THÉORIE
Considérons un cône de révolution d'angle au sommet égal à 24, et dont l’axe est incliné de « sur le plan du dessin, de telle sorte, par conséquent, que sa génératrice supérieure SA se trouve être parallèle à ce plan.
Transportons ce cône parallèlement à lui-même en le
Figs50.
faisant tourner autour de son axe par l'intermédiaire d’un pignon de rayon r roulant sur un rail parallèle à l’axe des +; un point quelconque M de la génératrice SA décrira
sur le parallèle MM’ un arc élémentaire OM dB — SM sinx ©,
dÿ étant l’angle dont a tourné le cône pendant le déplacement élémentaire dx. |
Si maintenant une roulette R a son axe parallèle à SA et accompagne le déplacement du cône en se mouvant sur la génératrice SA, de telle sorte que SM soit constam-
ment égal à y, elle tournera, s’il n’y a pas glissement
dans son plan, d’un angle dw, tel que
e do = y de =:
On tire de là du = y de 4 sin æ REA y d AE
L’angle dont a tourné la roulette permet donc d’évaluer l’aire d’une courbe comprise entre deux limites données.
On peut réaliser la condition SM —7y en suivant la courbe avec un traçoir invariablement relié à l’axe de la roulette, et en s’arrangeant de telle sorte que l’ordonnée de cette courbe soit, au début, égale à la distance de la roulette au sommet.
La théorie précédente subsiste si l’on suppose que « . , 0 À 4 e A devienne égal à Fe La surface du cône se réduit alors à un
cercle qui, en se déplaçant parallèlement à ox, tourne
autour d’un axe vertical passant par son centre.
b I “ ’ (ES az.
Remarque. — Le lieu du point de contact de la rou-
On a alors
lette sur la surface du cône est une courbe qu'on peut tracer à l'aide d’un appareil enregistreur. Il est facile de voir que la connaissance de cette courbe permet de déterminer la valeur du moment statique et du moment d’inertie de la courbe proposée, par rapport à ox.
Développons la surface du cône. On obtient ( fig. 37)
un secteur circulaire d’angle au sommet w — 27 sim, et
limité par un arc de cercle de longueur L—wD, D étant
Fig 37
la longueur de la génératrice SA. La trace de la roulette se développe suivant une courbe C, et deux génératrices infiniment voisines ont pour trace, dans le développement, deux rayons vecteurs Sm, Sm' faisant entre eux l'angle de,
L’aire élémentaire S mm! a pour expression
A d'À —= = de.
Or p— y; de plus de est proportionnel à dx; en effet,
l’arc élémentaire nm a pour valeur
ds — p do et ds = OM df.
Donc p do = OM d8 = psina dh,
do = sina dé.
dÂ, rotation élémentaire du cône, est proportionnel à dx;
LES. PLANIMÈTRES, 55 par conséquent do = sina À dx = K dx, et l’on a finalement
de = K dx,
+ = K f E dx = KM, (aire A),
les limites d'intégration s'étendant à la totalité du développement de la courbe C.
Donc, le moment statique de l’aire de la courbe proposée par rapport à ox est mesurée, à un facteur constant près, par l’aire & de la courbe C.
Prenons maintenant le moment statique polaire de
l’aire de cette même courbe C par rapport à S: on a p? 2 a | 3 AJ — À - sina À dr — KT dx,
et, en intégrant, W 9 p3 da y Me f Fe do = K 2 AIRE itaire A).
on è A
Le moment d'inertie de la courbe À par rapport à ox est donc mesuré, à un facteur constant près, par le moment
statique, par rapport à S, de l’aire & de la courbe C. « T SALE : : :
Dans le cas où à — c’est-à-dire si l’on a affaire à un
plateau circulaire, toutes les conclusions précédentes subsistent.
Etant donnée une courbe À, on pourrait donc, par ce
moyen, déterminer la valeur de son aire, de son moment statique et de son moment d'inertie par rapport à ox, mais on est obligé d’effectuer trois opérations. Il vaut done mieux employer un intégromètre qui permet de
mesurer, en une seule fois, ces trois quantités.
PLANIMÈTRE D'HOPPIKOFER.
Imaginé vers 1827 par l'ingénieur suisse Hoppikofer, cet appareil était une applicalion directe du principe cône et roulette, que nous venons d'étudier.
Il se compose essentiellement d’un cône en bronze
(Jig. 38) dont la génératrice supérieure est horizontale.
L'axe de ce cône repose par l'intermédiaire de deux coussinets sur les supports d’un chariot À, qui peut recevoir
un mouvement de translation perpendiculaire à la généra-
trice horizontale. Ce chariot se déplace à l’aide de galets g et de roulettes sur un chemin de roulement constitué par un rail et une bande métallique.
