MOUVEMENT

JiicllDona-]a ensuite diversement sur l'horizon comme en AD, AE, AF, etc. Je dis que l'impelus maximum et total du grave pour descendre a lieu sur la verticale BA, qu'il est moindre sur DA, moindre encore sur EA, qu'il va encore en diminuant quand on passe à la ligne la plus inclinée FA, et que fînaleroent il est com-

plètement anéanti sur l'horizontale CA, où le mobile se trouve inditTérent au mouvement et au repos et ne présente de lui-même aucune tendance k se mouvoir d'aucun côté ni aucune résistance a être mis en mouvement ('**)■ En effet, de même qu'il est impossible qu'un grave ou un ensemble de graves se meuve naturellement vers le haut en s'éloigitant du centre commun oîi tendent les choses pesantes, de même il est impossible qu'il se meuve spontanément si, dans son mouvement, son centre de gravité ne se rapproche pas du centre commun; donc, sur l'horizontale, qui s'étend sur une surface également distante dudit centre et qui est sans inclinaison, Vimpetus ou le moment du mobile sera nul. Étant instruits de ce changement d'impetus, il faut maintenant que j'explique ce que notre académicien a jadis, dans un ancien Traité de Mécanique {' ' *), composé à Padoue pour le seul usage de ses élèves, longuement et complètement prouvé à propos de l'origine et de la nature du merveilleux instrument de la vis. Pour savoir dans quelle proportion se fait ce changement d'impetus sur des plans diversement inclinés, par exemple sur AF, menons la hauteur de ce plan au-dessus de l'horizon, c'est-à-dire la ligne FC suivant laquelle l'i'm/^cfus d'un grave et son moment de descente (momento del discendere) sont maxtma, et cherchons

(">) Vnir Let Méchaniques, noie 44.

('") Voir note 113. Il s'agit dtt Miehaaiquei, citées dans le Livre I.

toi LIVRX II. — ÉTUDES HE DTNAIIIQUE.

dans quel rapport eal ce moment avec le moment du même mobile sur la ligne inclinée FA. Je dis que ce rapport est le rapport inverse desdites longueurs, et c'est là le lemme qui doit précéder le lliéorème que j'espère ensuite pouvoir démontrer. Manifestement, aussi grand est Vimpettts de descente d'un grave, aussi grande est la résistance ou la force minima qui suffit à l'empêcher ou à l'arrêter; pour mesurer cette force, celte résistance, je me servirai de la gravité d'un antre mobile. Imaginons que sur le plan FA repose un mobile G «Itaché à un fil qui passe sur F et supporte un poids H, et considérons que la chute de H, ou son élévation sur la verticale, est toujours égale à toute l'élévation ou à toute ]a chute de G le long du plan incliné AF, mais non pas à l'élévation ou à la chute verticale, la seule dans laquelle le mobile G (ou tout autre mobile) exerce sa résistance, comme il est évident. Dans le triangle AFC, le mouvement du mobile G, par exemple vers le haut de A en F, est compose du mouvement transversal et horizontal AC, et du mouvement vertical GF; or, pour ce qui est du déplacement horizontal, la résistance au mouvement est nulle, comme on l'a dit, parce que ce déplacement ne produit aucune diminution ni aucune augmentation de la dislance au centre des choses pesantes, distance qui, sur une horizontale, se conserve toujours la même; par c<%nséquent il reste que la résistance est due seulement au fait que le mobile doit gravir la verticale CF. Puis donc que le grave G, se mouvant de A en F, résiste seulement du fait de l'élévation verticale CF, mais que l'autre grave H descend suivant la verticale nécessairement de toute la longueur FA, et puisque le rapport entre l'ascension et la descente reste toujours le même, que le mouvement des mobiles soit grand ou petit (ils sont en ellct réunis ensemble), nous pouvons affirmer que, quand il y aura équilibre, c'est-à-dire repos des mobiles, les moments, les vitesses, ou leurs tendances au mouvement, c'està-dire les espaces qu'ils parcourraient dans le même temps, devront être en raison inverse de leurs gravités, conlormémenl à la loi qui se démontre dans tous les cas de mouvements mt'caniques {"')■ Par suite, il suffira, pour empêcher la chute de G, que H soit d'autant moins lourd par rapport à lui que l'espace GF est moindre par rapport à l'espace FA. Donc les graves G et H étant entre eux comme FA à FG, il s'ensuivra que l'équilibre aura lieu

("') Voir Le* Michaaiquet, Liv. I, Chap. I, §t.

