CHAPITRE IV. — CONCBITIONS eKNÉHALBS. igS

qu'avant te choc il y avait la force d'élever une livre à lOooi pouces. Ainsi presque la moitié de la force sera perdue eo vertu de cette règle sans aucune raison et sans être employée à rien {"")■

Leibniz est revenu sur la question dans son Spécimen dynamicum, publié en 1695.

[Leibniz commence par déclarer qu'il y a dans les corps autre chose que l'étendue {extensio), à savoir la force de la nature (vis naturœ) qui y a été placée par le Créateur.]

La force active {vis activa) (que quelques-uns appellent assez heureusement virtus) est double : la primitive est attachée à toute substance corporelle (j'estime, en eflet, qu'un corps complètement au repos est chose contraire à la nalure); la dérivée, résultant du conQit des corps entre eux, s'exerce de façons diverses, comme par une limitation de la primitive {'"*). ■ . ■

C'est par la force dérivée que les corps agiïtsent les uns sur les autres ou subissent l'action les uns des autres. Sous ce nom, nous entendrons ici seulement celle qui est attachée au mouvement local et qui, en retour, tend à produire le mouvement local. Nous savons, en cfTel, que tous les aiures phénomènes matériels peuvent s'expliquer par le mouvement local. Le mouvement est un continuel changement de lieu; il a donc besoin du temps. Un mobile en mouvement, comme il a du mouvement dans le temps, a de

("*) En somme, la méthode de Leibniz ressemble beaucoup à celle de Descartes; c'est une méthode métaphysique. Ses idées sont certainement plus proches de la vérité que celles de Descarlea; elles ne sont pas eiemptes d'erreur cependant. La force des corps en mouvement, telle qu'il la mesure, ne se conserve dans le choc des corps que si ceui-ci sont parrailement élastiques. La troisième régie cartésienne, que Leibniz critique ici, est eiacte si les corps sont parfaitement mous {cf. note 99).

Huygens admet, comme Leibniz, ta conservation des forces vives dans le choc. Mais il ne donne pas à ses hypothèses un tour métaphysique, La restriction, pourvu que les corpt soient parfaitement élastiques, ne détonnerait nullement dans les énoncés qu'il en d»nne. Elle détonnerait, au contraire, chez Leibnii qui aurait besoin d'expliquer, après ses affirmations si absolues, pourquoi la non-élasticité des corps permettrait la disparition d'une partie de la force.

On sait d'ailleurs aujourd'hui que, cette explication, Leibniz pourrait la trouver dans les phénomènes calorifiques qui accompagnent le choc des corps mous. l\ est donc incontestable que ses idées constituent un progrés sur celles de Descartes et de Wallis. Dans l'usage qu'il tait, à la manière de ces derniers, du procédé métaphysique, il choisit plus heureusement qu'eux sa fonction énergie.

('") C'est toujours le procédé métaphysique.

■ gj LirU fl. — ÉTUDES DB OTNAMIQDB.

même, à un certain instant, une vitesse La vitesse prise avec

sa direction s'appelle conatus. L'impettts est le produit de la masse (moles) du corps par sa vitesse, el sa quantité est ce que les Cartésiens appellent, d'WaUiiude, quanlité de mouvement (*"*)■

L'impetus (quoique étant chose momentanée) est fait d'une infinité de degrés imprimés successivement au mobile; il a un certain élément, de l'infinie répétition duquel it peut nattre. Imaginez, dans le plan de cette feuille, un tube \C tournant avec une vitesse uniforme autour du point C immobile, et un globe B, placé dans ce tube, qui, toute attache ou tout empêchement étant rompu, commence à se mouvoir par la force centrifuge. Evidemment, au di'but, le conatus pour s'éloigner du centre, par lequel le globe B tend vers l'extrémité A, est ioliniment petit par rapport à Vimpetus qu'il a déjà du fait de la rotation et avec lequel le globe B, entraîne avec le tube lui-même, tend de D vers (D), en conservant sa distance au centre. Mais l'impression de la force centrifuge se continuant quelque temps par la rotation précédente, il naîtra forcément dans le globe un impetus centrifuge (D)(B) comparable à l'impetus D(D). On voit par là que le nisus est double; il j a le nisus élémentaire ou infiniment petit que j'appelle sollicitation (solliciCatio), et celui qui est formé par la continuation ou la répétition des nisus élémentaires ; c'est Vimpetus lui-même. Ce n'est pas, certes, queje veuille que ces entités mathématiques se trouvent réellement dans la nature; mais elles servent pour faire, par une abstraction de l'esprit, des estimations soignées.

