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sont les centres de graviié des grandeurs moyennes (proposition V). Mais la droile AE est égale à la droite Fi et la droite ET est égale à la droile AK; donc la droite entière AF est égaie à la droite entière FK, Donc le centre de gravité de la grandeur composée de toutes ces grandeurs est le poiiil F, Donc la grandeur A étant appliquée au point E, et la grandeur B au point A, ces grandeurs seront en équilibre autour du point F ('*).

[Par la méthode d'exhaustion, Archimède étend ce théorème aux grandeurs incommensurables ('').]

Les Ouvrages d'Archimède sont les plus importants, mais ne sont pas les seuls restes qui nous soient parvenus de la Mécanique des Grecs. Nous possédons un certain nombre de textes représentant la science alexandrine sur ce sujet, textes dont le moyen âge occidental a connu quelques-uns ('*). 11 convient de signaler que, dans certains de ces écrits, on voit des tentatives pour tenir compte, dans la Théorie du levier, du poids du levier lui-même.

§ 3. — Commentaires sur le principe dn levier.

Le Traité d'Archimède a un but plutôt mathématique que mécanique : son objet principal est la recherche des centres de gravité des figures planes. Il convient de voir maintenant ce que les modernes ont lire de l'Ouvrage du géomètre grec pour la constitution de leur Science mécanique. Nous ne pouvons mieux faire pour cela que de citer le très instructif commentaire que iagrange (") a donné du Principe du

(") On suppose dans celte démonstralion que, pour rechercher le centre de gravité de plusieurs grandeurs, toutes ces grandeurs Z etaat unifurmémeat réparties sur AK, on peut remplacer d'une manière quelconque quelques-unes de ces grandeurs par leur centre de gravité. Voir les observations de Ligrange dans la citation qui suit : elles sont une excellente analyse de la présente démonstration.

C) Le second Livre du Traité est consacré à la recherche dea centres de graiité de diverses Qgures planes.

( ") Voir Du HEU, Les origines de la Slnliçae, t. I, chap. V.

(■') LAunANOE, mathématicien français (1736-1H13). La Mécanique analytique » paru pour la première fois en 17S8. Nous citons ta 4' ^ition publiée en 18SS par M. G. Dahboux.

l6 LIVRE I. — ÉTUDES DE STATIQUE.

levier dans la première section de sa Mécanique analytique.

\. Archimëde... esl l'auteur du principe du levier, lequel consiste, comme le savent tous les mécanicien!:, en ce que, si un levier droitest chargé de deux poids quelconques placés de part et d'autre du point d'a|ipui, à des distances de ce point réciproquement proportionnelles auK mêmes poids, ce levier sera eu équilibre, et son appui sera chargé de la somme des deux poids. Arctiimède prend ce principe, dans le cas des poids égaux placés à des distances égales du point d'appui, pour un axiome de mécanique évident de soi-même, ou du moins pour un principe d'expérience ('•) ; et il i-amène à ce cas simple et primitif celui des poids inégaux, en imaginant ces poids, lorsqu'ils sont commensurables, divisées en plusieurs parties toutes égales entre elles, et en supposant que les parties de chaque poids soient séparées et transportées, de part et (l'autre, sur le même levier, à des distances égales, en sorte que le levier se trouve chargé de plusieurs petits poids égaux et placés à des distances égales, autour du point d'appui. Ensuite, il démontre la vérité du même théorème pour les poids incommensurables à l'aide de la méthode d'exhaustion, en faisant voir qu'il ne saurait y avoir équilibre entre ces poids, à moins qu'ils ne soient en raison inverse de leurs distances au point d'appui.

Quelques auteurs modernes, comme Stevin, dans sa Statique, et Galilée, dans ses Dialogues sur le mouvement, ont rendu la démonstralioo d'Archimède plus simple, en supposant que les poids attachés au levier soient deux paralliilépipèdes horizontaux pendus par le milieu, et dont les largeurs et les hauteurs soient égales, mais dont les longueurs soient doubles des bras de levier qui leur répondent inversement. Car, de cette manière, les deux parallélépipèdes sont en raison inverse de leurs bras de levier, et en même temps ils se trouvent placés bout à bout, en sorte qu'ils n'en forment plus qu'un seul, dont le point du milieu répond précisément au point d'appui du levier (■'). Archimède avait déjà

(") L^ posLulat que l'appui est chargé de la somme des deux poids n'est pas énonce eiplicitemenl par Archimède <i;oi> plus haut). Il est indispensable pourtant dans la démonstration de la proposition VI, quand Archimède remplace l'action d'un certain nombre de grandeurs Z sur le levier par celle de la grandeur A.