Sur le chariot repose une tige T, qui peut coulisser parallèlement à la génératrice horizontale du cône et porte, à son extrémité droite, une poignée et, à son extrémité gauche, une pointe destinée à suivre le contour de la courbe. Cette tige est en outre reliée invariablement à un cadre supportant la roulette R et un appareil compteur, le tout étant disposé de telle sorte que le point de contact de la roulette se trouve toujours sur la génératrice horizontale.
Enfin, l’axe du cône porte un petit pignon p, pouvant rouler sur une bande métallique parallèle au chemin de roulement du chariot.
Ilrésulte des dispositions précédentes que, si l’on déplace ce dernier parallèlement à l’axe des x, le pignon p fera
tourner le cône autour de son axe de d4, tel que
de —= K dx.
Si, avec la pointe de la tige mobile, on suit, pendant ce mouvement, le contour de la courbe, on voit que la distance du point de contact de la roulette au sommet du cône sera constamment égale à l’ordonnée y, si l’on s’est arrangé de telle sorte que cette condition soit remplie dès le début de l’opération.
Donc, d’après ce qui a été établi précédemment, la rotation de la roulette permet de mesurer l'aire de la courbe donnée.
L'appareil est complété par un compteur disposé de la
facon suivante : deux cadrans, l’un horizontal, l’autre 5 :)
vertical, sont fixés au même support que l’axe de la rou-
Fig. 30.
lette. L’aiguille a, du premier est entraînée par un petit pignon p, fixé sur son axe et engrenant avec une denture de la roulette.
L’aiguille 4, du second, ayant son axe parallèle à celui de la roulette, est mise en mouvement par un pignon p; en prise avec une roue dentée portée par l’axe mm! de celle-cr.
Ce planimètre fut un des premiers qui permit d’obtenir des résultats vraiment pratiques, et il obtint, sur la proposition de Poncelet, le prix de Mécanique de l’Académie des Sciences. Néanmoins, malgré son principe simple et ingénieux, son emploi ne s’est pas généralisé. On lui a reproché son manque de précision et une usure trop rapide de la roulette.
Il a été modifié par Ernst et le général Morin, mais il
LES PLANIMÊTRES. 59
n'offre plus qu'un intérêt historique. Un modèle figure dans la collection du Conservatoire des Arts et Métiers.
PLANIMÈTRE DE WETLI.
Werli a construit un certain nombre d’appareils utilisant le principe du plateau circulaire et de la roulette. Ils sont disposés en général de la façon suivante :
Le plateau horizontal P peut tourner autour d’un axe
Fig. 40.
vertical porté par un chariot qui se déplace, à lPaide de trois roues, sur des rails parallèles à l’axe des y. Une tige T, montée sur ce chariot, coulisse perpendiculairement à la direction du chemin de roulement et porte, fixé à ses deux extrémités, un fil qui s’enroule autour de l’axe du plateau; cette tige est en outre munie d’un traçoir
destiné à suivre le contour de la courbe.
Si donc, à l’aide de ce traçoir, on suit le contour d’une courbe donnée, le chariot se déplace parallèlement à 0, pendant que la tige, dans son mouvement de translauon dx parallèle à ox, fait tourner le plateau P d’un
angle dû proportionnel à dx,
L'axe de la roulette R est porté par un cadre mobile autour de tourillons £, £! fixés au socle portant le chemin de roulement de l'appareil. La roulette ne se déplace donc pas et tourne seulement autour de son axe, lequel passe par le centre du plateau. Un compteur ordinaire indique, à l’aide d’une transmission par vis sans fin, l’angle dont elle a tourné.
En prenant comme axe des æ une droite parallèle à la tige et passant par la projection horizontale du point de. contact de la roulette sur le dessin, on voit que ly de la courbe est constamment égal à la distance de l’axe des x au centre du plateau, augmentée d’une quantité égale au rayon de l'axe.
D'après ce que nous savons, le nombre de tours de la roulette donne, à une constante près, l’aire de la courbe.
Ces appareils présentent le même inconvénient que les planimètres d'Hoppikofer. Le plateau supporte en effet le poids de la roulette et celui d’une parue du cadre mobile autour de £,4'; ce poids étant concentré au point de contact, c’est-à-dire sur une surface très réduite, il en résulte une usure rapide de la roulette, due au glissemen qui se produit parallèlement à son axe, dans le mouve-
ment relatif par rapport au plateau.
LES PLANIMÈTRES. Gx
Le planimètre de Wetli, construit à Zurich en 1849, a été décrit par Stampfer dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences de Vienne en 1850. Il a été modifié dans la suite par Starke et Hansen; Ausfeld de Gotha à construit également un appareil du même type, dont 1l
existe un modèle dans les galeries du Conservatoire des Arts et Métiers.
PLANIMÈTRE DE RICHARD,
La maison Paichard a établi un planimètre destiné
Fig. 41.