La force (vis) aussi est double. La force élémentaire, que j'appelle aussi morte parce qu'en elle n'existe pas encore de mouvement, mais seulement une sollicitation au mouvement, est comme celle du globe dans le tube ou de la pierre dans la fronde, tant qu'elle est retenue par la corde; l'autre est la force ordinaire, unie au mouvement actuel, et je l'appelle vive : des exemples de force morte sont donnés par la force centrifuge, par la gravité ou force centripète, par la force avec laquelle un ressort tendu commence à se débander. Mais dans la percussion, qui est produite par un grave tombant déjà depuis quelque temps ou par un arc se débandant pendant quelque temps ou par toute autre cause, la

GHAPinB IT. — GONGKPnONS GÉNÉULES. I9S

force «st vive et elle naii d'une iofinitë d'impressions continaées de la force morte —

Les ancienSf autant qu'on le sait, n'eurent que la science des forces mortes; c'est celle qu'on appelle Mécanique et qui traite du levier, de la vis, du plan incline.... de l'équilibre des liqueurs et d'autres problèmes semblables; od n'j étudie que le premier conatus des corps entre eux, avant qu'ils n'acquièrent un impetus par leur action (**')■

[Leibniz explique comment >1 est «rrivé à l'estimation de la force vive par un effet qu'elle produit, dans lequel elle se consume entièrement, et qu'il appelle pour cela vio/enl.]

J'ai choisi, parmi les effets violents, celui qui est le plus susceptible d'homogénéité ou de division en parties semblables et égales, comme est l'ascension d'un corps doué de gravité, car l'élévation d'un grave à deux ou trois pieds est précisément double ou triple de l'élévation du même grave à un pied, rt l'élévation d'un grave double a un pied est exactement double de l'élévation d'un grave simple à un pied; par conséquent, l'élévation d'un grave double à trois pieds est sextuple de l'élévation du grave simple à un pied (***). Je suppose, toutefois (au moins pour la démonstration, car, dans la réalité, les choses sont peut-être autrement, mais l'erreur est insensible), que les graves ont même gravité à toutes les altitudes. Dans un ressort, en effet, il n'y a pas aussi facrlemenl bomogénéité. Comme, donc, je voulais comparer des corps différents ou doués de vitesses différentes, j'ai vu sans difficulté que, si le corps A était simple et te corps B double, et si leurs vitesses étaient égales, la force du premier était simple, celle du second double, puisque précisément ce qui est posé une fois dans l'un l'est deux fois dans Fautre. Car, il 7 a dans B deux fois un corps égal à A et animé de la même vitesse, et rien de plus. Mais si les corps A et C sont égaux et si la vitesse de A est simple, celle de C double, je vojais que ce qui est dans A n'est pas exactement double dans C, puisque la vitesse est bien doublée, mais non le corps. Et j'ai vu que c'était là l'f^rreur de ceux qui crurent que la force est doublée par le seul doublement d'une modalité. De même, j'ai observé

{*•"•) Voir la Tio de \» note 309. — La aotion d« conatia est ici la mimt que dans Hiijgeas (note 193), ce qui n'est peut-être ptis très conforme â la déOnition posée plus haut par Leibniz (note 207).