('^) On verra plus loin (§ i) le raisonnement de Galilée. Voici, en résumé, celui de Stevin :

Qu'on se figure le prisme homogène ABCD suspendu par son centre de gra-

employé une considération semblable pour déterminer le centre de gravité d'une grandeurcomposée de deux surfaces paraboliques, dans la première proposition du second Livre de V Équilibre des plans.

D'autres auteurs, au conlraire, ont cru trouver des défauts dans la démonstration d'Archimcde, et ils l'ont tournée de difTéreotes façons pour la rendre plus rigoureuse; mais il faut convenir qu'en altérant la simplicité de celle démonstration, ils n'y ont presque rien ajouté du côté de l'exactitude.

Cependant, parmi ceux qui ont cherché à suppléer à la démonstration d'Archimède sur l'équilibre du levier, on doit distinguer Huygens, dont on a un petit écrit intitulé : Demonstratio œquilibri bilancis et imprimé en 1693 dans le Recueil des anciens Mémoires de l'Académie des Sciences.

Hiiygens observe qu'Archintède suppose tacitement que, si plusieurs poids égaux sont appliqués à un levier horizontal, à distances égales les uns des autres, ils exercent la même force pour incliner le levier, soit qu'ils se trouvent tous du même côté du point d'appui ; soit qu'ils soient les uns d'un côté et les autres de l'autre côté du point d'appui; et, pour éviter cette supposition précaire, au lieu de distribuer, comme Archimède, tes parties aliquotes des deux poids commensurables sur le même levier, de part et d'autre des points où les poids entiers sont censés appliqués, il

TJté G; it est en équilibre. Supposons ensuite ce prisme coupé suÎTaot iâ section droite HIK, les deux parties AHKC, HBDK étant reliées par la tige rigide et sans masse EF; l'équilibre n'est pas rompu. Or, ce* deux parties sont des

poids qu'on peut coDsidérer comme appliqués sur le levier EP en leurs centres de ^trufité L, P. El il est facile de voir que les volumes des prismes AHKC, HBDK sont inversement proportion nols aux bras GL, GP.

Les diflicullés de ce mode de démonstration sont tes suivantes. Peut-un, saus troubler l'équilibre, couper le prisme en HK et supposer les deux prismes partiels r la tige EF uniquement en leurs centres de gravité 7 videmment les mêmes dilTicultés que celles qui se trouvent dans la on d'Archimède; mais il faut avouer, i notre avis, que, présentées insi, elles sont atténuées et qu'on accepte mieux l'appel i. l'expérience qu'elles xigenl.

l8 LtVnB I. — ETUDES DE STATIQUE.

les distribue de la même manière, mais sur deux autres leviers horizontaux et placés perpendiculairement aux extrémités du levier principal, en forme de T; de cette manière, on a un plan horizontal chargé de plusieurs poids égaux, et qui est évidemment en équilibre sur la ligne du premier levier, parce que les poids se trouvent distribués également et symétriquement des deux côtés de cette ligne. Mais Huygens démontre que ce plan est aussi en équilibre sur une droite inclinée à celle-là, et passant par le point qui divise le levier primitif en parties réciproquement proporlion- Delles aux poids dont il est supposé chargé, parce qu'il fait voir que les petits poids se trouvent aussi placés à distances égales de part et d'autre de la même droite; d'où il conclut que le plan et par conséquent le levier proposé doivent être en équilibre sur le même point.

Cette démonstration est ingénieuse, mais elle ne supplée pas entièrement à ce qu'on peut, en effet, désirer dans celle d'Archimède.

