VI LIVRE I. — KTUDES DE STATIQUE

peut pas déduire logiquement la proportion inverse des bras de levier.

A la vérité, Archimède et lotis ses successeurs, dit M. Mach {*•), firent un usage tacite et plus ou moins dissimulé de l'h)'polhèse que l'eflet d'une force P applifjuce à une dislance L d'un axe est mesuré par le produit PL. Il est d'une évidence immédiate que, dans le cas d'une disposition parfaiiemcni symétrique, l'équilibre subsiste quelle que soii la loi P/(L) d'après laquelle la déterminante de la rupture d'équilibre dépend de L ; il est par conséquent impossible de déduire, de la persistance de l'équilibre dans ce cas, la forme déterminée PL de cette loi. La l>ase fondatnenlale de la démonstraiion doit donc se trouver dans la Iran s formai ion que l'on a en vue ei s'y trouve en effet. Considérons un poids appliqué d*un côté de l'axe de rotation ; partageons-le en deux parties égales que nous déplaçons symétriquement par rapport au point de suspension primitif; une de ces parties se rapproche de l'axe de rotation exactement de la même quantité dont l'autre s'en éloigne. Faire maintenant l'hypothèse que dans ce déplacement l'action reste la même, c'est avoir déjà décidé de la forme de la loi qui fait dépendre le moment de la distance L.

Il y a donc, forcément, dans toute théorie du levier, une hypothèse plus ou moins explicite déterminant la forme de la fonction /(L).

Cette hypothèse est précisément faite sur la forme très apparente qu'indique M. Mach dans un écrit attribué à Euclide, signalé en i85i par le D' Woepcke qui l'a traduit de l'arabe et publié dans le Journal asiatique {'^) sous le titre : Le Livre d'Euclide sur la balance. Cet écrit n'est pas sûrement d'Euclide, mais il est peut-être en effet antérieur à Archimède.

Dans les travaux d'Archimède, Stevin, Galilée, Lagrange, l'hypothèse éclate moins aux yeux. L'idée que/'(L) se réduit à L doit s'introduire certainement quelque part dans leurs raisonnements, puisqu' n la trouve au bout. Mais elle s'in-

( "' ) La Mécanique. Exposé historique et critique de ion développement, par E. Mach (Iratluction Bertrand). Paris, 1904.

('') .!• série, l, XVIII, i85i, p. 217.

nHAFITBE I. — LE LBVIEil.

troduit d'une façon plus dissimulée. Est-ce un défaut? Non certes. Je dirais presque, sous une forme paradoxale et qui dépasse un peu ma pensée, que, dans les démonstrations qui sont à la base des théories physiques, le fait qu'une idée s'introduit d'une façon dissimulée est excellent, car c'est une preuve qu'on y fait appel à des notions que nous impose d'une manière invincible notre intuition expérimentale. Le tout est de voir si, dans l'exemple qui nous occupe, les affirmations que l'on invoque peuvent être considérées comme résultant suffisamment de notre expérience journalière. Or, il me semble difficile de refuser ce caractère à la considération du prisme et surtout à la superposition des leviers de Lagrange. On remarquera que ce ou ces leviers superposés sont une manière de rendre concrète la démonstration de la proposition VI d'Archimède, et par suite de la rattacher aux faits d'observation.

Enfin, laissons même de côté la valeur démonstralive des considérations d'Archimède et de ses successeurs. Dans les raisonnements relatifs aux principes qui sont à la base d'une science physique, il faut voir moins des démonstrations que des analyses logiques, où l'on cherche à scruter diverses notions, à les rattacher les unes aux autres ou à les distinguer entre elles. A ce point de vue, les déductions d'Archimède qui « montrent la similitude du simple et du compliqué et établissent une même conception pour tous les cas » (Mach) présentent une grande valeur. Au même point de vue, il est important d'établir un lien, comme le fait Lagrange, entre la loi du levier et les principes de solidification et de superposition des équilibres : si l'on peut prétendre qu'il est aussi difficile d'admettre a priori ces principes que la loi du levier elle-même, il est fort intéressant de rattacher celle-ci à ceux-là, parce que ceux-là sont très généraux et servent dans beaucoup d'autres questions de Mécanique; on sait, en effet, que la solidification est une méthode générale, encore en usage aujourd'hui, pour démontrer certaines conditions nécessaires d'équilibre.