196 LIVKB II. — BTVDEB DB DmkUlQVS.

jadis et enseigné que le véritable art d'estimer — non suivi jusqu'à présent, malgré la publication de tanld'élémeatsdemathémaLiques universelles — consiste en une réduction à quelque chose d'homogène, c'est-à-dire à une répétition exacte et complète, non seulement des modes, mais encore des choses. De cette méthode, aucun exemple meilleur ou plus clair ne peut être donné que ce que je dis dans la présente discussion (^'>*),

("*} Leiboii doui parait se faire illusion sur la yalenr de la i^gle qu'il donne ponr faire une bonne estimalion, et par laquelJe il recommande de diviser les choses en parties semblables et égales. On pourrait, semble- t-il, avec cetLe règle justiSer aussi bien l'évaluation de la force vive par te produit mv que par le produit mv' Prenons, en effet, comme elTet de la force vive destiné à la mesurer, l'élévaLian d'un poids pendant un certain temps. N'est-il pas assez naturel d'admettre que la force viïe qui peut faire remonter un poids de 1 livre pendant 1 secondes est double de celle qui peut faire remanier 1 livres pendant i seconde? Or, si l'on adopte cette régie, on est conduit t évaluer la force vite par le produit mv.

toujours bon & suivre, pour éclaircir une noiion, de l'analyser de manière à la réduire i des éléments simples. Faisons abstraction du tour trop absolu que Leibniz donne, comme Descartes, k sa pensée. Il n'en reste pas moins qu'il aperçoit l'importance de la notion du travail que peut développer un corps en mouvement, et par là l'iutérèt de la considération du produit me'.

Voici donc, en résumé, les conceptions générales auiquelles parvient L^eibniz.

La force vive d'un corps en mouvement se conserve. Elle n'est chan|;ée que par l'action de corps étrangers qui perdent autant de forre vive qu'ils en donnent au premier corps (voir note 303). L'action de ces corps est une /orée morte et c'est la répétition des impressions de la force morte qui fait varier la force vive i^voir note 207). La force morte peut donc se mesurer par la force vive qu'elle produit pendant une partie élémentaire du mouvement.

De li le moyen de rattacher la notion de force statique à la notion de force des corps en mouvement. Leibniz n'est sans doute pas assex ezplicite sur ce point, mais on peut compléter sa pensée comme suit ; la force statique est la

certaine force vive en agissant pendant un certain temps, ou bien le long d'un certain chemin ; ce sera alors soit le quotient de l'élément de force vive par l'élément de temps, soit le quotient de l'élément de force vive par l'élément de chemin. Comment fixerons-nous noire choix entre ces deux modes d'évaluation ?

Ce choix est imposé, si nous voulons que notre force morte soil quelque chose de comparable i. un poids. En effet, Leibniz établit l'équivalence entre la force vive estimée par le produit mv' et l'action d'un poids sur un certain chemin. Si donc nous adoptons l'évaluation leibnizienne de la force vive, la force morte est le quotient de la variation de mv' par le chemin élémentaire.

Si, au contraire, nous estimions la force vive par le produit mv. cela reviendrait, comme nous l'avons montré plus haut, à établir une équivalence entre la force vive et l'action d'un poids pendant un certain temps. Voulant toujours que notre force morte soit analogue i un poids, nous serions conduit i diviser la variation de mv par l'élément de temps,

Les deux procédés nous conduisent i la même estimation "i-rj de la force.

Il est intéressant de remarquer que l'intervention des idées énergétiques permet

GHAPITBB IV. — CONCEPTIONS GENERALES. ig?

[Se référant donc à cet effet de la Torce vive qu'est l'élévation des graves à une certaine hauteur, effet qu'il considère comme susceptible de division en parties égales, Leibniz montre, en s'appuyant sur les ibéorèmes de Galilée relatifs à la chute ou à l'ascension des corps pesants, que les forces des corps, en général, sont en raison composée de la raison simple des corps et de la raison doublée des vitesses.}

La conception leibnizienne des forces vives et àt& forces mortes a joué un g;rand rôle dans la Science du xv!!!" siècle. Complétée par l'énoncé du théorème des forces vives admis a priori, à la suite d'Huygens et de son Horologium oscillalorium, comme principe fond:tmental, elle a constitué la doctrine des forces vives, sur laquelle les mécaniciens se sont divisés en partisans et en adversaires. Nous reviendrons sur cette querelle (deuxième Partie, Livre IH). Cotitentonsnous de donner ici un exemple de l'utilisation des idées de Leibniz en citant te début du Mémoire de Courtivron intitulé Recherches de Statique et de Dynamique où l'on donne un nouveau principe général pour la considération des corps animés par des forces variables suivant une loi quelconque {Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, 1748 et 1749) ("'•)-

