APT

AO’ étant la distance du centre du disque au point d’articulation du bras moteur.

Si R et L augmentent indéfiniment, À a pour valeur

à la limite ?

lorw

AO

On retrouve l'expression (1).

La longueur du chemin que peut parcourir l'appareil est limitée par les dimensions du cadre portant la crémaillère et la rainure de roulement. Avec le planimètre à sphère, on peut, au contraire, mesurer en une seule fois l'aire d’une courbe présentant un développement quelconque dans la direction suivant laquelle se déplace le chariot.

Dans un modèle construit par Amsler, la traverse inférieure. du cadre portait la crémaillère; dans la traverse supérieure était creusé, le chemin de roulement du chariol auquel était suspendu l'appareil.

La maison Coradi construit un planimètre linéaire spécialement destiné à évaluer laire des surfaces qu’on rencontre dans l'étude des problèmes de déplacement et de stabilité en construction navale. Il se compose d’un chariot s'accouplant comme un bras polaire à un planimètre à compensation ordinaire. L’ensemble, chariot et planimètre, se meut dans une longue règle à rainures qu'on dispose parallèlement à la grande dimension du

plan.

PLANIMÈTRE DE PRYTZ.

Le planimètre imaginé en 1886 par le capitaine Prytz, de l’armée danoise, est remarquable par son extrême sim-

plicité et la commodité de son emploi. Une tige métal-

lique, recourbée à angle droit à ses deux extrémités, constitue tout l’appareil; l’une d'elles est aplatie en lame coupante formant hachette, l’autre se termine par une pointe mousse.

La distance du point À au point de contact de la tan-

gente à la hachette en son milieu est la base de l’instrument; cette longueur est d'environ 25°", L'appareil étant maintenu dans un plan vertical, si l’on suit avec la pointe À le contour d’une courbe, le tranchant de la hachette trace un sillon sur la feuille de papier et ne subit pas de déplacement latéral sans un effort appréciable. Dans le mouvement continu de À sur la courbe, le point de contact B de la hachette décrit par suite une courbe E à laquelle la droite AB est constamment tangente.

Les: deux courbes sont liées entre elles par certaines conditions.

Fig. 30.

La courbe C étant donnée, la courbe E peut être consi-

dérée comme le lieu des points B, tels que la droite AB

Louche constamment son enveloppe en ce point; son mouvement se réduit alors à une translation et à une rola-

tion élémentaires.

TTL

Réciproquement, si l'on connait la courbe E, on obüent GC en portant sur chaque tangente et à partur du point de contact une longueur BA égale à L. Le lieu des

points À ainsi obtenus est la courbe cherchée.

Mais il est évident qu’à chaque courbe C correspond une infinité de courbes telles que E dont la forme et la position dépendent de l’origine du point A sur Cet de l'orientation imitiale de AB.

Quelles que soient d’ailleurs leurs positions relatives, les deux courbes présentent certaines particularités résultant de la facon dont elles se déduisent l’une de l’autre.

S1 la droite AB (fig. 31)est normale en » à la courbe C et s1 la concavité est du côté opposé à AB, la courbe E présente, en général, un point de rebroussement où les branches de courbe ont la position indiquée par la figure (x).

Si la concavité est tournée vers AB, les deux branches aboutissant en B auront la forme de la figure (8), et si, sur une certaine étendue, la courbe C se confond avec la circonférence de centre B et de rayon AB, la courbe E présente en B un point anguleux où l'angle des tangentes est l’angle au centre de l’arc de cercle aa’ (fig. 7).

Enfin, on peut encore remarquer que, si la droite AB est tangente en m à la courbe C, la courbe E présente, en

général, un point d'inflexion en B.

Théorie de l'appareil. — I] résulte de ce qui précède que le planimètre se réduit à une tige de longueur constante s'appuyant sur deux courbes, dont l’une, la courbe E, joue le rôle de directrice.

Reprenons la formule générale 4 I dA = l'dssinx + murs do.

La droite A,B, (fig. 32) traçant sa propre directrice à

laquelle elle est constamment tangente, on a sin =0,

et la formule précédente se réduit à à dA = o [2 do,

d’où, en intégrant,

ES

On peut dès lors se rendre,compte assez simplement du principe de l'appareil de la facon suivante :

Plaçcons la pointe A (fig. 33) en un point quelconque 77 de CG et faisons lui parcourir le contour dans le sens de la flèche, Le lieu des points B, de contact de la

hachette avec son enveloppe, va être une courbe telle que

(!) On peut d’ailleurs calculer l’aire A directement de la facon suivante : :

Soient A,B,, A,B, deux vecteurs infiniment voisins, faisant entre eux l'angle dy. L'aire élémentaire peut, aux infiniment petits du troisième ordre près, être remplacée par celle du secteur de cercle de rayon Z et d'angle d?. Sa valeur est |

dA = - l'dy

A = Le [as = Ll, 2 2

& étant l'angle des deux positions extrêmes de AB.

et, en intégrant,

B,E, E; B; avec des points de rebroussement en E,, KE, correspondant aux posilions pour lesquelles AB est nor-

male à la courbe C.

