I. — Calcul différentiel

Jeune encore, Leibniz prend plaisir à « chercher les sommes des séries des nombres ». Et voici l'observation qu'il ne tarde pas à faire. Supposez une série infinie, c'està-dire qui ne s'épuise pas : on peut démontrer que son premier terme est égal à la somme de ses différences, pourvu que ces différences décroissent elles-mêmes jusqu'à l'inlini1.

Soit, par exemple, la progression géométrique suivante, dont la raison est 1 :

1 1 I 1 L JL.

l4"2+i"h8~hÏ6H~32;

On peut écrire :

1= 2 + î-i-8+Î6H-32'etC-

Car, en sommant les différences au fur et à mesure que le

nombre s'en accroît, on a successivement : 1 >> -, puis

1 > g, 1 > jg, 1 > — , etc. Comme on le peut voir, le total

des fractions tend toujours plus vers l'unité : si bien qu'à la limite il l'égale et se confond avec elle2.

Ainsi de la série -+---+--f- + —, proposée

comme exemple par Leibniz lui-même dans une de ses