Ce principe général est que, de toutes les situations que prend successivement un système de corps animés par des forces quelconques et liés les uns aux autres par des Gis, des leviers, ou par tel autre moyen qu'on veuille supposer, celle où le système a ia plus grande somme des produits des masses par les carrés des vitesses, c'est-à-dire la plus grande force vive, est la même situation que celle où il le faudrait placer en premier lieu pour qu'il restât en équilibre.

La métaphysique générale de ce principe est assez simple. Une quantité variable quelconque qui croit par degrés infiniment petits devient la plus grande dans le même instant où elle cesse d'augmenter, c'est-à-dire où son accroissement et par conséquent sa

de jniUfier, dans une ceruiae mesure, le lieo eolre la (orca siaLique et l'accélératioD. C'est un pointqueaouiaroni d'ailleurs déji reRcoiitré(voirooies ISl et 193;. ("■) Nous aïonsdéjA dit ua mot de ce Mémoire. Note 79.

198 LIVBB II. — ÉTUDB8 DB DYNAIHQIIK.

canse sont zéro. Or iia sjslème de corps, dont la force eolière augmente continuellemenl parce i|ue le résuliat des pressions agissantes fait accélération, aura atteint son maximum de force lorsque la somme des pressions sera nulle, comme il arrive lorsqu'il a pris la situation que demande l'équilibre ('").

Ce raisonnement pourrait ne satisfaire que les partisans des forces vives; ce n'est pas assez, je veux le rendre péremptoire et je pense d'ailleurs qu'il a besoin d'être développé : pour y parvenir, je vais examiner divers cas de mon principe et le démonti'er rigourensement dans tous.

[Suit un examen de quelques cas très particuliers où Courtîvron démonlre, en effet, directement son principe. Il fait remarquer que ses démonstrations s'abrègent en invoquant le ibéorème des forces vives; mais il donne des raisonnements sans l'invoquer (»'=).]

§ 3. — Les cauBes finales.

Nous avons vu, par les citations qui précèdent, que les conceptions métaphysiques n'avaient pas été étrangères au développement de la Mécanique.

Il est facile de trouver dans les idées de quantité de matière et dans celle de force des corps en mouvement la trace de la notion de substance, et les écrits de Leibniz sont fort instructifs à cet égard. Il est une autre tendance de l'esprit humain, abandonnée par la Science moderne, qui a joué un rôle important dans t'histoire qui nous occupe. C'est la tendance à l'explication des phénomènes naturels par les causes finales. Elle a conduit à des points de vue nouveaux et a im~ primé aux formules de la Mécanique un caractère qu'elles ont conservé.

Nous trouvons une manifestation intéressante de ces tendances dans le Mémoire de Maupertuis (i6()8-i 739), publié le i5 avril 1744 dans les Mémoires de l'Académie des

('") C'est la théorie de t.eîbniz.

('") Remarquons en passant que,

force* ïives dans les cas qu'il étudie.

CONCEPTIONS GENERALES

Sciences et intitulé : Accord des différentes lois de la nature qui avaient jusqu'ici paru incompatibles.

[Mauperluis y rappelle les lois de la réflexion elde la réfraction de la lumière ainsi que tes explications qu'on en a tentées. Descarles a assimilé la propagation et la réflexion de la lumière au mouvement d'une balle rencontrant une surface qui la réfléchit ou la dévie; mais son interprétation est imparfaite ponr la réfraction (*"). Newloo et Claîraiit ont fait intervenir, dans ce phénomène, la loi d'attraction.]

Fermât avait senti le premier le défaut de l'explication de Descartes ; il avait aussi désespéré apparemment de déduire les phénomènes de la réfriiction de ceux d'une balle qui serait poussée contre des obstacles ou dans des milieux résistants; mais il n'avait eu recours ni à des atmosphères autour des corps ni à l'attraction, quoiqu'on sache que ce dernier principe ne lui était nî inconnu ni désagréable; il avait cherché l'explication de ces phénomènes dans un principe loiit dîS'ërent et purement métaphysique.