Fis,-33:

Lorsque la pointe A est revenue à son point de départ après avoir fait un tour complet, la droite AB occupe la position AB; et a tourné d’un angle © par rapport à AB,.

D'après ce que nous savons, l'aire balayée par la droite AB est égale à = Po.

Or, il est facile de voir que l’aire en question se réduit à celle du contour C, que nous désignerons par E, et à celle qui est comprise entre AB,, AB, et la courbe B,E, E, B; : soit Y cette dernière.

Toutes les autres parties du plan, balayées par la droite AB, le sont deux fois et en sens inverse; la valeur de leur aire ne figure donc pas dans le résultat final de l'opération. Or, si l’on prend comme sens positif celui dans lequel est balayée l’aire Ÿ (sens de la flèche), £' le sera en sens inverse; on doit donc prendre cette dernière

avec le signe — et l’on aura

(1) ZE = -l'e.

Pour évaluer Ÿ/, traçons l’arc de cercle B, B, de centre A et de rayon /. On détermine ainsi deux surfaces comprises entre cet arc et la courbe B, E, E, B, : soient o, et 5»

leurs aires. On a

} v'/ 9 dal en

el transportant cette valeur de X' dans (1), 1l vient 2 = l9 +6: 01.

Le principe de l'appareil consiste à supposer que les aires 5,, 52 sont égales; l'expression de E se réduit alors à

Le:

Or, lo, qu’on peut écrire / X lo, représente le produit des nombres qui mesurent la base du planimètre et la longueur de l'arc B, B:. Dans la pratique, on obtient un résultat très suffisamment exact en prenant, non pas l’are, mais la corde B, B,.

Pour faire usage du planimètre, il suffit donc de placer la pointe À en un point quelconque du contour et d’effectuer un parcours complet. On repère les points B,, B; correspondant aux points de départ et d'arrivée, ce qu’on fait en appuyant légèrement sur la hachette: le produit de la longueur de l'appareil par la distance B, B;, donne l’aire cherchée.

Le point de départ peut ètre pris, en principe, quelconque sur la courbe C; mais, comme nous savons que la forme de la courbe E dépend de l’orientation initiale de la droite AB, la position de cette dernière n’est pas complètement indifférente.

Il faut, en général, s'arranger de façon que la normale à AB, au point choisi, partage la figure en deux parties équivalentes.

Pour qu'on puisse se servir de l'appareil, il faut que la plus grande dimension de la figure ne soit pas supérieure à la moitié de la longueur AB. Si l'on ne peut effectuer la mesure en une seule fois, on divise par des lignes droites la surface en plusieurs parties, et, après avoir déterminé l’aire de chacune d’elles, on fait la somme des résultats.

Dans la pratique, pour éliminer les causes d’erreur, on

Fig. 34.

retourne la figure de 180°, et l’on recommence l’opération en partant du même point et en faisant en sens opposé un tour complet sur la courbe C, On prend ensuite la moyenne des deux résultats.

Au lieu de prendre le point de départ sur le contour lui-même, on peut le choisir à l’intérieur de la surface. C’est la méthode employée par l'inventeur lui-même dans la théorie qu'il a donnée de son appareil.

On obtient alors la disposition de la figure 34, et l’on a

comme précédemment

Ni — lo SRO HE 0

U Te) CHAPITRE I.

En supposant 5, — 52, 1l vient

Pour que la condition &, —5, soit réalisée, on démontre que le point de départ doit être dans le voisinage du

centre de gravité de la surface G

PLANIMÈTRE DE PETERSEN.

Daus la formule

dA = las sina + À de,

au lieu d’avoir sins—0 (cas du planimètre de Prytz), on peut supposer do —0o; la droite BC, de longueur constante, se déplace alors parallèlement à elle-même. C’est d’après ce principe qu'a été construit le planimètre de Petersen. On peut le rattacher à la catégorie des planimètres polaires et 1l présente cette particularité de ne pas avoir de roulette intégrante,

Sa disposition est la suivante : une tige OA peut servir de bras polaire, le pôle étant en O, et le point À décrivant la directrice. Une seconde tige BC, articulée en A à la première, porte en C le traçoir destiné à parcourir la courbe. L’extrémité B est solidaire d’un manchon qui peut se déplacer, à frottement doux, sur une tige graduée RR', perpendiculaire à BC. Cette tige sert d’axe de rotation à deux rouleaux à jantes larges; par suite, elle ne peut que se déplacer parallèlement à elle-même.

Quand le traçoir suit la courbe, l’axe RR’ se déplace

LES PLANIMÈTRES- 5t

donc sous l’action des tiges OA et AB, et le manchon B

coulisse sur RR’.

Fig 39

Si l’on considère l'égalité dA = l'dssina, on remarque que ds sin #, projection sur la direction RR’

de l'élément de directrice ds, est égal à dx, quantité dont s’est déplacé le manchon.

Donc ANR UICE, A = lx + const., AIT Lo,

æ\ et Zo étant les lectures faites au commencement et à

la fin de l'opération; ces dernières se font à l’aide d’une . ?. , . [

graduation portée par ia uge RR/.

UNIVERS] TY OF ILLINOS LIBRARy

Planimètres à rotation.