CHAPITRE II. — LE CHOC DES CORPS

§ 2. — Wren et la balance.

Voici la Note même que Wren (1632-1723) a présentée au concours à la Société Royale et qui a été publiée dans les Philosophical Transactions {n" ^^, 11 janvier 1668). Elle concerne uniquement les corps parfaitement élastiques et est écrite en latin.

LOI DK LA NATUKE CONCEKNANT LE CHOC DES CORPS.

Les vitesses propres et les plus oaliirelles des corps sonL inversemenl proportionnelles aux corps.

Loi de la matuke. — C'eslpourguoi deux corpsR et S, animés de leurs vitesses propres, les conservent après le choc.

Et deux corps R et S, animés de vitesses qui ne sont pas leurs vitesses propres, sont ramenés à l'équilibre par te choc. Voici ce que cela signifie : avant te choc, la vitesse de R dépasse sa tiitesse propre d'une certaine quantité; cette de S est inférieure à ta sienne de la même quantité; par te choc, cette quantité est ajoutée à la vitesse propre de S et retranchée de celle rf« R ( ' " ).

Docc le choc de deux corps animés de leurs vitesses propres équivaut (œquipotlet) à une balance oscillant sur son centre de grtvilé.

El le choc de deux corps animés de vitesses qui ne sont pas leurs vitesses propres équivaut à une balance réciproque posée sur deux centres également distants du centre de gravité: le Qéau de la balance est tracé où il est besoin. [Et collisio ("^) corporum improprias ve/ocitates habentium œquipoltet librœ reciprocanli super bina centra œqualiter huic inde a centro gravitatis dislantia; librœ vero jugum. ubi opus est produci-

("') J'ai traduit ce passage en le développant un peu, le texte latin ne me paraissant pas très clair.

('") Je donne ici le texte latin, qui me parait assez obscur.

('") Qu'entend au juste Wren qudnd il dit que le choc des corps équivaut à une balance? c'est assez obscur. Voici ce que j'ai compris.

Qu'on se reporte aux ligures tracées un peu plus loin par Wren pour résumer ■es régies. Qu'on examine notamment la première de celles qui se rapportent an

|38 LtTMB II. — iTCDKS DE DÏMAMIOCB.

Par coDséqueDt, il j* a trois cas pour le choc des corps é^auK animés de vitesses qui ne sont pas leurs vitesses propres.

Pour le choc des corps inégaux animés, soit dans le même sens soit en sens inverse, de vitesses qui ne sont pas leurs vitesses propres, il ^ en a lo, les 5 derniers se déduisant des 5 premiers par renversement.

Soient R, S deux corps égaux, ou bien R le corps le plus grand, S le plus petit; a le centre de gravité ou couteau de la balance; Zi la somme des vitesses des deux corps ('^').

cboc de deux corps inégaui leun titesMs propres. Ra n et les corps R et S sont dan représenter une balance doi avec tes poids R et S placés aux extrémités du néiu RS.

Mais il y a certainement, dans l'esprit de Wren quand il fait le rapprochement entre le citoc des corps at la balance, autre cKosa qo* cette simple analogie d'un dcMin. É*i<leiiuncat, Wrea remarque que, dans la balaace en équilibre, il 7 a éBalité entre les produits des poids par ce que nous appelons aujourd'hui les viteue» virtuelles, comme, dans le choc des corps animés de leurs vitesses propres, il y a éfalité entre les prodnits des poids par lei Titeiaes de choc. Sa pensée est ceitaiBoment bien exprimée par ce que dit Marioite dans le passage signalé par la note U7.

Pour les cal où les corps n'ont pas leurs vitesses propres, Toici, à ce que je crois, le problème de Statique que Wren Tait correspondre au problèBie de choc. Cunsidérons deux fléaux de balance, exactement superposés dans la position

Fig. 64.

