CHAPITRE IV. — CONCEPTIONS GÉNÉRALES. 1S

Proposition I. — Si deux mobiles égaux parcourent en des lemps égaux des circonférences inégales, la force centrifuge dans la pltis grande circonférence et la force centrifuge dans la plus petite sont comme sont entre elles tes deux circonférences ou leurs diamètres.

Sur les deux cercles de rayons ÀB et AC, deux mobiles égaux

tournent dans le même temps. Prenons sur l'un et l'autre deux arcs très petits semblables BD, CE et sur les tangentes en B et en C, portons BF, CG respectivement égaux à ces arcs. Le mobile qui parcourt le cercle BD a une tendance (conatiis) à s'éloigner du

déLermiae paa eatièrement celui-ci; un ourps solide quelconque ayant une droite liie cotocidant avec le fli peut eo jouer le rûle. Pour mettre le procédé d'Huygens k l'abri de toute objection dans le cas général, il faudrait donc démontrer au moins ce cai particulier du théorème cinématique de Reech-Audrade : l'accélération Daissante est la même par rapport i tous ces systèmes d'axes ijaal une droite commune. Mais dans l'application que fait Huygens, cette difficulté ne 9e présente pas; ce n'est pas un seul point et uo seul Hl qu'étudie Huygens, c'est tous les points possibles répartis sur la circonférence de la roue et retenus tous par des fils, manifestement dans des conditions identiques; le système de référence peut être déterminé par la condition que tous ces (ils en soient des droites fiies; c'est alors forcément la roue elle-même; c'est elle en effet que choisit Huygens.

Pour déterminer l'accélération naissante, par rapport à la tout, Huygens admet (tiote 195) que, une fois le fit conpé, le point aura un mouvement rectiligne uuiforme par rapport i l'espace dans lequel tourne la roue. Mais Reech et Andrade remarqueront que la méthode s'appliquerait quelle que soit la loi qui exprimerait, dans cet espace, le mouvement du point libre ou, comme ils disent, le cours naturel des choses. Après celte remarque, il est loisible, si l'on veut, de ne pas attribuer une valeur absolue au principe de l'inertie et de ne le prendre que comme une expression particulière, provisoire et approximative, de ce que nous observons en général par rapport aux systèmes d'axes où nous avons coutume de nou, pl.co.

„Gooi^le

|88 LIVRE II. — ÉTUDES na dthamiqub.

centre avec un mouvement naturelle ment accéléré suivant la tension de son fit et à parcourir ainsi, dans un certain temps, l'espace DF. Dans le cercle CE le mobile a une tendance (conaïus) semblable, mais telle qu'il décrirait, dans le métne temps, l'espace EG. Par suite, autant de fois DF est plus grand que EG, autant de fois la force (vis) qui tire le fil dans le g;rand cercle sera plus grande que celle qui le tire dans !e petit. Mais FD et GE sont entre eux comme BF et CG ou comme BA et AC. Donc la force centrifuge (vis centrifuga) dans le grand cercle et la force centrifuge dans le petit seront dans le même rapport que les circonférences, c'est-à-dire que leurs diamètres. c. q. f. d.

Proposition II {'**). — Si des mobiles égaux tournent dans le même cercle ou dans des cercles égaux avec des vitesses inégales, mais l'un et l'autre d'un mouvement uniforme, la force centrifuge {vis recedendi a centra) du plus rapide sera à la force centrifuge du plus lent en raison doublée des vitesses, c'est-à-dire que, si les fils qui les retiennent se retournent vers le bas au centre de la roue et soutîenntint des poids qui s'opposent à la force centrifuge des mobiles et l'équilibrent exactement, ces poids seront entre eux comme les carrés des vitesses.

[La valeur de la force centrifuge est ainsi entièrement déterminée. Suivent quelques applications parmi lesquelles il y a lieu de citer la démonstration de la pîropriëté classique du régulateur parabolique d'être isochrone.

Le Traité se termine par diverses propositions relatives au pendule, notamment par l'étude, faite pour la première fois, du pendule conique lorsque le poids décrit une circonférence borizontale ('•').]

('") Il nous paraît inutile de reproduire les démonstrations des propositions

('") Il est intéressant de rappeler que ses études sur la force centrifuge ont permis â Huygens d'expliquer la variation de la pesanteur apparente avec la latitude. Il avait liii-mème proposé d'employer le pendule à la mesure de l'intensité de la pesanteur. Des mesures faites par Richer en Europe et à Cayenne montrèrent que la pesanteur était plus faible prés de l'équateur. Huygens en aperçut l'explication dans la force centrifuge due i la rotation de la Tecce.

— CONCEPTIONS GÉNÉRALES

§2- — Courant énergétique. La force des corps en mouvement.