Toul le monde sait que, lorsque ta lumière on quelque autre corps vont d'un point à un autre par une ligne droite, ils vont par le chemin et le temps le plus court.

On sait aussi... que, lorsque la lumière est réfléchie, elle va encore par le chemin le plus court et le temps le plus prompt. . .

Voilà donc le rnouvement direct et le mouvement réfléchi de la lumière qui paraissent dépendre d'une loi métaphysique qui porte que la nature dans la pro-luction de ses effets agit toujours par les moyens les plus simples.

[Dans le cas de la réfraction, si la lumière a des vitesses difTérentes dans les difl'érents milieux, la ligne droite joignant deux points appartenant à des milieux dîlTcrents est toujours le plus court chemin, mais non le plus prompt. Fermât, admettant que la lumière va moins vite dans les milieux plus denses, a posé en principe qu'elle suivait toujours le chemin le plus prompt et a retrouvé ainsi les lois de la réfraction.]

On vit plusieurs des plus célèbres matbémaliciens embrasser le seutiment de Fermai; Leibniz est celui qui l'a te plus fait valoir...

i, § 1) le passage de Descartes sur la logue. II suppose que la balle va plus

("') Nousav

ons donoé (Chap

Ce qu'il dit de

a rëfracLioR tal a

le milieu 1« plu

deoM.

Il liit si charmé du principe métaphjsique el de retrouver ici ses causes finales auxquelles on sait combien il était aLiaché, qu'il regxrda comme un fait indubitable que ta lumière se mouvait plus vite dans l'air que dans l'eau ou dans le verre.

C'est cependant tout le contraire. Descartes avait avancé le premier que la lumière se meut le plus vite dans les milieux les plus denses, et, quoique l'explication de la réfraction qu'il en avait déduite fût insuffisante, son défaut ne venait point de la supposition qu'il faisait. Tons les systèmes qui donnent quelque explication plausible des phénomènes de la réfraction supposent le paradoxe ou le confirment ('").

Or ce fait posé, que ta lumière se meut le plus vile dans les mitieux les plus denses, tout l'édifice que Fermai et Leibniz avaient bâti est détruit...

En méditant profondément sur cette matière, j'ai pensé que la lumière, lorsqu'elle passe d'un milieu dans un antre, abandonnant déjà le chemin Le plus court... pouvait bien aussi ne pas suivre celui du temps le plus prompt. . . La lumière ne suit aucun des deux, elle prend une route qui a un avantage plus réel : le chemin qu'elle tient est celui par lequel la quantité d'action est la moindre.

Il faut maintenant expliquer ce que j'entends par la quantité d'action. Lorsqu'un corps est porté d'un point à un autre, il faut pour cela une certaine action; celte action déjjend de la vitesse qu'a le cor|)s et de l'espace qu'il parcourt, mais elle n'est ni la vitesse ni l'espace pris séparément. La quantité d'action... est proportionnelle à la somme des espaces multipliés chacun par la vitesse avec laquelle le corps les parcourt.

[Mauperluis montre facilement qu'en vertu des lois de la réfraclion l'expression V X. AR 4- W x RB esl minimum, l'indice de réfraction étant r^- La même propriété a évidemment lieu dans la réflexion (*'*)■]

Je connais la répugnance que plusieurs mathématiciens ont pour le» causes finales appliquées à la Physique el l'approuve même

('>') Il faut entendre tous les systèmes donnant une explication du phénomène fondée sur l'assimilation de ta lumière i un projectile. Ces systèmes se rattachent tous plus ou moins à l'explication de Descartes. Mauperluis est vraïrucnt bien afiirmatif. On sait d'ailleurs aujourd'hui que son affinnalion est fausse : la lumière va moins vite dans les milieux plus denses.