â. L'équilibre d'un levier droit et horizontal, dont les extrémités sont chargées de poids égaux et dont le point d'appui est au milieu du levier, est une vérité évidente par elle-même, parce qu'il n'y a pas de raison pour que l'un des poids l'emporte sur l'antre, tout étant égal de part et d'autre du point d'appui {"). Il n'en est pas de même de la supposition que la charge de l'appui soit égale à la somme des deux poids. Il parait que tous les mécaniciens l'ont prise comme un résultat de l'expérience journalière, qui apprend que le poids d'un corps ne dépend que de sa masse totale, et nullement de sa figure ('*)■ On peut néanmoins déduire

(") Ainsi que le fait remarquer M. Mach, cette affirmatiuii suppose une grande quantité d'eipérieoces négatives, d'où Ton a déduit, par exemple, que la couleur des bras de levier, la forme des poids, la position du spectateur, elc, sont sans iolluence.

(") Cf. noie 10. — D'Alembert est, je crois, le premier qui ait cherché â démontrer cette proposition ; mais la démoDstralion qu'il en a donnée dans les Mémoires de t'Acadëmie dei Science» de 1769 n'est pas entièrement satisfaisante. Cellr que Fourier a donnée depuis dans le V* Cahier du Journal de V École Polytechnique est rigoureuse el très ingénieuse; mais elle n'est pas tirée de la nature du levier {Note de Lagrange).

Voici celte démonstration de Fourier ;

M Je remarque d'abord que trois forces égales ... et dirigées suivant les trois rayons qui divisent le cercle en trois secteurs égaux se font manifestement équilibre. Maintenant, par chacun des points A et B d'une horizontale AB, je mène

celte vérité de la première en considérant, comme Huygens, l'équilibre d'un plan sur une ligne.

Pour cela, il q'j a (|u'à imaginer un plan triangulaire chargé de deux poids égaux aux deux extrémités de sa base, et d'un poids double à son sommet. Ce plan sera évidemment en équilibre, étant appuyé sur une ligne droite ou axe fixe, qui passe par le milieu des deux côtés du triangle; car on peut regarder chacun de ces c6tés comme un levier chargé dans ses deux extrémité» de deux poids égaux et qui a son point d'appui sur l'axe qui passe par son milieu ("•). Maintenant on peut envisager cet équilibre d'une autre manière, en regardant la base même du triangle comme un levier dont les extrémités sont chargées de deux poids égaux, et en imaginant un levier transversal qui joigne le sommet du triangle et le milieu de sa hase en forme de T, dont une des extrémités soit chargée du poids double placé au sommet, et l'autre serve de point d'appui au levier qui forme la base. Il est évident que ce dernier levier sera en équilibre sur le levier transversal qui le soutient dans son milieu, et <^ue celui-ci sera, par conséquent, en équilibre sur l'axe sur lequel le plan est déjà en

deux ligne» t

li font a applique

, calés, des angles équiva Dts A, B, C, D trois forci les entre elles. De plus

1e milieu de la ligne sollicité par deux forces doubles des précédentes et opposées Entre elles. Si la ligure est regardée comme un plan matériel et la disposition des forces telle qu'on le voit dans la planche, il est clair que toutes ces forces se détruisent, excepté celles qui doivent se faire équilibre conformément à la proposition à démontrer. »

(") Il faut envisager chacun de ces deux leviers séparément; ils sont en équilibre. On les relie ensuite entre eux d'une manière rigide par l'intermédiaire du plan que l'on suppose sans masse et l'on admet que celie lolidification, celle introduction de liaisons nouvelles ne (rouble pat l'équilibre. C'est U un postulat qui joue un grand rMe en Mécanique. On peut le considérer comme suffisamment évident, c'est-à-dire comme résultant assez directement de l'eipérience.

équilibre (*'). Or, comme l'axe passe par le milieu des deux c6lés du triangle, il passera aussi nécessairement par le milieu de la droite menée du sommet du triangle au milieu de sa base; donc le levier transversal aura son point d'appui dans le point du milieu et devra, par conséquent, être chargé également aux deux bouts; donc la charge que supporte le point d'appui du levier qui (ait la base du triangle, et qui est chargé à ses deux extrémités de poids égaux, sera égale au poids double du sommet et, par conséquent, égale à la somme des deux poids.