Dans un petit écrit paru en 1 686 dans les Acla eruditorum de Leipzig, Leibniz (1646-1716) revient sur la notion de force des corps en mouvement et propose d'estimer cette force autrement que ne le faisaient Descartes et ses disciples. Ce Mémoire, écrit en latin, est intitulé :

« Courte démonstration d'une erreur mémorable de Descartes et d'autres savants, touchant la prétendue loi naturelle en vertu de laquelle Dieu conserverait toujours la même quantité de mouvement, loi dont ils font un usage fautif mêm.e en Mécanique. •>

Plusieurs malhématîciens, voj-ant que, dans les cinq machines ordinaires, la vitesse et la masse se compensent, eâtiment généralement la force motrice (vint motricem) par la quantité de mouvement, c'esl-à-dire par le produit du corps par sa vitesse. Pouiparler d'une manière plus géométrique, soient deux corps de même espèce en mouvement agissant à la fois par leur masse et par leur mouvement; ces savants disent que leurs forces sont en raison composée des corps, c'est-à-dire des masses, et de leurs vitesses. D'autre part, il est conforme à la raison de dire que ta même somme de puissance motrice se conserve dans la nature; que cette somme ne diminue pas, puisque nous n'observons jamais qu'un corps perde aucune force qui ne soit transferrée à une autre; que cette somme n'augmente pas non plus, puisque le mouvement perpétuel est à ce point irréel qu'aucune machine et par conséquent pas même le inonde entier ne peut conserver sa force sans nouvelles impulsions extérieures. Aussi Descartes, qui tenait la force motrice et la quantité de mouvement pour équivalentes, a-l-il déclaré que Dieu conservait la même quantité de mouvement dans le monde.

Je veux montrer qu'il y a une grande différence entre la force motrice et la quantité de mouvement. Pour cela, je suppose d'abord qu'un corps tombant d'une certaine hauteur acquiert la force d'y remonter si la direction de sa vitesse est convenable et si aucun obstacle extérieur ne l'empêche; par exemple un pendule remon-

igo LIVRE II. — ETVDEB DE nTSUHQVE.

terait précisémenl à la hauteur d'où il est descendu si la résistance de l'air et quelques autres petits obstacles D'absorbaieot une partie de sa force; nous ferons abstraction de ces obstacles. Je suppose en outre qu'il faut la même force pour élever un corps A d'une livre à une hauteur CD de quatre aunes que pour élever un corps B de quatre livres à une hauteur EF d'une aune ('*"). Tout cela est admis et par les Cartésiens et par les autres philosophes et mathématiciens de notre temps. Il suit de là que le corps A, tombé de la hauteur CD, a précisément acquis autantde force que le corps B tombé de EF. Car le corps A, venu de C en D, possède en D ta force de remonter jusqu 'en C, par notre première hypothèse, c'està-dire la force d'élever un corps d'une livre, lui-même, à quatre aunes. De même B, tombé de E en F, possède en F, par notre première hypothèse, la force de remonter en E, c'est-à-dire la force d'élever un corps de quatre livres (lui-même) à une aune. Donc, par la deuxième hypothèse, la force du corps A en D et celle du corps B en E sont égales.

Voyons maintenant si les quantités de mouvement le sont aussi. Ici, nous allons trouver une très grande différence. Je le prouve. Galilée a démontré que la vitesse acquise dans la chute CD était double de la vitesse acquise dans la chute EF. Multiplions donc le corps A, qui est comme i, par sa vitesse qui est comme 2; le produit, soit la quantité de mouvement, sera comme 2. Au contraire multiplions le corps B, qui est comme 4i p^i' sa vitesse qui est comme 1 ; le produit, soit la quantité de mouvement, sera comme 4- La quantité de mouvement du corps A en D est donc la moitié de celle du corps B en F, tandis qu'un peu plus haut nous avons trouvé que leurs forces sont égales. Il y a donc une grande diSTérence entre la force motrice et la quantité de mouvement, et l'une ne peut être évaluée par l'autre. C'est ce que nous nous proposions de démontrer. Notre raisonnement montre comment la force doit être évaluée par la quantité d'effet qu'elle peut produire, par exemple par la hauteur où elle peut élever un corps grave de grandeur et d'espèce données, et non par la vitesse qu'elle peut lui imprimer. En effet ce n'est pas une force double, c'est une force encore plus grande qu'il faut pour donner à un même eorps une vitesse double.

D'ailleurs qu'on ne s'étonne pas si, dans les machines ordinaires

{"') Voir la citation de Descartes faite au Livre I, Chapitre 111, § 3.