LIVIIB I. — ÉTUDKS DB STATIQtB.

— Extension du principe du levier.

Notion générale de moment.

Continuons la citation de Lagrange donnée dans le paragraphe précédent.

i. On peut donc regarder l'équilibre d'un levier droit et horizontal, chargé de deui poids en raison inverse de leurs distances au poini d'appui du levier, comme une vérii.é rigoureusement démontrée; et, par le principe de la superposition, il est facile de l'étendre à un levier angulaire quelconque, doni le point d'appui serait dans l'angle et dont les bras seraient tirés en sens contraire par des forces perpendiculaires à leurs directions. En effet, il est évident qu'un levier angulaire à bras égaux, et mobile autour du sommet de l'angle, sera tenu en équilibre par deux forces égales appliquées perpendtcnlairement aux esirémiiés des deux bras et. tendant à les faire tourner en sens contraire. Si donc on a un levier droit en équilibre, dont l'un des .bras soit égal à ceux du levier angulaire et soit chargé à son exirémité d'un poids équivalent à chacune des puissances appliquées au levier angulaire, l'autre bras étant chargé du poids nécessaire pour l'équilibre, et qu'on superpose ces leviers de manière que le sommet de l'angle de l'un tombe sur le point d'appui de l'autre, et que les bras égaux de l'un et de l'autre coïncident et n'en forment plus qu'un, la puissance appliquée au bras du levier angulaire soutiendra le poids suspendu au bras égal du levier droit, de manière qu'on pourra faire abstraction de l'un et de l'autre et supposer le bras formé de la réunion de ces deux-ci anéanti. L'équilibre subsistera donc encore entre les deux autres bras formant un levier angulaire tiré à ses extrémités par des forces perpendiculaires et en raison inverse de la longueur des bras, comme dans le levier droit.

Or une force peut êire censée appliquée à tel point que l'on veut de sa direction. Donc deux forces, appliquées à des points quelconques d'un plan retenu par un point fixe et dirigées comme on voudra dans ce plan, sont en équilibre lorsqu'elles sont, entre elles en raison inverse des perpendiculaires abaissées de ce point sur leurs directions; car on peut regarder ces perpendiculaires comme formant un levier angulaire dont le point d'appui est le

CHAPITNB I. — LE LBVIEH. 25

poÏDl fixe du plan : c'esl ce ciu'on appelle maintenant le principe des moments, en entendant par moment le produit d'une force par le bras du levier par lequel elle agit.

Ce principe général suffit pour résoudre tous les problèmes de la Statique. La considération du treuil l'avait fait apercevoir dès les premiers pas que l'on a faits, après Archimède, dans la théorie des machines simples, comme on le voit par l'Ouvrage de Guido Ubaido, intitulé : Mechanicorum liber, qui a paru à Pesaro, en 15^7; mais cet auteur n'a pas su l'appliquer au plan incliné, ni aux autres machines qui en dépendent, comme le coin et la vis dont il n'a donné qu'une théorie peu exacte {'*).

Il convient de rectifier ces indications historiques de Lagrange d'après les résultats de la critique moderne.

Les Alexandrins connaissaient certainement la notion de moment dans le cas du levier oblique. On en trouve une vague indication dans Pappus, à propos du plan incliné. Elle est formulée nettement par Héron [Les Mécaniques ou l'Elévateur). Mais la partie de l'Ouvrage de Héron où elle se trouve n'a été connue des modernes occidentaux que par la publication faite, d'après la version arabe, par M. Carra de Vaux, en 1894.

Au XIII* siècle, un mathématicien inconnu a retrouvé la notion générale de moment dans le problème du levier angulaire soumis, à ses deux extrémités, à des forces parallèles, à des poids. Mais sa démonstration n'est pas fondée sur le levier; elle se rattache au principe des travaux virtuels et nous en parlerons plus loin (Chap. III, § 3).

Les manuscrits de Léonard de Vinci (i/iSi-iSig) montrent qu'il avait de la façon la plus nette la notion de moment dans le cas général d'un corps solide tournant autour d'un axe fixe et soumis à des forces perpendiculaires à cet axe. Léonard appelait un tel corps un circonvolubile.

En quelque partie que soit liée la corde ne de la partie ac, cela

(*<) Gaido Ubaido ramène bien la vis au plan incliné; mais il adopte la loi du plan incliné qui se trouve dans Pappus (voir note 45) et qui est inexacte.