter; ces difficultés, le précurseur de Léonard de Vinci (") a su les surmonter de la manière la plus heureuse.
, En combinant la démonstration que nous venons de rapporter avec ce principe : « ce qui suffit à élever un certain poids à une
(") Ce!
n que M. Dubem doone i l'ai
Il doDt D0U3 parloi
CHAPITBB m. — LK PRINCIPE DU TRAVAIL TIHTUBL. 67
«erteine hauteur suffit aussi à élever un poids n fois moindre à une hauteur n fois plus grande », principe implicitement admis dans la démonstration que Jordanus avait donnée de la loi de l'équilibre du levier droit, on obtient sans peine la condition d'équilibre d'un levier coudé quelconque dont les bras portent des poids quelconques. [Le géomètre qui nous occupe parvient ainsi explicitement à la notion de moment d'une force autour d'un point.
La mesure de la gravité sectindunt situm par ce qu'un trajet Aoaaé prend du rfiVeci s'applique d'une manière particulièrement facile à ta comparaison des forces qui peuvent retenir un poids donné sur des plans diversement inclinés. Et, en effet, le géomètre dont nous venons de parler a tiré de cette méthode une démonstration de la loi du plan incliné, démonstration que le lecteur pourra facilement reconstituer et qu'il est inutile de citer.]
Les écrits de l'école de Jordanus ont eu une influence certaine sur Léonard de Vinci, sur Tartaglia et sur Cardan (xv* et XVI* siècles).
Au xvu" siècle, Roberval a connu la loi du travail virtuel sous une forme analogue. Dans le Traité de Mécanique où il a trouvé la condition d'équilibre d'un poids suspendu à deux cordes (i636), il fait, après sa démonstration, la remarque suivante :
Si, au-dessous du poids A (voir Jig. 82) dans sa ligne de direction, on prend quelque ligne comme AP, il arrivera que si le poids A descend jusqu'à P, tirant avec soi les cordes et faisant remonter les puissances K, E, il y aura réciproquement plus grande raison du chemin que les puissances feront en montant {") au chemin que le poids fait en descendant, que du même poids aux deux puissances prises ensemble; ainsi les puissances monteraient plus à proportion que le poids ne descendrait en les emportant, ce qui est contre l'ordre commun.
[Même remarque si le poids A montait ('")-]
(" ) Il s'agit Ëvidemmeot du chemin mojen décrit par le centre de gravité de* corps K et E.
(") Cette démDDBtratioD, remarque M. Duliem, est ji rapprocher de celle qu'a .doDuée, pour le IcTier coudé, le disciple de Jordanus cité plus hanl. Dans le*
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La notion générale du principe du travail virtuel a été exposée par Descartes (i596-i65o) dans un petit écrit qu'il a envoyé le 5 octobre 1637 à Constantin Huygens (père du célèbre Christian Huygens) et qui porte le titre suivant : Explication des engins par l'aide desquels on peut, avec une petite force, lever un fardeau fort pesant. Descartes prend comme fondement de sa théorie le même principe que Jordanus. Il se sépare ainsi nettement de son contemporain Galilée qui considérait plutôt le principe du travail virtuel comme une conséquence des lois de l'équilibre. Nous avons dit plus haut, à propos de Jordanus, ce que nous pensions de cette manière de faire qui «si très propre à montrer la généralité du principe, mais où la question est peut-être prise un peu à l'envers. Descartes se sépare aussi de Galilée en ce qu'il considère le travail et non le produit de la force par la vitesse.
Il convient de faire une citation importante de son écrit :
L'invention de tous ces engins n'est fondée que sur un seul principe, qui est que la rnérne force {") qui peut lever un poids, par exemple de 100 livres, à la hauieur de 2 pieds, en peut aussi lever un de 200 livres à la hauteur de i pied, ou un de 400 à la bauteur d'un ^ pied, et ainsi des autres, si tant est qu'elle lui soit appliquée.
Et ce principe ne peut manquer d'être reçn, si l'on considère que l'ell'el doit toujours être proportionné à l'action qui est nécessaire pour le produire; de façon que, s'il est nécessaire d'employer l'action par laquelle on peut lever au poids de 100 livres à la hauteur de 2 pieds pour en lever un à la hauteur de i pied scrilement, celui-ci doit peser 200 livres. Car c'est le même de lever 100 livres à la hauteur de i pied et derechef encore 100 à la hau-
r la difficulté provenant du fait que l'égalité des travaux virtuels n'est vraie que dans un déplacement inriaimeot
C) Deecartes prend ici le mot force dans le sens du raol nioderne travail. Il ne faisait certainement pas de confusion entre cette force et la force assimilable i un poid^; ses idées étaient fort nette<^ à ce sujet; dans une lettre au P. Mersenne (13 septembre i633), il fait remarquer que ce qu'il appelle force dans cette question a deux dimensions. Mais le langage qu'il a employé prête A l'ambiguïté. Voir la note 76.