„Googlc

- CONCEPTIONS GENEKAtES.

jusqu'à un certain point; j'avoue que ce n'est pas ssds péril qu'OD les introduit. L'erreur où sont tombés des hommes tels que Fermât

et Leibniz en les suivaDl ne prouve que trop combien leur usage est dangereux. On peut cependant dire que ce n'est pas le principe qui les a trompés; c'est la précipitation avec laquelle ils ont pris pour principe ce qui n'en était que des conséquences.

On ne peut pas douter que toutes choses ne soient réglées par un Etre suprême qui, pendant qu'il a imprimé à la matière des forces qui dénotent sa puissance, l'a destinée à exécuter des effets qui marquent sa sagesse, et l'harmonie de ces deux attributs est si parfaite que sans doute tous les effets de la nature se pourraient déduire de chacun pris séparément. Une mécanique aveugle et nécessaire suit tes desseins de l'Intelligence la plus éclairée et la plus libre, et, si notre esprit était assez vaste, il verrait également les causes des effets physiques soit en calculant les propriétés des corps, soit en recherchant ce qu'il y avait de plus convenable & leur faire exécuter.

Le premier de ces moyens est le plus à notre portée, mais il ne nous mène pas fort loin. Le second quelquefois nous égare, parce que nous ne connaissons point assez quel est le but de la nature et que nous pouvons nous méprendre sur la quantité que nous devons regarder comme sa dépense dans la production de ses effets.

Pour joindre l'étendue à la sûreté dans nos recherches, il faut employer l'un et l'autre de ces moyens. Calculons les mouvements des corps, mais consultons aussi les desseins de l'Intelligence qui les fait mouvoir.

En 1 746, Maupertuis a appliqué des considérations analogues au choc des corps et déterminé les vitesses après le choc en rendant minima une action exprimée par ce qu'on

aol LIVBB II. — JTVDU DE DINAHIQUB-

appelle aujourd'hui la force vive due aux vitesses perdues. Il a d'ailleurs essayé, mais par des indications fort obscures, de rattacher cette action à celle qu'il avait définie, dans ce qui précède, par le produit de la masse par la vitesse et le chemin.

Dans l'Ouvrage célèbre où il a donné une méthode générale pour traiter les problèmes qui ressortissent aujourd'hui au calcul des variations et qu'on appelait alors problèmes d' isopérimètres Ç^**),%\i\eT {i'jo']-i']^'5) a affirmé avec une grande netteté les idées finalistes.

G>mine la coostruction du moDcle est la plus parfaite possible et qu'elle est due à un Créateur inliDÎmeiit sage, il n'arrive rien dans le monde qui ne présente des propriétés de maximum ou de minimum. C'est pourquoi aucun doule ne peut subsister sur ce qu'il soit également possible de déterminer tous les effets de l'univers par leurs causes finaleSi à l'aide de la méthode des maxima et minima, aussi bien que par leurs causes efficientes.

Et l'Ouvrage se termine par une additioa importante, consacrée k la Mécanique, où Euler reprend le principe de la moindre action de Maupertuis, mais d'une manière beaucoup plus satisfaisante. Citons les passages les plus saillants de cet important morceau, qui est intitulé : Du mouvement des projectiles ('") dans un milieu non résistant, déterminé par la méthode des maxima et minima.

1. Puisque tous les effets de la nature suivent quelque loi de maximum ou minimum, il n'est pas douteux que les courbes décrites par le.t projectiles sous l'influence de forces quelconques jouissent de quelque propriété de maximum ou de minimum. Il paraît moins facile de définir, a priori, par des principes métaphysiques, quelle est cette propriété; mais, puisqu'il est possible de déterminer ces courbes par la méthode directe, on pourra en

('") M^thiiu* inveniendi Unetu curvas maximi mùiimive proprielate gaudentti, sioe solutio problentatii iioperimelrici (Lausanne et Genève. I7J4)-

('") Je traduis Corpora projecta par projectiles. Il ne s'agit pas des projectiles au sens de la balistique.

«KNKULEB. 2o3

conclure, avec l'attention voulue, ce qui y est maximum ou mininium. On doit de préférence considérer l'efTet provenant des forces agissantes. Comme cet eifel consiste dans le mouvement produit, il parait conforme à la vérité que ce mouvement, ou plutôt la réunion de tou.s les mouvemenis qui résident dans le projectile, doive être minimum. Quoique cette conclusion ne paraisse pas suffisamment démontrée, cependant si je fais voir qu'elle s'accorde avec la vérité déjà -connue, a priori, elle acquerra tant de poids que tous les doutes qui pourraient Daîlre à son sujet s'évanouiront complètement.