3. Celte proposition une lois établie, il est clair qu'on peut, ainsi qu'Archimède le fait, substituer à un poids en équilibre sur un levier deux poids égaux chacun à la moitié de ce poids et placés sur le même levier, à distances égales de part et d'autre du point oii le poids est attaché ; car l'action de ce poids est la même que celte d'un levier susjiendu par son milieu au même point et chargé, à ses deux bouts, de deux poids égaux chacun à la moitié du même poids; et il est évident que rien n'empêche d'approcher ce dernier levier du premier, de manière qu'il en fasse partie. Ou bien, ce qui est peut-être plus vigoureux, il n'y a qu'à regarder ce dernier levier comme étant tenu en équilibre par une force appli- . quée à son point de milieu, dirigée de bas en haut, et égale au poids dont les deux moitiés sont censées appliquées à ses extrémités; alors, en appliquant ce levier en équilibre sur le premiei' levier qui est supposé en équilibre sur son point d'appui ("), l'équilibre total subsistera toujours et, si l'application se fait de manière que le milieu du second levier coïncide avec l'extrémité

(") Il faut avouer que l'eipérteoce ne nous donne pas cette évidence d'une raçon très nette. Ici, en somme, au lieu de considérer la solidilication d'un système en équilibre, comme dans la noie précédente, nous raisonnons su contraire en disjoignant les liaisons d'un tel système ; le plan étant supposé en équilibre, nous détruisons sa rigidité pour rendre plus ou moins indépendants les levien formés respecti Terne ut par la base et par la médiane du triangle ; on ne voit pa» très bien ce qui va se passer.

Mais on peut invoquer ici la Euperposîtïun des équilibres, dont il sers question plus loin. Imaginons un levier identique à celui que forme la base du triangle,, avec celte seule diftérence que les forces qui le chargent i ses eitrémités soient dirigées de bas en haut. Superposons ce levier au plan en équilibre, d'une manière analogue i ce qui sera fait plus loin. On parvient ainsi à l'équilibre du levier transversal.

(") Et en solidifiant, par le principe de la note 20, l'ensemble des deui le-

CUAPITRB I. — LE LEVIER.

d'un des bras du premier levier, la force qui soutient le second levier pourra être censée appliquée au poids même dont ce bras est chargé et qui, étant soutenu, n'aura plus d'action sur le levier, mais se trouvera ainsi remplacé par deux poids égaux chacun à sa moîlié et placés de part et d'autre de ce poids sur le premier levier prolongé. Cette superposition d'équilibres est, en Mécanique, un principe aussi Fécond que l'est, en Géométrie, la superposition des figures (*').

Les déductions d'Archimède, comme celles de tous les géomètres grecs, présentent une certaine lourdeur, qui s'atténue notablement dans les écrits de ses successeurs (Galilée, Stevin, Huygens, Lagrange), mais ne disparaît pas complètement. Il est incontestable que sa méthode n'est pas une méthode de découverte; certainement ce n'est pas par elle, mais plutôt par l'intuition expérimentale, que l'esprit humain est parvenu à reconnaître, dans le produit PL du grave par le bras de levier, ce que M. Mach appelle la déterminante de l'équilibre.

Examinons maintenant la valeur démonstrative de ces déductions.

Ainsi qu'on l'a vu, tous les raisonnements rappelés dans ce qui précède invoquent, outre les demandes explicitement énoncées par Archimède, certaines intuitions expérimentales. Archimède suppose qu'il peut, dans la recherche d'un centre de gravité, remplacer quelques-unes des grandeurs qu'il compose parleur centre de gravité partiel(woi> note 12). Galilée et Stevin admettent qu'ils peuvent sectionner leur prisme sans troubler l'équilibre; Lagrange invoque le principe de la solidification et de la superposition des équilibres. Cela était nécessaire. Du simple fait de l'équilibre de poids égaux à des distances égales du point d'appui, il est manifeste qu'on ne

(") Il faut rattacher cette superpotilion des équilibret aui trois notion* communes énoncées par Guido Ubaido au début de sa Statique {cf. % 3). La manière de Lagrange est moins méuphysique que celle de Guide Ubaido. lequel pose un peu a priori, sans justification, la notion de grandeurs équilibres. Lagrange superpose des corps et les attache les uns aux autres; c'est très