CHAPmB IV. — GOMCBPTIONS GKNÉULBS. igi

(levier, treuil, poulie, coin, vis et autres semblables), l'équilibre a lieu lorsque la grandeur d'uo des corps est compensée par la vitesse que la disposition de la machine donnerait à l'autre, c'està-dire lorsque tes grandeurs [les corps sont supposés de même espèce ('*')] sont réciproquement comme tes vitesses; c'est-à-dire encore lorsque la même quantité de mouvement tend à se produire de part et d'autre. Là en effet il arrive encore que, de part et d'autre, les quantités d'effet futures sont égales, nous voulons dire les hauteurs de descente ou d'ascension, de quelque cdté que l'équilibre soit rompu. Ainsi il arrive là par accident que la force peut être estimée par la quantité de mouvement. Mais il y a d'autres cas, comme celui que nous avons signalé plus haut, ou cette coïncidence n'existe plus.

11 faut donc dire que les forces sont en raison composée des corps (de même poids spécifique ou densité) et des hauteurs génératrices des vitesses, c'est-à-dire des hauteurs le long desquelles les corps eo tombant pourraient acquérir leurs vitesses, ou plus généralement (puisque quelquefois aucune vitesse n'a été produite jusque-là) des hauteurs devant être engendrées. Il ne faut pas multiplier les corps par les vitesses elles-mêmes, comme cela paraît plausible au premier abord, et comme plusieurs l'on) pensé. De là sont nées beaucoup d'erreurs qui se trouvent dans les écrits matbématico-mécaniques des RR. PP. Honoré Fabri et Claude Dechales ainsi que de J.-A. Borellî et d'autres savants, d'ailleurs éminents dans ce genre d'études. C'est là la cause, je pense, qui a fait mettre en doute récemment, par quelques hommes très savants, la régie d'Huygens relative au centre d'oscillation des pendules, règle pourtant très exacte.

Leibniz eut, au sujet de l'objection qu'il présentait ainsi à Descartes, une controverse avec l'abbé de Conti. Sans entrer dans le détail de cette discussion, citons les passages suivants de la réplique de Leibniz (1687), qui sont intéressants.

Afin aussi de prévenir le doute de ceux qui penseraient satisfaire à mon objection en disant que la matière insensible qui presse les corps pesants de descendre et fait leur accélération a perdu

(-" ) CesL-i-dirc de même poids spécifique.

iga LIVRE II. — ETUDES DE DVNA1IIQVB.

juslement la quantité de mouveinenl qu'elle doone à ces corps, je réponds que je demeure d'accord de cette pression qui est cause de la pesanteur, et je crois que cet éther perd autant de force (mais non pas autant de mouvement) qu'il en donne aux corps pesants^"*); mais que tout cela ne fait rien à résoudre mon objection, quand j'accorderais même (contre la vérité) que l'éther a perdu au tant de mouvement qu'il en a donné. Car mon objection est formée exprès de telle sorte qu'il n'importe point comment la force a été acquise, dont je fais abstraction pour ne pas entrer en dispute sur aucune hypothèse. Je prends la force e.i la vitesse acquise telle qu'elle est.... et là-dessus je fais voir. . . . qu'il se peut et même se doit faire que la quantité de mouvement soit diminuée ou augmentée dans les corps, pendant que la même force demeure.

Au lieu du principe cartésien, on pourrait établir une autre loi delà nature que je liens la pi us universelle et la plus inviolable, savoir qu'il y a toujours une parfaite équation entre la cause pleine et l'effet entier. . . . Pour faire mieux voir comment il faut se servir de cet axiome et pourquoi Descartes et d'autres s'en sont éloignés, considérons sa troisième règle du mouvement pour servir d'exemple et supposons que deux corps B et C chacun d'une livre aillent l'un contre l'autre, B avec une vitesse de loo degrés et C avec une vitesse de i degré (*"), Toute leur quantité de mouvement sera 101. Mais si C avec sa vitesse peut monter à un pouce de hauteur, B pourra monter avec la sienne à loooo pouces; ainsi la force de tous les deux sera d'élever une livre à loooi pouces. Or, suivant cette troisième règle cartésienne, après le choc ils iront ensemble de compagnie avec une vitesse comme 5o et demi, afin qu'en la multipliant par 2 (nombre de livres qui vont ensemble après le choc) il revienne la première quantité de mouvement 101 . Mais ainsi ces 2 livres ne se pourront élever ensemble qu'à une hauteur de a55o pouces et un quart, ce qui vaut autant que s'ils avaient la force d'élever une livre à 5ioo pouces et demi, au lieu

( ^" ) Rapprochez cette phrase de ce que nous avons dit, dans le paragraphe 3 du Chapitre 1, en analysant les idées fondamentales du courant énergétique, notamment ia manière dont l'idée d'énergie permet d'eiprimer l'action d'un corps sur un aalre (note 127).

("") Pour bien être dans le cas de la troisième règle de Descartes, il faut supposer [voir note 99) que B et C vont dans le même sens avant le choc. La discussion de Leibniz convient d'ailleurs â ce cas.