Ger.h, V

2. Gerh., V, 323-32. — M. de Freycinet a très bien exposé ce point de la théorie de l'infini, dans son livre sur Essais de la philosophie des sciences p. 67, 105-106, Gauthier-Villars, Paris, 1900.

3. Gerh., IV, 93, 219, 272 ; VI, 70, 97, 129-130, 229, 248-249.

lui, et au terme d'une infinité de tâtonnements1. Leibniz a vu nettement et du premier coup la portée incalculable de sa méthode ; il n'est jamais arrivé à la conscience adéquate de l'idée qui en faisait le fond et comme le ressort invisible.

Ici, nous touchons au côté métaphysique du « calcul différentiel » ; il faut y pénétrer plus avant, et en vue de savoir quel est le rapport de ce calcul, non plus avec les quantités d'ordre purement formel qu'on lui soumet, mais avec la réalité des choses elles-mêmes.

D'après Leibniz, il n'y a point d'infinitésimaux dans la nature, c'est-à-dire d'éléments derniers qui soient moindres que toute grandeur assignable. Car chaque fragment de matière, si ténu qu'il soit, peut toujours se diviser en plusieurs parties, qui peuvent elles-mêmes subir une opération toute semblable : ainsi de suite sans qu'on y trouve jamais

1. Voici en quelques mois la marche à suivre pour montrer qu'à la limite la quantité à mesurer et la série infinie sont égales. Soit la progression géométrique décroissante :

ou, sous des termes plus généraux

On a par division

qn

Si l'on fait n

qn

qn— 1

QO, on a q1

= 0 : et par là même — 1 qn

D'où

ce qui donne la mesure exacte et finie de la série proposée. Supposez maintenant qu'on ait l'arc ci-contre A B et le polygone inserit AMM'M"B- Cet arc est la limite vers laquelle tend le polygone. Or il est démontré par calcul intégral que, si l'on divise ce polygone à l'infini, la somme de ses côtés est égale à sa limite qui est l'arc. On peut raisonner delà même manière à propos de toutes les courbes, quelles qu'elles soient; on le peut également à propos des surfaces et des volumes. Quand on divise à l'infini, la variable et sa limite ne font plus qu'un et rigoureusement. Mais qu'est-ce que le passage à l'infini? Là reste encore un mystère.

SCIENCES

d'obstacle. Transportés de la pensée dans les objets, les infinitésimaux ne représentent plus que des impossibilités1.

Jean Bernoulli proteste contre cette affirmation, et au nom de la doctrine philosophique de Leibniz lui-même. Vous admettez, lui dit-il, qu'il existe en acte un nombre infini d'êtres, et, dans chacun d'eux, un autre nombre d'êtres également infini; il faut donc que l'infiniment petit se montre en quelque endroit dans la série décroissante des choses. Autrement, il se produirait un résultat contradictoire : à partir de la limite minima de décroissance, les composantes déborderaient l'ensemble auquel elles appartiennent, et la partie deviendrait plus grande que le tout2.

Leibniz se débat contre l'objection; mais il ne lâche pas prise; et voici le fond de sa réponse. L'infini n'a pas de limite : c'est vrai par définition. Il ne faut donc pas le concevoir comme un « tout » ; il ne faut pas se le représenter comme « un nombre ». C'est une pluralité où l'on peut compter autant de nombres que l'on voudra : c'est une « multitude » inépuisable. Ainsi l'entendaient déjà Descartes et Spinoza, et ils avaient raison. Mais dès lors, la difficulté s'éclaire. On peut prendre dans l'infini une série descendante de grandeurs réelles aussi longue que l'on voudra : on n'y trouvera jamais d'éléments ultimes, on n'y trouvera jamais d'infinitésimaux; puisque, à quelque point que l'on s'arrête, il en reste encore d'autres, plus petits, mais qui peuvent également être ou devenir réels. Rien n'empêche d'enfermer « dans un grain de poussière » un monde qui ne différerait du nôtre que par ses proportions : plus petits en grandeur, ses éléments constitutifs n'en seraient pas moins numériquement infinis3.

D'ailleurs, la question de l'infini ne se pose pas tout à fait comme le veut Jean Bernoulli. Qu'y a-t-il en dehors de nous? Dieu et des âmes, deux formes de l'être où la quantité n'entre pas en considération. Tout le reste est nous, le