CHAPITDB ]. — IBS PBBIIIÈRBS BECHERCBES SUR LR MOUVEMENT. 105

c'est-à-dire que les graves H, G auront des moments égaux et que leur mouvemenl cessera. Et puisque nous sommes convenus que, pour un mobile, Vimpetus, l'énergie, le moment ou 1» propension au mouvement a la grandeur de la force ou résistance mlnima qui suffit à le tenir fixe, nous conclurons que le grave H est suffisant pour empêcher le mouvement du grave G; donc le poids le plus petit H, qui exerce son moment total sur la verticale FC, sera la mesure précise du moment partiel que le plus grand poids G exerce sur te plan incliné FA; mais la mesure du moment total du même grave G est Inî-méme (puisque pour empêclier la chute verticale d'un grave il faut l'action contraire d'un grave égal qui soit cependant libre de se mouvoir verticalement). Donc Vimpetus ou le moment partiel de G sur le plan incliné FA est à Vimpetus maximum et total du même G sur la verticale FC comme le poids H au poids G, c'est-à-dire, par la construction, comme la hauteur FC du plan est au plan FA. C'est là le lemme que nous nous proposions de démontrer.

Sagredo. — De ce que Votre Seigneurie a démontré jusqu'ici, il me paraît qu'on peut facilement déduire, en raisonnant sur des proportions inverses, que les mouvements du même mobile sur des plans diversement inclinés, comme FA, FI, et ayant ta même hauteur, sont entre eux dans le rapport inverse des longueurs des plans.

Salciali. — La conclusion est très exacte. Cela posé, je passe à la démonstration du théorème qui énonce que :

Les degrés de vitesse d'un mobile descendant, par un mouvement naturel, de la même hauteur, sur des plans inclinés d'une manière quelconque sont toujours égaux à l'arrivée sur une même horizontale, quand tous les obstacles sont écartés.

Il fiiut, ici, faire il'abord la remarque suivante : il a été établi que, sur un plan incliné quelconque, la vitesse ou la quantité iVimpelus d'un mobile partant du repos croît comme le temps (c'est la déiinilion donnée par noire auteur pour le mouveinei>t naturellement accéléié); donc, comme cela a élé démontré dans la proposition précédente, les espaces parcourus sont en raisoa doublée des temps et, par suite, des degrés de vitesse; tels furent les impelus dans le premier mouvrment, tels seront proportionnellement les degrés de vitesse acquis dans le même temps,

io6

- ÉTUDES DE DVNAHIQIi'l

puisque les uns et les autres croissent suivant la même proportion dans te même temps.

Soient maintenant le plan inclÎDé A6 et sa hauteur au-dessu» de l'horizon, la verticale AC, et l'horizoalale CB. Ainsi qu'il » été démontré tout à l'heure, Vimpetus d'un mobile suivant

Fig. 48.

la verticale AC est à l'impetus du m<ïine mobile sur le plan incliné AB comme AB à AC; prenons alors sur AB une longueur AD troisième proportionnelle entre AB, AC ("*); l'impetus suivant AC sera à l'impetus suivant AB, c'est-à-dire suivant AD, comme AC est à AD; par conséquent, dans l'espace de temps où le mobile parcourrait la longueur verticale AC, il parcourra la longueur AD sur le plan incliné AB (les moments étant comme les espaces), et le degré de vitesse en C sera, avec le degré de vitesse «n D, dans le même rapport que AC à AD ("*)■ Mais le degré de