—DETRCe
évaluer les aires des courbes à ordonnées curvilignes fournies par les appareils enregistreurs qu'elle construit.
Les indications données par ces appareils se traduisent
par une courbe qu’un style trace sur une feuille de papier enroulée sur un cylindre tournant. Les abeisses sont comptées sur une circonférence du cylindre; les ordonnées sur des courbes qui, par développement, se transforment en arcs de cercle.
Le planimètre Richard permet également de mesurer toute courbe, fermée ou non, à ordonnées reculignes.
Il est caractérisé par deux plateaux circulaires verticaux
tournant en sens inverse autour du même axe d’un angle
Fig. 42:
proportionnel à dx, et par une roulette dont l’axe est horizontal et dirigé suivant un diamètre des plateaux; cette roulette, placée entre les deux plateaux, tourne autour de son axe sous l’action du couple produit par leur rotation en sens inverse et subit en même temps un déplacement axial qui n’est plus égal à l’y de la courbe, mais lui est proportionnel. L’instrument utuhse donc directement le principe des planimètres à rotation. À cet effet, 1l est disposé de la façon suivante :
Le cylindre C (fig. 43), sur lequel a été enroulé 8 diagramme, peut être entraîné à l’aide d’une vis sans fin et d’une roue hélicoïdale V, par un arbre horizontal À, qui produit en même temps la rotation du plateau P par
l'intermédiaire d’un train d’engrenages coniques E.
Cet arbre est mis en mouvement à la main par une manivelle M. Il s'ensuit que la rotation du plateau P est proporuonnelle à dx. Si, en effet, l'arbre A tourne de dA, le cyhndre tourne de dx, tel que
dx = k dh.
Le plateau P a tourné en même temps de dW', tel que
dY = k' dÿ; d’où k
fixée sur un axe horizontal B; elle reçoit son mouvement de translation suivant le diamètre des plateaux à l’aide de la petite branche d’un levier EH mobile autour de l’axe vertical O, et dont la grande branche G se termine par un tiraçoir F. Le levier H porte à son extrémité un bouton b s’engageant dans une encoche de l'axe de la
roulette. Le levier H peut également commander la tige B
par un secteur denté engrenant sur une crémaillère taillée dans celle-ci.
Si l’on fait tourner le levier G autour de O, le déplacement de l’axe B, et par suite celui de la roulette, seront proportionnels au chemin décrit par le traçoir F, c’est-àdire à l’ordonnée de la courbe dont on cherche l’aire. Par construction, lorsque la pointe du traçoir est sur l’axe des +, la roulette se trouve au centre des plateaux.
Supposons alors que nous fassions tourner la manivelle
de dû; les plateaux vont tourner, d’après ce que nous k' savons, de dY — dx.
Le cylindre tourne en même temps de dx, et, y étant l’ordonnée de la courbe à ce moment, l’aire élémentaire
du secteur de courbe est dA = Y dx.
La distance de la roulette au centre des plateaux est alors #”y; la roulette a donc tourné de dw, tel que
bp du = K'y ae KE y dx,
0 du === K dA, en posant K — & ; d'où pw = KA.
L’angle dont tourne la roulette donne donc la valeur de l’aire cherchée.
Les lectures se font sur un compteur-totalisateur à
quatre cadrans disposé dans une boîte D, et mis en mouvement par l’axe de la roulette, à l’aide d’un pignon long, ou d’un train d’engrenages coniques à long clavetage. Les aires sont données en millimètres carrés.
Ce planimètre est caractérisé par une grande précision etune absence presque totale de glissement, grâce au mode
d'entraînement de la roulette.
PLANIMÈTRE A ROTATION D'AMSLER.
Amsler a construit un appareil dans lequel le cylindre enregistreur est entraîné par une sphère ; c’est un planimètre polaire où l’on retrouve la plupart des dispositifs déjà étudiés.
Il comporte (fig. 44) un support circulaire dont le rebord porte une denture Q sur laquelle engrène un petit pignon H calé sur le bras polaire. Ce dernier porte à l’une de ses extrémités une petite sphère épousant exactement la forme de l’évidement d’un axe vertical P qui passe au centre du support et sert d’axe de rotation. À l’autre extrémité est fixée une sphère creuse O, qui tourne autour de l’axe polaire quand celui-ci se déplace autour de P. Le bras moteur est mobile autour d’un axe veruical C, passant par le centre de la sphère O, et porte une rainure dans laquelle peut se mouvoir un chariot supporté par deux roues à bords minces. Ce chariot porte le cylindre dont le point de contact avec la sphère est toujours silué sur la circonférence d’un grand cercle horizontal.
Désignons (fig. 45) par L la distance du centre du
support au point d’articulatuion du bras moteur avec le
bras polaire; par R’le rayon moyen de la denture, r celui .
du pignon H, R celui de la sphère O.