■dire celte qi

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la vitesse du

psH,

Sa celle d

u corps S,

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ait ei

1 équilibre

boriiontaie, l'un RoS ayant son couteau en o, l'antre R'eS' égal au précédent, mais ayant son couteau en e (dans la figure fi4< j'ai légèrement incliné ces deux fléaux pour qu'on ne les confonde pas). Ces deux fléaux sont réunis par une tringle n^, articulée en a et p, qui assure leur parallélisme. En R et R' sont deux poids égaux au poids choquant, en 5 et S' deux poids égaux au poids choqué. Si l'on considère 1^ position où les fléaux sont confondus suivant la même horiïonCate oae, les vitesses virtuelles des poids R et S sont proportionnelles aux vitesses des corps avant te choc, celles des poids R' et S' le lont aux vitesses après le choc. La balance est alors en équilibre, en vertu de la relation supposée entre les poids et les vitesses,

("*) Z est ta vittiae relatioe des deux corps. Nous dirions plutôt aujocrd'bui, en prenant pour toutes les vitesses la même direction positive, que Z est la différence des vitesses. Sur les figures ci-après Z est représentée par ta longueur RS-

Re I vitesM j Se \ du corps |

oS i du corps I S

CHAPITBE U. — LB rJlOC DES COBI^

i avant le eboG \ i So i vitesse

donnée | oa \ Ro \ da corp

j après le choc i bieo j eS 1 vitesse

{ cherchée ' ' eR j du corpi

\ S } «près le choc / B S cherchée

Lisez, bien qu'elles soieni dissociées, les syllabes Re, Se, oR, oS, ou Ro, So, «S, eR sur la ligne qui correspond à chaque cas. Une sjllabe écrite de droite à gauche indique un mouvement contraire à celui qui est indiqué par une syllabe écrite de gauche à droite. Une syllabe non dissociée indique le repos du corps.

R+S : S ;: Z: Ra R-i-S :R::Z : Sa

2Ro± Ro =oR

Hujgen et le nonvemciit relatif.

Les idées les plus intéressantes sur le problème du choc des corps ont été émises par Huygens (1(129-1097), Le savant iioUandais ne s'est pas borné d'ailleurs^ sur ce sujet, à la Note qu'il a présentée au concours de la Société Royale; il a composé un traité complet : De Mot u corporum ex perçussione qui a été publié dans ses œuvres posthumes en 1 700. C'est lui que nous citerons ici.

l40 LIVRE II. — ÉTUDBS DB DTNAIIIOirS.

Hypothèses. — I. Ud corps quelconque en mouvemeat, s'il oe reocontre aucun obstacle, tend à se mouvoir indélîtiiinent avec la même vitesse et en ligne droite.

II. Quelle que soit la cause pour laquelle deux, corps durs rebondissent quand ils se choquent, nous faisons l'hypothèse suivante : si les deux corps sont égaux, si leurs vitesses sont égales, si ces vitesses sont de sens inverse, et si les deux corps se choquent directement, chacun rebondit avec une vitesse égale à celle qu'il avait avant le choc.

On dit que deux corps se choquent directement lorsque le mouvement a lieu suivant la droite joignant les deux centres de gravité et que le contact se produit sur cette droite.

III. Mouvement des corps, vitesses égales ou inégales, ces expressions doivent être entendues relativement à d'autres corps qui sont considérés comme au repos, quoiqu'il puisse arriver que les seconds et les premiers corps soient entraînés dans un mouvement commun. Et lorsque deux corps viennent se choquer, même si tous les deux sont soumis en outre à un autre mouvement commun uniforme, ils se repousseront l'un l'autre, pour un observateur entraîné dans ce mouvement commun, exactement comme si ledit mouvement parasite n'existait pas.

Ainsi, soit un expérimentateur qui, emporté par un navire dans un mouvement uniforme, fait choquer deux sphères égales animées par rapport à lui-même et au navire, de vitesses égales et de sens contraires. Nous disons que les deux corps rebondiront avec des vitesses égales par rapport au navire, exactement comme si l'on produisait le choc dans le navire au repos ou sur la terre ferme ("*).