2. M est la masse du projectile, et, pendant qu'il parcourt l'élément d'espace ds, sa vitesse est due à la hauteur v. Sa quantité de mouvement est alors, en cet endroit, My/7 dont le produit par ds donne Mds'/v, mouvement total (collectivum) du corps le long de l'espace ds. Je dis que la ligne décrite par le corps sera telle que, parmi toutes les lignes a^ant mêmes extrémités, l'expression / M dsyv ou, puisque M est constant, l'expression / ds^ y sera minima. Si donc on considère la courbe clierchée comme donnée, la vitesse t/v pourra être définie en fonction des forces agissantes et de quantités se rapportant à la courbe; donc la courbe ellemême peut être déterminée par la méthode des maxima et miuîma. D'ailleurs l'expression ci-dessus, écrite en parlant de la quantité de mouvement, peut aussi être rapportée aux forces vives : soit en effet dt le temps de parcours de l'élément ds ; comme dt = dsyv, on aura 1 dsyw= f vdt. Donc, dans la courbe décrite par un projectile, la somme de toutes les forces vives qui résident dans le corps aux divers instants est minima. Aussi pas plus ceux qui estiment les forces par les vitesses elles-mêmes que ceux qui les estiment par les carrés des vitesses ne trouveront ici rien qui oflense leur sentiment.

[Euler vérifie alors que son principe est vrai dans certains cas particuliers : le mouvement parabolique des corps pesants, les mouvemenis produits par une force centrale, etc. Il vient eniin au cas général.]

»>{ LIVBB n. — ÉTDDB8 DB DTNAHIQVB.

13. Par ces cas donc, est mis en lumière le parfait accord avec la vérité du principe ici établi. Il peut rester un doute sur la question de savoir si cet accord se rencontrera encore dans des cas plus compliqués. Aussi faut-il chercher i déterminer avec beaucoup de soin l'étendue de ce principe, afin de ne pas lui attribuer plus que sa nature ne te permet. I^xpliquons-nous. Tous les mouvements de projectiles se partagent en deux catégories. Dans la première, la vitesse du corps dépend uniquement du lieu où il se trouve, quel qu'il soit, de sorte que, si le corps revient au même point, i' reprend ïtt même vitesse; cela arrive si le corps est attiré vers un ou plusieurs centres lïxes par des forces qui ne sont fonctions que des distances à ces centres. Dans la seconde, je fais rentrer les mouvements dans lesquels la vitesse du corps n'est pas déterminée par sa seule position; cela arrive si les centres d'attraction sont mobiles ou si le mouvement se produit dans un milieu résistant. Cette distinction faite, il faut remarquer que, toutes les fois que le mouvement du corps rentrera dans la première catégorie, c'està-dire que le corps sera attiré par un ou par un nombre quelconque de centres fixes, la somme de tous les mouvements élémentaires sera minima dans son mouvement ("*)■

14. Par sa nature, notre proposition postule celte condition. En effet, quand on cherche la courbe qui, entre des extrémités données, rend minimum / ds^, on suppose par là même que la vitesse du corps est la même aux deux extrémités, quelle que soit la courbe suivie par le corps. Quel que soil le nombre des centres fixes, la vitesse du corps en un lieu quelconque M s'exprime par une fonction déterminée des deux variables GP =: x, PM =y. Soit donc V une fonction quelconque de x et de y, de telle sorte que dv = T dx -\-\ dy, et vojons si notre principe nous donne ta véritable trajectoire du corps. Puisque dv = T dx -{-V dy, le corps se meut comme s'il était sollicité en M par deux forces, l'une T dans la direction de Ox, l'autre V dans celte de O^; de là la lorce tangentielle ^ '^ et la force normale ^

('") Ccsl, CDoncée sou lermes de laquelle le prïn un polcDliel.