Ceci posé, nous démontrerons les lois qui régissent le choc des corps égaux. Nous poserons en leur lieu les hypothèses dont nous aurons besoin pour le cas des corps inégaux.

Proposition I. — Un corps étant en repos, si un corps égal vient le choquer, après le choc le second corps sera en repos et le premier aura acquis la vitesse qu'avait le second avant le choc.

('") En disciple de DescarLes, Hufgeas estime que le mouvemeat est loujt relatif. C'est li te caractère principal du passage que nous citons ici. Nous le cutons en détail t la suite de cette citation.

CHAPITBE tl. — LE CHOC DEB CORPS. l4l

Qu'on imagine un navire transporté le loog de la rive par le courant d'uo fleuve, et cela si près du bord qu'un passager se tenant dans ce navire puisse saisir les mains d'un aide se tenant sur la rive. Le passager tient dans ses deux mains A et B deux corps égaux E et F suspendus à des (ils et dont la distance EF est partagée en deux parties égales par le point G. Déplaçant également ses deux mains l'une vers l'autre, par rapport à lui et au

Fig. 67.

navire, il fera se choquer les deux globes E, F avec des vitesses égales; ceux-ci rebondiront nécessairement avec des vitesses égales (hypothèse II) par rapport au passager et au navire. Mais pendant ce temps, le navire est supposé porté vers la droite avec une vitesse GE, égale à celle avec laquelle la main droite A est portée vers la gauche.

Pat' suite la main A du passager est immobile par rapport à la rive et à l'aide se tenant sur elle. Mais la main B, par rapport à cet aide, se déplace .avec la vitesse EF double de GË ou FG. Supposons que l'aide se tenant sur la rive saisisse avec sa main G la maio A du passager ainsi que l'extrémilé du (il qui soutient le globe E, et avec sa main D la main B du passager qui soutient le fil auquel pend F. On voit que, tandis que le passager fait se rencontrer tes sphères Ë et F avec des vitesses égales par rapport à lui et au navire, en même temps son aide se tenant sur la rive choque la sphère E immobile avec la sphère F animée de la vitesse FE, par rapport à lui et à la rive. Et il est certain que, pour le [iassi>ger déplaçant ses sphères comme on l'a dit, il n'y a aucun obstacle à ce que son aide se tenant sur la rive lui saisisse les mains et les extrémités des fils, pourvu seulement qu'il accompagne leur mouvement et ne lui oppose aucun empêchement. De même, pour l'aide se tenant sur la rive et conduisant la sphère F

i43 iA^va. II. — ÈTvvm w nrNAMiaitB.

contre la sphère immobile E, il n'y a aucun obiUcle à ce que le passager joigne ses mains «ux Biennes, si toutefois les maios A ei C sont en repos par rapport à la rtve et à l'aide tandis qae les mains D et B se ineuveni avec la même vitesse FE.

Comme on l'a dit, les sphères E et F rebondissent, après le choc, avec des vitesses égales par rapport an passager et an navire : savoir la sphère E avec la vitesse GE et la sphère F avec la vitesse GF, Pendant ce temps le navire va vers la droite avec la vitesse GE ou FG. Donc, par rapport à la rive et à l'aide se tenant sur elle, le globe F reste immobile après le choc, et le globe E va vers la gauche avec une vitesse double de GE, soit avec la vitesse FE avec laquelle F a choqué E. Nous montrons donc que, pour un observateur se tenant sur la terre, lorsqu'un corps immobile est choqué par un corps égal, celui-ci perd après le choc tout son mouvement, que celui-là au contraire prend en entier.

Proposition II. — Si deux corps égaux, animés de vitesses inégales, viennent à se choquer, ils échangent leurs vitesses dans le choc.

[La démonstration est analogue à la précédente.]

Hypothèse IV. — Si un corps vient choquer un autre corps plus petit et en repos, il lui communique un certain mouvement et perd une partie du sien ('**)■

("*) Il ett poMible de rattacher celle hypothèse IV i. l'hypothèse faite plus loia sur la conservation des forces vires {cf. noie 163). Ce n'est donc pas une hypothèse distincte.

ToDt d'abord, en effet, une fois admis que le grand corps a mis le petit en mouvement, il est nécessaire, pour que les forces vives se conservent, que le grand perde une partie de sa vitesse.

Il reste à voir pourquoi le grand corps met en mouvement le petit. S'il ne le fait pas, il faut, pour la conservation des forces vives, qu'il conserve lui-même M vitesse en valeur absolue : si donc il a la vitesse v, avant le choc, il est animé, après le choc, de c, ou de — v,. Il ne peut pas être animé de v„ le second corps restant immobile, car celui-ci, par son impénétrabilité, empéclieque le grand corps ne continue, après le choc, i se mouvoir comme avant. La vitesse du grand corps après le choc ne peut donc être que — v,. Mais considérons alors un navire animé de la vitesse — v,; par rapport i. lai, la vitesse du grand corps paste delà valeur ic, à la valeur o; celle du petit reste égale i v,, c'est-i-dire que les forces vives ne se conservent pas. On éliminera ce cas si l'on admet que les forces vives doivent se conserver dan» un syHème d'axes qutlconque. Il sera donc néces- Aaire que le petit corps soit mil

CHAPimB II. — IX CHOC des cokpb. i43

Proposition fit. — Un corps aussi grand qu'où veut, s'il est choqué par un corps si petit qu'il soit aotmé d'une vitesse quelconque, est mis en nDouvemenl par le cboc ('")■

[Démonstration toujours basée sur l'emploi du navire.]

Hypothèse V. — Soient deur corps durs venant se choquer; s'il arrive qu'après le choc l'un des deux conserve tout le mouvement qu'il avait avant, le mouvement de l'autre n'est non plus ni augmenté, ni diminué ('")■

Proposition ÏV. — Toutes les fois que deux corps se choquent, leur vitesse relative est la même après le choc, quand ils s'éloignent, etavant le choc, quand ils se rapprochent.

Pour deux corps égaux, c'est évident en vertu de la proposition 11. Soient maintenant deux corps inégaux et prenons d'abord le cas où le corps le plus grand A est choqué au repos par le corps le plus petit B, se déplaçant vers la droite avec une vitesse BA. Je dis qu'après le choc les deux corps se sépareront avec cette même vitesse BA; en d'autres termes, si le corps B a parcouru dans le temps i l'espace BA, au bout d'un second espace de temps égal à i, les deux corps se trouveront distants d'une longueur égale à AB.

On sait en effet que A reçoit de l'impulsion du corps B une certaine vitesse. Soit AC cette vitesse; elle doit être inférieure à celle,

Fig. 68.

BA, avec laquelle B se déplaçait, car ce serait seulement si B était égal à A que A recevrait par le choc la vitesse BA {proposition I){' '*).

('" ) Il est intéressant de remarquer que Huygens a jugé utile de démontrer ce résultat en s'appuyant sur une hypothèse, c'est-â-dire sur un résultat expérimental, concernant te choc d'un corps petit par un plus grand (hypothèse IV). Il est problable que, s'il a jugé cette démonstration nécessaire, c'est à cause de l'erreur de Descartes dans sa quatrième règle sur le choc ( voir Chap. I, § 1 ).

('") A la vérité, celte hypothèse V n'est qu'on cas particulier de l'hypothèse de la conservation des forces yiieï, faite plus loin {voir note 183). Ce n'est pas une hypothèse distincte,

(■") Ce raisonnement n'est pas entièrement probant. La proposition I nout apprend que, si B est égal â A. A reçoit par le choc la vitesse BA; ce n'est pas «uflisant pour affirmer ce qu'afCrme Huygens. Manifestement, Hujgens considère